Géométrie contemporaine 1re partie : géométrie des surfaces, des groupes de transformations et des champs

Page de titre......Page 1
Avant-propos......Page 7
1. Coordonnées cartésiennes dans l'espace......Page 13
2. Changement de coordonnées......Page 15
1. La courbe dans l'espace euclidien......Page 20
2. Formes quadratiques et vecteurs......Page 26
1. Métrique riemannienne......Page 29
2. Métrique de Minkowski......Page 32
1. Groupes des transformations d'un domaine......Page 35
2. Transformations du plan......Page 36
3. Déplacements de l'espace euclidien à trois dimensions......Page 43
4. Autres groupes de transformations......Page 46
1. Courbure des courbes planes......Page 49
2. Courbes gauches. Courbure et torsion......Page 54
3. Transformations orthogonales dépendant du paramètre......Page 58
1. Rappel des éléments de la Relativité restreinte......Page 61
2. Transformations de Lorentz......Page 63
1. Les coordonnées sur la surface......Page 71
2. Plan tangent......Page 74
3. La métrique sur la surface......Page 76
4. Aire de la surface......Page 79
1. Courbure des courbes sur la surface dans l'espace euclidien......Page 84
2. Invariants d'un couple de formes quadratiques......Page 86
3. Propriétés de la deuxième forme fondamentale......Page 88
9. Métrique de la sphère......Page 93
1. Pseudosphère......Page 96
2. Courbure des surfaces spatiales dans R₁³......Page 99
1. Coordonnées complexes et réelles......Page 100
2. Produit scalaire hermitien......Page 102
3. Exemples de groupes de transfornlations complexes......Page 104
1. Notation complexe de l'élément de longueur et de la différentielle d'une fonction......Page 105
2. Changement complexe de coordonnées......Page 108
3. Les surfaces dans l'espace complexe......Page 111
1. Coordonnées isothermes. Courbure totale en coordonnées conformes......Page 113
2. Représentation conforme des métriques de la sphère et du plan lobatchevskien......Page 118
3. Surfaces à courbure constante......Page 121
1. Coordonnées dans le voisinage de l'unité......Page 123
2. Application exp d'une matrice......Page 129
3. Quaternions......Page 132
15. Transformations conformes des espaces euclidiens et pseudo-euclidiens multidimensionnels......Page 137
16. Exemples de tenseurs......Page 145
1. Loi de transformation des composantes des tenseurs de rang quelconque......Page 151
2. Opérations algébriques sur les tenseurs......Page 157
1. Notation différentielle des tenseurs à indices inférieurs......Page 161
2. Tenseurs alternés de type (0,k)......Page 163
3. Produit extérieur de deux formes différentielles. Algèbre extérieure......Page 165
1. Indices remontés et descendus......Page 167
2. Valeurs propres d'une forme quadratique......Page 168
4. Tenseurs dans l'espace euclidien......Page 170
20. Groupes cristallographiques et sous-groupes finis du groupe des rotations du plan et de l'espace. Exemples de tenseurs invariants......Page 171
1. Tenseurs alternés. Invariants du champ électromagnétique......Page 193
2. Tenseurs symétriques et valeurs propres. Tenseur d'énergie-impulsion du champ électromagnétique......Page 197
1. Opération générale de restriction des tenseurs à indices inférieurs......Page 200
2. Application des espaces tangents......Page 201
1. Groupes des difféomorphismes à un paramètre......Page 202
2. Dérivée de Lie. Exemples......Page 203
1. Algèbres de Lie et champs de vecteurs......Page 208
2. Principales algèbres de Lie matricielles......Page 209
3. Champs de vecteurs linéaires......Page 214
4. Métrique de Killing......Page 218
5. Classification des algèbres de Lie à trois dimensions......Page 220
6. Algèbre de Lie du groupe conforme......Page 221
1. Gradient d'un tenseur alterné......Page 227
2. Différentielle extérieure d'une forme......Page 230
1. Intégration des formes différentie11es......Page 235
2. Exemples des formes différentielles......Page 241
3. Formule générale de Stokes. Exemples......Page 246
4. Démonstration de la formule générale de Stokes pour le cube......Page 254
1. Opérateurs d' et d"......Page 257
2. Métrique kählérienne. Forme de courbure......Page 259
1. Connexion euclidienne......Page 262
2. Dérivation covariante des tenseurs de rang quelconque......Page 270
1. Transport parallèle des champs de vecteurs......Page 274
2. Les géodésiques......Page 277
3. Connexions associées à la métrique......Page 278
4. Connexions associées à la structure complexe......Page 281
1. Tenseur de courbure général......Page 285
2. Symétries du tenseur de courbure. Tenseur de courbure engendré par la métrique......Page 288
3. Exemples: tenseur de courbure des espaces à deux et à trois dimensions, tenseur de courbure de la métrique de Killing......Page 290
4. Équations de Peterson-Codazzi. Surfaces à courbure constante négative et équation «sin-Gordon»......Page 296
1. Équations d'Euler-Lagrange......Page 300
2. Quelques exemples de fonctionne11es......Page 304
1. Groupes de transformations conservant le problème aux variations......Page 308
2. Quelques exemples. Application des lois de conservation......Page 309
1. Transformation de Legendre......Page 319
2. Repères mobiles......Page 322
3. Principes de Maupertuis et de Fermat. Applications......Page 326
1. Systèmes de gradient......Page 329
2. Crochet de Poisson......Page 332
3. Transformations canoniques......Page 338
1. Faisceaux de trajectoires et équation de Hamiiton-Jacobi......Page 341
2. Cas des hamiltoniens homogènes du premier ordre en p......Page 345
1. Formule de la seconde variation......Page 348
2. Points associés et condition du minimum......Page 352
1. Équations d'Euler-Lagrange......Page 355
2. Tenseur d'énergie-impulsion......Page 359
3. Équations du champ électromagnétique......Page 364
4. Équations du champ de gravitation......Page 370
5. Surfaces minimales (<6. Équations d'équilibre d'une plaque mince......Page 383
38. Quelques exemples de Lagrangiens......Page 390
39. Éléments de la Relativité générale......Page 393
1. Automorphismes d'une algèbre de matrices......Page 409
2. Représentation spinorielle du groupe SO(3)......Page 410
3. Représentation spinorielle du groupe de Lorentz......Page 412
4. Équation de Dirac......Page 416
5. Équation de Dirac dans le champ électromagnétique. Opérateur de passage à la charge conjuguée......Page 417
1. Transformations de jauge. Lagrangiens invariants de jauge......Page 418
2. Forme de courbure......Page 422
3. Quelques exemples......Page 423
42. Exemples de fonctionnelles invariantes de jauge. Équations de Maxwell et de Yang-Mills. Fonctionnelles à dérivée variationnelle identiquement nulle (classes caractéristiques)......Page 427
Index alphabétique des matières......Page 433