Монография посвящена исследованию физического феномена статистической устойчивости и сравнению двух теорий, описывающих его: теории вероятностей и теории гиперслучайных явлений. Для научных работников, инженеров и аспирантов, исследующих статистические закономерности реальных физических явлений, разрабатывающих и использующих статистические методы высокоточных измерений, прогнозирования и обработки сигналов на больших интервалах наблюдения, а также для студентов университетов физических, тех-нических и математических специальностей.
The monograph is dedicated to study of the physical phenomenon of statistical stability, and also to the comparing of two theories that describe it: the probability theory and the theory of hyper-random phenomena.
It is oriented on scientists, engineers, and post-graduate students researching in statistical laws of natural physical phenomena as well as developing and using statistical methods for high-precision measuring, prediction and signal processing on long observation intervals. The book may also be useful for university students majoring in physical, engineering, and mathematical fields.
Author(s): Горбань И.И.
Publisher: Наукова думка
Year: 2016
Language: Russian
Pages: 1
Tags: Математика;Теория вероятностей и математическая статистика;Теория вероятностей;
Оглавление
Предисловие 3
Введение 7
ЧАСТЬ I ФЕНОМЕН СТАТИСТИЧЕСКОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ 15
Глава 1 Физический феномен статистической устойчивости 17
1.1 Проявление феномена статистической устойчивости 17
1.1.1 Статистическая устойчивость частоты событий 18
1.1.2 Статистическая устойчивость статистик 21
1.2 Варианты интерпретации феномена статистической устойчивости 24
1.2.1 Идеальная статистическая устойчивость 24
1.2.2 Ограниченная статистическая устойчивость 26
1.3 Одинаковые и статистически непрогнозируемые условия 30
1.4 Шестая проблема Д. Гильберта 31
1.4.1 Суть проблемы 31
1.4.2 Аксиоматизация теории вероятностей 32
1.4.3 Путь решения шестой проблемы Д.Гильберта 33
1.5 Аксиомы адекватности 35
1.5.1 Описание феномена статистической устойчивости в рамках теории вероятностей 35
1.5.2 Описание феномена статистической устойчивости в рамках теории гиперслучайных явлений 36
1.6 Является ли вероятность «нормальной» физической величиной? 37
ЧАСТЬ II ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 41
Глава 2 Основы теории вероятностей 43
2.1 Понятие о случайных явлениях 43
2.2 Варианты определения понятия вероятности 44
2.2.1 Классическое определение понятия вероятности 44
2.2.2 Статистическая вероятность 46
2.2.3. Основные положения теории множеств 47
2.2.4 Основные положения теории меры 50
2.2.5 Аксиоматическое определение понятия вероятности 51
2.2.6 Случайные события 53
2.3 Случайные величины 54
2.3.1 Основные определения 54
2.3.2 Вероятностные характеристики скалярной случайной величины 55
2.3.3 Вероятностные характеристики дискретной случайной величины 57
2.3.4 Примеры случайных величин 58
2.3.5 Числовые параметры скалярных случайных величин 60
2.3.6 Числовые параметры различных случайных величин 62
2.4. Векторные случайные величины 64
2.4.1 Вероятностные характеристики двумерной случайной величины 64
2.4.2 Числовые параметры двумерной случайной величины 66
2.4.3 Двумерная система совместно гауссовских случайных величин 68
2.4.4 Характеристики и параметры многомерной системы случайных величин 70
2.5 Операции над случайными величинами 71
Глава 3 Случайные функции 73
3.1 Основные понятия 73
3.2 Описание случайных процессов 74
3.3 Гауссовский случайный процесс 75
3.4 Стационарные случайные процессы 77
3.4.1 Случайные процессы, стационарные в узком смысле 77
3.4.2 Случайные процессы, стационарные в
широком смысле 78
3.5 Спектральное описание случайных процессов 79
3.5.1 Преобразование Винера—Хинчина 79
3.5.2 Узкополосные и широкополосные процессы 80
3.5.3 Обобщенное преобразование Винера—Хинчина 81
3.6 Эргодические случайные процессы 82
3.7 Преобразование случайных процессов 84
Глава 4 Основы математической статистики теории вероятностей 85
4.1 Статистики случайных величин 86
4.1.1 Выборка случайной величины 86
4.1.2 Оценки вероятностных характеристик 88
4.1.3 Оценки моментов 91
4.2 Сходимость последовательности случайных величин 92
4.3 Закон больших чисел 93
4.4 Центральная предельная теорема 95
4.5 Статистики случайных процессов 96
4.6 Особенности выборок случайных величин и процессов 98
Глава 5 Оценка точности измерений на
основе теории вероятностей 103
5.1 Принципы описания точности измерений 103
5.1.1 Концепция погрешности измерения 103
5.1.2 Концепция неопределенности измерения 106
5.2 Точечные оценки 108
5.2.1 Основные понятия 108
5.2.2 Несмещенные оценки 109
5.2.3 Состоятельные оценки 111
5.2.4 Эффективные оценки 112
5.2.5 Достаточные оценки 113
5.3 Прямые статистические измерения 114
5.4 Критический объем выборки 117
5.5 Интервальные оценки 119
ЧАСТЬ III СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССОВ 123
Глава 6 Методика и результаты исследования статистической устойчивости процессов 125
6.1 Формализация понятия статистической устойчивости 125
6.1.1 Случайные последовательности и процессы, статистически неустойчивые по отношению к среднему и СКО 125
6.1.2 Единицы измерения параметров статистической неустойчивости 129
6.1.3 Интервалы статистической устойчивости 130
6.1.4 Оценки параметров статистической неустойчивости 131
6.2 Статистическая устойчивость случайных процессов 132
6.2.1 Зависимость статистической устойчивости случайного процесса от его спектрально-корреляционных
характеристик 132
6.2.2 Физические процессы со степенной СПМ 133
Цветные шумы. 133
Фликкер-шум. 134
Фрактальные (самоподобные) процессы. 134
6.2.3 Статистическая устойчивость процессов, описываемых степенной СПМ 135
6.2.4 Зависимость статистической устойчивости процесса по отношению к среднему от его корреляционных
характеристик 137
6.2.5 Статистическая устойчивость полосовых случайных процессов 138
6.2.6 Статистически неустойчивые стационарные случайные процессы 139
6.3 Результаты экспериментальных исследований статистической устойчивости процессов разной физической природы 142
6.3.1 Напряжение электросети 142
6.3.2 Магнитное поле Земли 144
6.3.3 Волнение моря 145
6.3.4 Температура воды в океане 145
6.3.5 Температура воздуха и количество осадков 146
6.3.6 Котировка валют 147
6.3.7 Астрофизические объекты 148
ЧАСТЬ IV ТЕОРИЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ 151
Глава 7 Основы теории гиперслучайных явлений 153
7.1 Гиперслучайные события 154
7.1.1 Определение понятия гиперслучайного события 154
7.1.2 Свойства гиперслучайных событий 155
7.2 Скалярные гиперслучайные величины 157
7.2.1 Условные вероятностные характеристики и условные моменты скалярной гиперслучайной величины 158
7.2.2 Границы функции распределения и моменты границ скалярной гиперслучайной величины 160
7.2.3 Границы моментов скалярной
гиперслучайной величины 163
7.2.4 Связь между границами моментов и моментами границ распределения 164
7.3 Векторные гиперслучайные величины 165
7.3.1 Условные вероятностные характеристики и условные моменты векторной гиперслучайной величины 165
7.3.2 Границы функции распределения и моменты границ векторной гиперслучайной величины 167
7.3.3 Границы моментов векторной
гиперслучайной величины 171
7.4 Операции над гиперслучайными величинами 172
Глава 8 Гиперслучайные функции 175
8.1 Основные понятия 175
8.2 Описание гиперслучайных процессов с помощью условных характеристик и моментов 177
8.3 Описание гиперслучайных процессов с помощью границ распределения и их моментов 178
8.4 Описание гиперслучайных процессов с помощью границ моментов 180
8.5 Стационарные гиперслучайные процессы 181
8.6 Спектральное описание стационарных гиперслучайных процессов 183
8.7 Эргодические гиперслучайные процессы 185
8.8 Фрагментарно-эргодические гиперслучайные процессы 187
8.9 Преобразование гиперслучайных процессов 188
Глава 9 Основы математической статистики теории гиперслучайных явлений 191
9.1 Выборка гиперслучайной величины 191
9.2 Оценки характеристик и параметров гиперслучайной величины 194
9.2.1 Общие соображения 194
9.2.2 Методика формирования оценок 194
9.3 Обобщенный предел и сходимость последовательностей в обобщенном смысле 196
9.3.1 Обобщенный предел 197
9.3.2 Сходимость последовательности гиперслучайных величин 200
9.4 Обобщенный закон больших чисел 202
9.5 Обобщенная центральная предельная теорема 205
9.6 Экспериментальные исследования реальных выборочных средних 208
9.6.1 Дополнительные исследования колебаний напряжения городской электросети 208
9.6.2 Дополнительные исследования колебаний интенсивности излучения пульсара 210
Глава 10 Оценка точности измерений на основе теории гиперслучайных явлений 213
10.1 Гиперслучайные модели измерений 213
10.2 Точечная гиперслучайная оценка детерминированной величины 216
10.2.1 Постановка задачи 216
10.2.2 Смещенные и несмещенные оценки 217
10.2.3 Состоятельные оценки 219
10.2.4 Погрешность измерения 220
10.2.5 Эффективные и достаточные оценки 222
10.3 Статистические измерения физических величин в непрогнозируемо изменяющихся условиях 222
10.3.1 Исходные предположения 222
10.3.2 Методика статистических измерений 224
10.4 Критический объем гиперслучайной выборки 227
ЧАСТЬ V ПРОБЛЕМА АДЕКВАТНОГО ОПИСАНИЯ
МИРА 231
Глава 11 Детерминизм, неопределенность, случайность и гиперслучайность 233
11.1 Концептуальные взгляды на устройство мира с позиций детерминизма и неопределенности 233
11.1.1 Детерминизм П.С. Лапласа 233
11.1.2 Стохастический подход 234
11.1.3 Интервальный подход 235
11.1.4 Гиперслучайный подход 236
11.2 Фундаментальные вопросы 236
11.3 Параметры физических систем 238
11.4 Классификация неопределенностей 239
11.5 Единообразное описание моделей с помощью функции распределения 240
11.6 Классификация математических моделей 243
11.7 Формирование неопределенности 244
11.7.1 Формирование неопределенности из последовательности детерминированных величин 244
11.7.2 Причины нарушения статистической устойчивости в реальном мире 246
11.7.3 Образование неопределенности при нелинейных преобразованиях 247
11.7.4 Признаки нарушения статистической устойчивости 247
11.8 Использование различных типов моделей 249
Послесловие 251
Список основных условных обозначений 253
Список литературы 257
Предметный указатель 271
Именной указатель 279
