Probabilités 2

Couverture
Page de titre
Introduction
Chapitre 8. Lois et moments de variables aléatoires
8.1. Compléments de théorie de la mesure
8.2. Loi d'une variable aléatoire
8.3. Moments de variables aléatoires
Exercices
Chapitre 9. Indépendance de tribus, de variables aléatoires
9.1. Indépendance de familles d'événements et de variables aléatoires
9.2. Indépendance et événements asymptotiques
9.3. Quelques résultats liés à l'indépendance et au modèle de pile ou face
9.4. Convolution et loi de la somme de variables aléatoires indépendantes
Exercices
Chapitre 10. Convergences et lois des grands nombres
10.1. Convergence en probabilité et presque sûre
10.2. Convergence L^p et équi-intégrabilité
10.3. Séries de variables aléatoires indépendantes
10.4. Lois des grands nombres
Exercices
Chapitre 11. Probabilités et espérances conditionnelles
11.1. Noyaux et lois conditionnelles
11.2. Moments conditionnels
11.3. Espérance conditionnelle
11.3.1. L'espérance conditionnelle comme projecteur orthogonal dans L²
11.3.2. Extension de la définition de l'espérance conditionnelle à L¹
11.3.3. Extension de la définition de l'espérance conditionnelle à M+
11.3.4. Théorèmes de convergence
11.3.5. Inégalité de Jensen
11.3.6. Calcul d'espérance conditionnelle
Exercices
Chapitre 12. Transformées de Fourier et fonctions caractéristiques
12.1. Définition et propriétés immédiates
12.2. Le théorème d'injectivité
12.3. Propriétés relatives à l'indépendance
12.4. Fonction caractéristique et moments
Exercices
Chapitre 13. Variables aléatoires gaussiennes
13.1. Définition et propriétés
13.2. Existence des mesures gaussiennes. Condition d'absolue continuité
13.3. Marginales
13.4. Régression ; le modèle linéaire
13.4.1. Estimation des paramètres de régression
13.4.2. Le modèle linéaire gaussien
Exercices
Chapitre 14. Convergence de mesures et convergence en loi
14.1. Convergence de mesures bornées sur R^d
14.2. Convergence en loi
14.3. Théorème limite central
14.4. Estimation
Exercices
Chapitre 15. Processus et martingales discrets
15.1. Quelques exemples de processus
15.2. Processus et martingales : définitions
15.3. Temps d'arrêt
15.4. Premier théorème d'arrêt
15.5. Lemme maximal et martingales dans L²
15.6. Décomposition de Doob
15.7. Convergence de martingales intégrables
15.8. Deuxième théorème d'arrêt
15.9. Convergence de sous- et surmartingales
Exercices
Chapitre 16. Chaînes de Markov
16.1. Introduction
16.2. Indépendance conditionnelle
16.3. Chaînes de Markov : propriétés générales
16.3.1. Propriété de Markov ; matrices de transition
16.3.2. Propriété de Markov simple ; lois fini-dimensionnelles
16.3.3. Loi initiale ; propriété de Markov forte
16.4. Visites à un état fixe
16.4.1. Étude de la suite des temps de passage en un point
16.4.2. Lois du nombre de visites d'un point et du premier temps de passage en ce point
16.5. Classification des états
16.5.1. Communication ; périodicité
16.5.2. Récurrence
16.5.3. Comportement asymptotique et classification
16.5.4. Critère analytique de récurrence
16.6. Calcul de la matrice potentiel et de P_x(T¹_y<+∞)
16.6.1. Calcul de la matrice potentiel
16.6.2. Calcul de F(x,y) = P_x(T¹_y<+∞)
16.7. Mesures invariantes
16.8. Loi forte des grands nombres
16.8.1. Théorème de loi forte
16.8.2. Estimation de la matrice de transition
Exercices
Chapitre A. Résumé de théorie de la mesure
A.1. Mesure et probabilité
A.2. Intégrale
A.3. Trois théorèmes de convergence
A.4. Mesure produit et théorème de Fubini
Index