Algebraiscbe Topologie

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Inhaltsverzeichnis
Bezeichnungen
I Geometrisch-Topologische Vorbereitungen
1 Beispiele fur Räume, Abbildungen und
topologische Probleme
1.1 Das Homoomorphieproblem
1.2 Identifizieren
1.3 Beispiele zum Identifizieren
1.4 Flächen
1.5 Mannigfaltigkeiten
1.6 Ankleben von Zellen
1.7 Topologische Gruppen, Gruppenoperationen und Orbiträume
1.8 Schwache Topologie
1.9 Das Homöomorphieproblem: Fortsetzung
2 Homotopie
2.1 Homotope Abbildungen
2.2 Ein erstes Beispiel zur Homotopie: Abbildungen
zwischen Kreislinien
2.3 Fortsetzung von Abbildungen und Homotopien
2.4 Homotopietyp
2.5 Notizen
3 Simplizialkomplexe und Polyeder
3.1 Grundbegriffe und Beispiele
3.2 Unterteilung und simpliziale Approximation
3.3 Freimachen durch Deformationen
3.4 Notizen
4 CW-Raume
4.1 Deftnitionen und grundlegende Eigenschaften
4.2 Konstruktion von CW -Räumen
4.3 Homoiopieeigenschaften von CW-Räumen
4.4 Notizen
II Fundamentalgruppen und Uberlagerungen
5 Die Fundamentalgruppe
5.1 Allgemeine Eigenschaften der Fundamentalgruppe
5.2 Die Fundamentalgruppe der Kreislinie
5.3 Der Satz von Seifert und van Kampen
5.4 Folgerungen aus dem Seifert-van Kampen-Satz
5.5 Freie Gruppen und Graphen
5.6 Gruppenbeschreibungen und CW-Räume
5.7 Beispiele von Fundamentalgruppen
5.8 Homotopietypen zweidimensionaler CW -Raume
5.9 Notizen
6 Überlagerungen
6.1 Grundbegriffe und Beispiele
6.2 Liften
6.3 Das Liftungsverhalten einer Überlagerung
6.4 Die universelle Überlagerung
6.5 Deckbewegungen
6.6 Klassifikation von Überlagerungen durch
Untergruppen der Fundamentalgruppe
6.7 Klassiflkation von Überlagerungen durch
Darstellungen der Fundamentalgruppe
6.8 Liften von Strukturen
6.9 Anwendungen der Überlagerungen in der
Gruppentheorie
7 Homologiegruppen von
Simplizialkomplexen
7.1 Definition der Homologiegruppen
7.2 Beispiele zur Homologie
7.3 Simpliziale Abbildungen und Homologiegruppen
7.4 Relative Homologiegruppen
7.5 Notizen
8 Algebraische Hilfsmittel
8.1 Abelsche Gruppen
8.2 Exakte Sequenzen
8.3 Kettenkomplexe
8.4 Kategorien und Funktoren
9 Homologiegruppen topologischer Riiume
9 Homologiegruppen topologischer Räume
9.1 Definition der Homologiegruppen
9.2 Exakte Homologiesequenzen
9.3 Der Homotopiesatz
9.4 Der Ausschneidungssatz
9.5 Homologie von Bällen und Sphären
9.6 Zelluläre Homologie
9.7 Vergleich von simplizialer und singulärer Homologie
9.8 Fundamentalgruppe und erste Homologiegruppe
9.9 Beispiele zur Homologie
9.10 Notizen
10 Homologie mit Koeffizienten
10.1 Einführung und Beispiele
10.2 Tensorprodukt
10.3 Torsionsprodukt
10.4 Das universelle Koeffiziententheorem
10.5 Homologiegruppen mit Koeffizienten
10.6 Beispiele und Anwendungen
10.7 Notizen
11 Einige Anwendungen der
Homologietheorie
11.1 Topologische Eigenschaften der Sphären
11.2 Lokale Homologiegruppen und Invarianzsätze
11.3 Orientierung triangulierbarer Mannigfaltigkeiten
11.4 Orientierung topologischer Mannigfaltigkeiten
11.5 Ein zweites Beispiel zur Homotopie: Abbildungen
zwischen Sphären
11.6 Der Fixpunktsatz von Lefschetz
11.7 Der Jordan-Brouwersche Separationssatz
12 Homologie von Produkten
12.1 Produktketten
12.2 Der Satz von Eilenberg-Zilber
12.3 Die Künneth-Formel
12.4 Das Homologie-Kreuzprodukt
12.5 Künneth-Formel mit Koefftzienten in einem
Korper
12.6 Homologie von Produkten von CW-Raumen
IV Cohomologie, Dualitat und Produkte
13 Cohomologie
13.1 Gruppen von Homomorphismen
13.2 Hom und Ext
13.3 Cohomologiegruppen von Kettenkomplexen
13.4 Das universelle Koeffiziententheorem
13.5 Simpliziale, singuläre und zelluläre Cohomologie
13.6 Beispiele zur Cobomologie
13.7 Notizen
14 Dualität in Mannigfaltigkeiten
14.1 Das cap-Produkt
14.2 Poincare-Dualität
14.3 Die duale Zerlegung einer Mannigfaltigkeit
14.4 Der duale Kettenkomplex
14.5 Beweis des Poincareschen Dualitätssatzes
14.6 Schnittzahlen
14.7 Verschlingungszahlen
14.8 Alexander- und Lefschetz-Dualität
14.9 Notizen
15 Der Cohomologiering
15.1 Das Cohomologie-Kreuzprodukt
15.2 Das cup-Produkt
15.3 Beispiele fur cup-Produkte und Anwendungen
15.4 Cup-Produkt und Schnittzahlen
15.5 Der Cohomologiering der projektiven Riiume
15.6 Cup-Produkt und Verschlingungszahlen
V Fortsetzung der Homotopietheorie
16 Homotopiegruppen
16.1 Mehrfacher Zusammenhang
16.2 Definition der Homotopiegruppen
16.3 Die Rolle des Basispunktes
16.4 Erste Methoden zur Berechnung von
Homotopiegruppen
16.5 Beispiele fiir Homotopiegruppen
16.6 Relative Homotopiegruppen
16.7 Die exakte Homotopiesequenz
16.8 Der Hurewicz-Satz
16.9 Folgerungen und Beispiele
17 Faserungen und Homotopiegruppen
17.1 Faserräume
17.2 Liften von Homotopien
17.3 Homotopiegruppen und Faserungen
18 Homotopieklassifikation von Abbildungen
18.1 Gerüstweise Konstruktion von Abbildungen und
Homotopien
18.2 Abbildungen in asphärische Räume
18.3 Hindernistheorie
18.4 Hindernisse gegen die Konstruktion von Schnitten
Literaturverzeichnis
Index
Symbole