Struktur- und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen

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Inhaltsverzeichnis
Kapitel I. Die klassischen Gruppen
§ 1 Grundlagen der allgemeinen Gruppentheorie
1. Grundbegriffe
2. Beispiele und Erganzungen
3. Operationen von Gruppen auf Mengen
4. Beispiele und Erganzungen
§ 2 Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe
1. Die Algebra Mat(n,K)
2. Die Gruppen GL(n,K) und SL(n,K)
3. Die gewohnliche Operation von GL(n,K)
4. Jordan-Chevalley-Zerlegung in GL(n,K)
5. Erzeugung von SL(n,K) durch Elementarmatrizen
6. Kommutatorgruppe von GL(n.K) und SL(n,K)
7. Zentrum von GL(n,K) und SL(n,K), projektive Gruppen
8. Normalteiler in SL(2,K)
9. Zusammenhang
10. Quaternionen, die Gruppen GL(n,H) und SL(n,H)
§ 3 Symmetrische Bilinearformen und Hermitesche Formen
1. Hermitesche Formen und Matrizen
2. Isometrien Hermitescher Raume
3. Orthogonalitat, Normalformen
4. Euklidische und unitäre Räume
5. Isometriegruppen Hermitescher Raume
§ 4 Orthogonale und unitare Gruppen
1. Die Gruppen SO(p,q), SO(n,C) und SU(p,q)
2. Beispiele: Die Gruppen O(2), O(1,1), SO(3) und SU(2)
3. Konjugationsklassen, maximale Tori, Weyl-Gruppen
4. Anwendung: Zentrum von U(n), SU(n) und SO(n)
5. Normalteiler in SU(2)
6. Spiegelungen, Transitivitiit von O(V,h) auf Spharen
7. Erzeugung von O(V,h) durch Spiegelungen
8. Erzeugung von U(V,h) durch Quasi-Spiegelungen
9. Zusammenhang von SO(V,h) und U(V,h)
10. Bewegungsgruppe des R^n , Galilei-Gruppe
11. Iwasawa-Zerlegung
12. Polar- und Cartan-Zerlegung
13. Lorentz-Gruppe und Minkowski-Raum
14. Isomorphien der Lorentz-Gruppe
15. Beschreibung von O(4) und O(3) durch Quaternionen
16. Hermitesche Formen auf H^n und die Gruppen U(p,q)
§ 5 Symplektische Gruppen
1. Grundbegriffe
2. Zerlegung in hyperbolische Ebenen, Normalformensatz
3. Die symplektische Gruppe Sp(2n,K)
4. Anwendung: Hamiltonsche Gleichungen und ihre Invarianten
5. Erzeugung von Sp(V,s) durch Transvektionen, die Inklusion
Sp(2n,K) in SL(2n,K), Zusammenhang
6. Die Gruppe Sp(2n)
7. Konjugationsklassen, maximaIer Torus und Weyl-Gruppe von
Sp(2n)
8. Eine anti-Hermitesche Form auf H^n und die Gruppe U(n,H)
9. Zusammenstellung der klassischen Gruppen
Kapitel II. Abgeschlossene Untergruppen
von GL(n,K)
§ 1 Die Matrix-Exponentialabbildung
0. Mat(n,K) als metrischer Raum
1. Konvergenz und lokale Umkehrbarkeit der Exponentialabbildung
2. Rechenregeln
3. Einparametergruppen
4. Die Gleichung exp X exp Y = exp h(X, Y)
§ 2 Lineare Gruppen und ihre Lie-Algebren
1. Definition, Beispiele
2. Die Lie-Algebren der klassischen Gruppen
3. Die Exponentialabbildung für einige klassische Gruppen
4. Lineare Gruppen
5. Die Lie-Algebren linearer Gruppen
6. Die Exponentialabbildung einer linearen Gruppe
7. Die von exp(LG) erzeugte Untergruppe von G,
Zusammenhang
8. LG als Tangentialraum
9. Die Lie-Algebren der Poincare- und Galilei-Gruppe
§ 3 Homomorphismen linearer Gruppen und ihrer Lie-Algebren
1. Die Gleichung f o exp = exp o Lf
2. Funktorielle Eigenschaften
3. Maximal-kompakte Untergruppen
4. Lokale Isomorphie
5. Einfacher Zusammenhang und universelle
Uberlagerungsgruppe
Kapitel III. Darstellungen der klassischen
Gruppen
§ 1 Grundlagen der allgemeinen Darstellungstheorie von Gruppen
1. Grundlegende Begriffe und Beispiele
2. Reduzibilitat, direkte Summen
3. Unitäre Darstellungen
4. Kontragrediente und konjugiert-komplexe Darstellung
5. Morphismen, Lemma von Schur
6. Tensorprodukte
7. Isotypische Zerlegung
8. Die Algebra End(V) und ihre Darstellungen
9. Gruppen mit invarianter Mittelbildung, Charaktere
10. Invariante Bilinear- und Sesquilinearformen
§ 2 Darstellungstheorie der klassischen Gruppen
1. Darstellungen der symmetrischen Gruppen Sk
2. Der Sk-Modul V®k und die Darstellungen seiner Endormorphismen-Algebra
3. Der GL{V)-Modul V®k, Darstellungen von GL{n,C) und
SL{n,C)
4. Darstellungen von O(n,C) und Sp(n,C)
5. Darstellungen von SO(n,C)
6. Darstellungen der reellen klassischen Gruppen
Kapitel IV. Halbeinfache komplexe
Lie-Algebren
§ 1 Von der Darstellungstheorie linearer Gruppen zur
Darstellungstheorie von Lie-Algebren
1. Die Ableitung der Darstellung einer linearen Gruppe
2. Beispiel: Die adjungierte Darstellung.
3. Komplexifizierung von Lie-Algebren und Darstellungen
4. Vollstandige Reduzibilitat der klassischen Gruppen
und Algebren
§ 2 Halbeinfache Lie-Algebren
1. Die Killing-Form
2. Wurzelraumzerlegung
3. Wurzelraum-Zerlegung von sl(n,C), so(n,C) und sp(n,C)
§ 3 Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren
1. Zerlegung in Gewichtsraume
2. Die irreduziblen Darstellungen von sl(n,C), so(n,C)
und sp(n,C)
Literatur
Symbolverzeichnis
Sachverzeichnis