Analysis 2

Cover page
Inhaltsverzeichnis
1 Elemente der Topologie
1.1 Topologie des euklidischen Raumes
1.2 Topologie metrischer Räume
1.3 Stetige Abbildungen
1.4 Kompakte Räume
1.5 Zusammenhang
1.6 Potenzreihen in Banachalgebren
1.7 Aufgaben
2 Differenzierbare Funktionen
2.1 Begriff der Differenzierbarkeit. Elementare
Feststellungen
2.2 Mittelwertsatz und Schrankensatz
2.3 Höhere Ableitungen. Der Satz von Schwarz
2.4 Die Taylorapproximation
2.5 Zur Bedeutung der zweiten Ableitung
2.6 Differentiation parameterabhängiger Integrale
2.7 Die Eulersche Differentialgleichung der
Variationsrechnung
2.8 Aufgaben
3 Differenzierbare Abbildungen
3.1 Begriff der Differenzierbarkeit.
Elementare Feststellungen
3.2 Der Schrankensatz
3.3 Der Satz von der lokalen Umkehrbarkeit
3.4 Auflösen von Gleichungen.
Implizit definierte Abbildungen
3.5 Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten
3.6 Extrema unter Nebenbedingungen
3.7 Aufgaben
4 Vektorfelder
4.1 Vektorfelder. Koordinatensysteme
4.2 Integralkurven in Vektorfeldern.
Gewöhnliche Differentialgleichungen
4.3 Lineare Differentialgleichungen
4.4 Erste Integrale
4.5 Attraktoren und stabile Punkte
4.6 Flüsse in Vektorfeldern und Divergenz
4.7 Divergenz und Laplace-Operator in orthogonalen
Koordinaten
4.8 Aufgaben
5 Felder von Linearformen, Pfaffsche Formen.
Kurvenintegrale
5.1 Begriff der PfaJfschen Form
5.2 Integration von 1-Formen längs Kurven
5.3 Exakte 1-Formen. Wegunabhängigkeit der Integration
5.4 Lokal exakte 1-Formen. Das Lemma von Poincare
5.5 Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals
lokal exakter 1-Formen
5.6 Aufgaben
6 Die Fundamentalsätze der Funktionentheorie
6.1 Der Cauchysche Integralsatz
6.2 Die Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben.
Der Satz von der Potenzreihenentwicklung
6.3 Die Cauchysche Integralformel rür Kreisringe.
Der Satz von der Laurententwicklung
6.4 Der Residuensatz
6.5 Das Maximumprinzip. Die holomorphen Auto­
morphismen der Einheitskreisscheibe
6.6 Die Gammafunktion
6.7 Holomorphe Funktionen und harmonische Funktionen
6.8 Aufgaben
7 Das Lebesgue-Integral
7.1 Integration von Treppenfunktionen
7.2 Die L1-Halbnorm
7.3 Definition des Lebesgue-Integrals.
Elementare Feststellungen
7.4 Der Kleine Satz von Beppo Levi und
der Kleine Satz von Fubini
7.5 Meßbare Teilmengen
7.6 Nullmengen
7.7 Translationsinvarianz des Lebesgue-Integrals.
Das Volumen von Parallelotopen
7.8 Riemannsche Summen
7.9 Aufgaben
8 Vollständigkeit des Lebesgue-Integrals.
Konvergenzsätze und der Satz von Fubini
8.1 Der Vollständigkeitssatz von Riesz-Fischer
8.2 Gliedweise Integration bei monotoner Konvergenz.
Der Satz von Beppo Levi
8.3 Gliedweise Integration bei majorisierter Konvergenz.
Der Satz von Lebesgue
8.4 Parameterabhängige Integrale
8.5 Integration über einen Produktraum.
Die Sätze von Fubini und Tonelli
8.6 Aufgaben
9 Der Transformationssatz
9.1 Formulierung des Transformationssatzes. Erste Beispiele
9.2 Beweis des Transformationssatzes
9.3 Integration mittels Polarkoordinaten und
Jacobi-Abbildung
9.4 Aufgaben
10 Anwendungen der Integralrechnung
10.1 Faltung und Approximation von Funktionen
10.2 Die Fourier-Transformation
10.3 Quadratintegrierbare Funktionen
10.4 Aufgaben
11 Integration über Untermannigfaltigkeiten
des euklidischen Raumes
11.1 Reguläre Parameterdarstellungen
11.2 Das Volumen d-dimensionaler Parallelotope
11.3 Integration über ein Kartengebiet
11.4 Zerlegungen der Eins
11.5 Integration über eine Untermannigfaltigkei
11.5 Integration über eine Untermannigfaltigkeit
11.6 Nullmengen zu einer Dimension d
11.7 Integration über d-dimensionale Flächen
11.8 Aufgaben
12 Der Integralsatz von Gauß
12.1 Integration von Vektorfeldern über orientierte
reguläre Hyperßächen
12.2 Polyeder
12.3 Die Divergenz eines Vektorfeldes
12.4 Der Gaußsehe Integralsatz
12.5 Beweis des Gaußsehen Integralsatzes
12.6 Die Greenschen Formeln
12.7 Aufgaben
13 Der Integralsatz von Stokes
13.1 Alternierende Multilinearformen
13.2 DifferentiaIformen auf offenen Teilmengen
13.3 Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten
13.4 Orientierung von Untermannigfaltigkeiten
13.5 Integration von Differentialformen
13.6 Glatt berandete Teilmengen einer Untermannigfaltigkeit
13.7 Der Satz von Stokes
13.8 Die klassische Version des Satzes von Stokes
13.9 Der Brouwersche Fixpunktsatz
13.10 Aufgaben
Literatur
Bezeichnungen
Namen- und Sachverzeichnis