Cours de topologie

Couverture
Page de titre
PROGRAMME DE TOPOLOGIE DU CERTIFICAT DE C 1
AVERTISSEMENT
CHAPITRE I. - Espaces topologiques et espaces métriques
Introduction
I. - Topologie de la droite R
1. Ouverts, fermés, voisinages, bornes d'un ensemble
2. Limite d'une suite. Critère de convergence de Cauchy
3. Compacité des intervalles fermés bornés
4. Topologie de l'espace R^n
II. - Espaces topologiques
5. Ensembles ouverts, ensembles fermés, voisinages
6. Fermeture, intérieur, frontière
7. Fonctions continues. Homéomorphies
8. Notion de limite
9. Sous-espaces d'un espace topologique
10. Produit fini d'espaces
11. Espaces compacts
12. Espaces localement compacts ; compactification
13. Connexité
14. Groupes, anneaux et corps topologiques
III. - Espaces métriques
15. Distances et écarts
16. Topologie d'un espace métrique
17. Continuité uniforme
18. Espaces métriques compacts
19. Espaces métriques connexes
20. Suites de Cauchy et espaces complets
21. Schéma de la méthode des approximations successives
22. Convergence simple et convergence uniforme
23. Espaces de fonctions également continues
24. Variation totale et longueur
IV. - Exercices et indices
La droite R et l'espace R^n
Espaces topologiques
Espaces métriques
V. - Index terminologique du chapitre V
VI. - Bibliographie
VII. - Définitions et axiomes
VIII. - Rappel de notations classiques
CHAPITRE II. - Fonctions numériques
I. - Fonctions numériques définies sur un ensemble quelconque
1. Relation d'ordre sur F(E,R) et sur F(E,-^R)
2. Bornes d'une fonction numérique
3. Enveloppes supérieure et inférieure d'une famille de fonctions
II. - Notions de limite associées aux fonctions numériques
4. Limites supérieure et inférieure d'une fonction suivant une base de filtre sur E
5. Limites supérieure et inférieure d'une famille de fonctions
6. Opérations sur les fonctions continues
III. - Fonctions numériques semi-continues
7. Semi-continuité en un point
8. Fonctions semi-continues inférieurement dans tout l'espace
9. Construction de fonctions semi-continues inférieurement
10. Fonctions semi-continues sur un espace compact
Il. Semi-continuité de la longueur
IV. - Le théorème de Stone-Weierstrass (12)
V. - Fonctions définies sur un intervalle de R
13. Limites à gauche et à droite
14. Fonctions monotones
15. Théorèmes des accroissements finis
16. Définition des fonctions convexes. Propriétés immédiates
17. Continuité et dérivabilité des fonctions convexes
18. Critères de convexité
19. Fonctions convexes sur une partie d'un espace vectoriel
20. Moyenne relative à une fonction monotone
VI. - Exercices et indices
Fonctions numériques définies sur un ensemble quelconque
Fonctions numériques définies sur un espace topologique
Fonctions numériques semi-continues
Théorème de Stone-Weierstrass
Fonctions définies sur un intervalle
Fonctions convexes
Moyennes et inégalités
VII. - Index terminologique du chapitre VI
VIII. - Bibliographie
IX. - Définitions et axiomes
CHAPITRE III. - Espaces vectoriels topologiques
I. - Espaces vectoriels topologiques généraux. Exemples
1. Définitions et propriétés élémentaires des espaces vectoriels topologiques
2. Topologie associée à une famille de semi-normes
3. Exemples classiques d'espaces vectoriels topologiques
II. - Espaces normés
4. Topologie associée à une norme; applications linéaires continues
5. Stabilité des isomorphismes
6. Produit d'espaces normés; applications multilinéaires continues
7. Espaces normés de dimension finie
III. - Familles sommables ; séries, produits infini; algèbres normées
8. Familles sommables de nombres réels
9. Familles sommables dans les groupes topologiques et les espaces normés
10. Séries ; comparaison des séries et des familles sommables
11. Séries et familles sommables de fonctions
12. Familles multipliables et produits infinis de nombres complexes
13. Algèbres normées
IV. - Espaces de Hilbert
14. Définition et propriétés élémentaires des espaces préhilbertiens
15. Projection orthogonale. Etude du dual
16. Systèmes orthogonaux
17. Séries de Fourier et polynômes orthogonaux
V. - Exercices et indices
Espaces vectoriels topologiques généraux
Topologie associée à une famille de semi-normes
Topologie associée à une norme
Comparaison des normes
Normes et fonctions convexes
Formes linéaires sur les espaces normés
Dual topologique et bidual
Applications linéaires compactes
Espaces normés complets
Espaces normés séparables
Applications linéaires non continues
Produits d'espaces normés et sommes directes
Espaces normés de dimension finie
Familles sommables de nombres réels ou complexes
Familles sommables dans les groupes topologiques et les espaces normés
Séries ; comparaison des séries et des familles sommables
Séries et familles sommables de fonctions
Familles multipliables et produits infinis de nombres complexes
Algèbres normées
Propriétés élémentaires des espaces préhilbertiens
Projection orthogonale. Etude du dual
Systèmes orthogonaux
Polynômes orthogonaux
VI. - Index terminologique du chapitre VII
VII. - Bibliographie
VIII. - Définitions et axiomes