Учебно-методическое пособие. - СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2013. - 40 с..
Даны комплексные числа, простейшие функции комплексного переменного (экспонента, логарифм, корень, тригонометрия и обратная тригонометрия), римановы поверхности и связи их топологии с интегрируемостью в элементарных функциях и с количеством компонент действительной кривой на проективной плоскости. Приведены основная теорема алгебры и разложение многочленов на комплексные и действительные множители, а также разложение дроби на простейшие.
Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов направлений 141200, 190600, 220700, 151000, 240700, 260100, 260200, 140700, 080200 и 241000 бакалавриата очной и заочной форм обучения.Введение. О числовых системах.
Комплексные числа и действия над ними.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент, тригонометрическая форма записи.
Комплексное дифференцирование, конформные отображения и гармонические функции.
Комплексная экспонента. Формула Эйлера. Комплексный логарифм и его риманова поверхность.
Возведение комплексного числа в степень. Корни из комплексных чисел.
Компактификация комплексной плоскости. Сфера Римана. Топология римановой поверхности и еѐ связь с интегриро-ванием в элементарных функциях.
Проективная плоскость. Уникурсальность кривой и ее связь с топологией римановой оверхности.
Комплексные тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители.
Разложение рациональной дроби на простейшие.
