В учебном пособии излагается содержание курса лекций по
уравнениям математической физики. Предназначается для студентов
математических и физических факультетов университетов.
Некоторые разделы пособия мало освещаются в других учебниках
и могут быть полезны для изучения магистрантами и аспирантами.
Author(s): Ильин А. М.
Publisher: ГОУВПО «Челябинский государственный университет»
Year: 2005
Language: Russian
Pages: 171
City: Челябинск
Предисловие 5
Глава 1. Общие свойства дифференциальных уравнений с частными производными 7
§ 1. Начальная задача для уравнений в частных производных. Характеристики 7
§ 2. Классификация линейных уравнений второго порядка в частных производных 10
Задачи и упражнения к главе 1 12
Глава 2. Уравнения гиперболического типа. Уравнение малых колебаний струны 15
§ 3. Вывод и общее решение уравнения малых колебаний струны 15
§ 4. Начальная задача (задача Коши) для уравнения малых колебаний струны 17
§ 5. Неоднородное уравнение малых колебаний струны 20
§ 6. Первая краевая задача (смешанная задача) для однородного УМКС. Метод разделения переменных. Построение классического решения 23
§ 7. Неоднородное уравнение малых колебаний струны 29
§ 8. Энергетическая оценка. Непрерывная зависимость решения смешанной задачи от начальных данных и правой части 31
§ 9. Обобщённые решения краевых задач для уравнения малых колебаний струны 33
Задачи и упражнения к главе 2 41
Глава 3. Уравнение теплопроводности 45
§ 10. Первая краевая задача (смешанная задача) для однородного уравнения теплопроводности. Метод разделения переменных. Построение классического решения 45
§ 11. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. "Обобщённое"решение первой краевой задачи для однородного уравнения теплопроводности 49
§ 12. Неоднородное уравнение теплопроводнсвсти 55
§ 13. Начальная задача (задача Коши)57
Задачи и упражнения к главе 3 59
Глава 4. Уравнения и системы, корректные по Петровскому 61
§ 14. Преобразование Фурье 61
§ 15. Применения преобразования Фурье 65
§ 16. Корректность по Адамару 78
Задачи и упражнения к главе 4 81
Глава 5. Задача Коши для волнового уравнения 83
§ 17. Вывод формулы решения начальной задачи для однородного волнового уравнения 83
§ 18. Доказательство существования решения задачи Коши для волнового уравнения 86
§ 19. Неоднородное волновое уравнение 89
§ 20. Двумерный случай 91
§21. Теорема единственности и непрерывной зависимости решения от начальных функций и от правой части уравнения. Конечная область зависимости решения от начальных данных, конечная область распространения возмущений. Передний и задний фронты волны 92
Задачи и упражнения к главе 5 99
Глава 6. Эллиптические уравнения 101
§ 22. Формулы Грина. Функция Грина первой краевой задачи для уравнения Лапласа 101
§ 23. Решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа в случае круга (или шара) 105
§ 24. Свойства гармонических функций 109
§ 25. Решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа в полуплоскости (полупространстве) 122
§ 26. Решение неоднородного уравнения Лапласа (уравнения Пуассона) 127
§ 27. Единственность решений краевых задач для уравнений Лапласа 129
§ 28. Потенциалы простого и двойного слоя на плоскости и в пространстве и их свойства 135
§ 29. Решение краевых задач для уравнения Лапласа 144
§ 30. Волновое эллиптическое уравнение. Принцип излучения 152
Задачи к главе 6 155
Глава 7. Гиперболические системы дифференциальных уравнений с частными производными 156
§ 31. Задача Коши для системы гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными 158
§ 32. Задача Коши для симметрической гиперболической системы уравнений 164
§ 33. Характеристики и бихарактеристики симметрической гиперболической системы уравнений. Уравнения Гамильтона-Якоби 168
Список рекомендуемой литературы 171
