Lezioni di Analisi Matematica, Con Esercizi Svolti e Proposti

Capitolo I° ..................................................................................................................... 3
CALCOLO COMBINATORIO ....................................................................................... 3
1. Disposizioni semplici, permutazioni semplici, combinazioni semplici. ........ 3
2. Disposizioni e combinazioni con ripetizione ................................................ 7
3. Binomio di Newton ....................................................................................... 9
4. Coefficienti binomiali .................................................................................... 9
ESERCIZI SVOLTI .................................................................................................. 11
ESERCIZI PROPOSTI ............................................................................................. 13
Capitolo II.................................................................................................................... 15
DETERMINANTI ....................................................................................................... 15
1. Matrici e determinanti ............................................................................... 15
2. Proprietà dei determinanti. ........................................................................ 17
3. Sviluppo di un determinante ...................................................................... 18
ESERCIZI SVOLTI .................................................................................................. 20
ESERCIZI PROPOSTI ............................................................................................. 23
Capitolo III° ................................................................................................................. 25
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI .............................................................................. 25
1. Premesse. ................................................................................................... 25
2. Caratteristica di una matrice. ..................................................................... 25
3. Sistemi normali - Regola di Cramer ............................................................ 26
4. Sistemi lineari di ? equazioni ad ? incognite. ........................................... 27
5. Sistemi lineari omogenei ............................................................................ 30
ESERCIZI SVOLTI .................................................................................................. 32
ESERCIZI PROPOSTI ............................................................................................. 37
Capitolo IV° ................................................................................................................. 39
INSIEMI ................................................................................................................... 39
1. Notazioni. Appartenenza. Inclusione. Parti di un insieme. ........................ 39
2. Unione, Intersezione, Complementare, Partizione .................................... 40
3. Prodotto cartesiano .................................................................................... 42
186
4. Applicazione, applicazione suriettiva, iniettiva, biiettiva e inversa ............ 43
5. Applicazione composta. .............................................................................. 45
6. Immagine diretta e inversa di una parte e di una famiglia di parti. Codominio di un’applicazione. ........................................................................... 46
7. Restrizione e prolungamento di una applicazione. .................................... 47
8. Successioni .................................................................................................. 48
9. Insiemi numerabili. ..................................................................................... 48
10. I simboli ⇒,⟺,∀ .................................................................................... 49
11. Insiemi di numeri reali. Estremi superiore e inferiore. .......................... 50
12. Funzioni monotone ................................................................................ 56
ESERCIZI SVOLTI ...................................................................................................... 58
ESERCIZI PROPOSTI ............................................................................................. 62
Capitolo V° .................................................................................................................. 65
NOZIONI DI TOPOLOGIA IN ℝ? .............................................................................. 65
1. Insiemi aperti in ℝ?. .................................................................................. 65
2. Insiemi chiusi in ℝ? .................................................................................... 67
3. Intorni in ℝ?. .............................................................................................. 68
4. Punti interni, frontiera, accumulazione, isolati, di aderenza. Interno, frontiera, aderenza di un insieme. Insiemi densi. .............................................. 68
5. Insiemi compatti in ℝ? ............................................................................... 70
6. Insiemi connessi in ℝ? . ............................................................................. 72
ESERCIZI SVOLTI .................................................................................................. 72
ESERCIZI PROPOSTI ............................................................................................. 75
Capitolo IV° ................................................................................................................. 76
LIMITI ...................................................................................................................... 76
1. Limite di una applicazione in un punto ...................................................... 76
2. Limite delle restrizioni. ............................................................................... 78
3. Limite destro e sinistro. .............................................................................. 79
4. Proprietà delle funzioni a valori reali nella operazione di limite. ............... 80
5. Ampliamento di ℝ . .................................................................................... 84
6. Limiti delle successioni. .............................................................................. 88
187
7. Limiti delle funzioni monotone. ................................................................. 93
8. Criterio di Cauchy ....................................................................................... 94
9. Calcolo di alcuni limi ti di notevole importanza. ........................................ 95
ESERCIZI SVOLTI ................................................................................................ 106
ESERCIZI PROPOSTI ........................................................................................... 113
Capitolo VII ............................................................................................................... 116
CONTINUITÀ ......................................................................................................... 116
1. Continuità di una applicazione. ................................................................ 116
2. Continuità a destra e a sinistra. Discontinuità.......................................... 117
3. Continuità delle funzioni a valori reali. ..................................................... 118
4. Continuità di alcune funzioni particolari. ................................................. 118
5. Proprietà generali delle funzioni continue ............................................... 119
6. Le inverse di alcune funzioni elementari. ................................................. 124
7. Continuità uniforme. ................................................................................ 125
ESERCIZI SVOLTI ................................................................................................ 127
ESERCIZI PROPOSTI ........................................................................................... 130
Capitolo VIII° ............................................................................................................. 133
SERIE ..................................................................................................................... 133
1. Definizioni. ................................................................................................ 133
2. Criterio di convergenza ............................................................................. 134
3. Sul comportamento della serie. ............................................................... 135
4. Serie a termini positivi. ............................................................................. 135
5. Serie a segni alternativamente positivi e negativi .................................... 139
6. Serie a termini di segno qualunque. ......................................................... 140
7. Somma e prodotto di serie. ...................................................................... 144
ESERCIZI SVOLTI ................................................................................................ 144
ESERCIZI PROPOSTI ........................................................................................... 149
ESERCIZI DI RIEPILOGO ............................................................................................. 151
1. Esercizi su argomenti del Cap. I°. .............................................................. 151
2. Esercizi su argomenti dei Cap. II°, III°. ...................................................... 153
188
3. Esercizi su argomenti del Cap. IV°. ........................................................... 158
4. Esercizi sulle disequazioni. ....................................................................... 163
5. Esercizi su argomenti del Cap. V°. ............................................................ 167
6. Esercizi su argomenti dei Cap. Vl°, Vll°. .................................................... 170
7. Esercizi su argomenti del Cap. Vlll°. .......................................................... 178