Manual de matemática financiera: texto, problemas y casos

Prefacio............ ................................................. 19 I. Nociones fundamentales............................................ 21 1. Precedencia de las operaciones.............................................. 21 2. Potenciación ............................................................. 23 3. Radicación......................................................................... 24 4. Teoría de exponentes ....... ...................... 25 4.1 Multiplicación de potencias de igual b a s e ................. 25 4.2 División de potencias de igual base ........................... 26 4.3 Multiplicación de potencias de igual exponente .... 27 4.4 División de potencias de igual exponente............ . 27 4.5 Potencia de potencia ...........................................................28 '4.6 Potencia de un producto .... .......... .. . ' . .‘. . . . 28 4.7 Potencia de un cociente ............................... 29 4.8 ' Exponente uno, cero, negativo y fraccionario............ .29 4.8.1 Exponente uho .............. 30 4.8.2 Exponente cero ....... ....... ..................... . . 31 4.8.3 Exponente negativo . .................................. 32 4.8.4 Exponente fraccionario .................................. .. v 34 4.9 Leyes de la radicación ................................................. 37 4.10 Ejercicios resueltos .............................................. . . . . 38 4.11 Ejercicios propuestos ..................... 39 5. Logaritmos .......................... 41 5.1 Antilogaritmos........................................... 42 5.2 Ejercicios resueltos....................................................... 43 5.3 Ejercicios propuestos ................................................... 47 5.4 Propiedades fundamentales de los logaritmos............ 47 5.5 Ejercicios resueltos . ................................................... . 52 5.6 Ejercicios propuestos ................................................... 54 6. Variable y constante............................................................... 54 7. Ecuaciones................................................................................ 55 7.1 Transposición de térm inos....................... 55 7.1.1 Reglas ................................................................. 56 7.2 Expresión recíproca ..................................................... 57 7.3 Sistema de ecuaciones de primer grado simultáneas . 59 7.3.1 Método de reducción de una incógnita............ 60 7.4 Ecuación cuadrática..................................................... 61 7.5 Ecuación bicuadrada................................. 62 8. Progresiones............................................................................. 63 8.1 Progresión aritmética . . . . : ........................................ 63 8.1.1 Enésimo término de una P.A............................... 64 8.1.2 Suma de los n primeros términos ................... 64 8.1.3 Problemas resueltos............................................ 65 8.2 Progresión geométrica ................................................ 67 8.2.1 Enésimo término ................................................. 68 8.2.2 Suma de los n primeros términos ............ .. 68 8.2.3 Límite de la suma de una progresión geométrica decreciente de infinitos térm inos...................... 69 8.2.4 Problemas resueltos............................................ 69 9. Interpolación ............................ 7.3 9.1 Interpolación lineal........................................... 74 9.2 Método del promedio o de la sem isum a................... 79 9.3 Interpolación lineal a través de proporciones............ 79 10. Diagramas de tiempo-valor y de flujo de caja ................... 80 11. Operación de calculadora...................................................... 84 12. Listado de fórmulas ............................................................... 87 13. Problemas propuestos ............................................................ 88 14. Resumen del capítulo .............. 89 Interés simple ................... ....................................... 90 Introducción 90 1. Cálculo del interés sim p le ..................................................... 91 1.1 Período de tiempo comprendido entre dos fechas . . . 93 1.2 Año bancario según BCRP ......................................... 94 1.3 Inclusión y exclusión de días cuando se producen variaciones de tasas .................................... 96 1.4 Variaciones en la tasa de interés ................................ 98 1.5 Variaciones en el principal (numerales)...................... 99 1.6 Numerales con variaciones de tasas ........................... 102 2. Monto, capital o stock final, valor futuro............................. 103 2.1 Monto con variaciones de ta s a .................................. . 105 3. Principal, capital inicial, valor presente............................... 105 4. Ecuaciones de valor equivalente a interés simple ............ .106 5. Problemas resueltos ............................................................ .. 109 6. Listado de fórmulas ............................................................... 119 7. Problemas propuestos.......... .................................................... 120 8. Resumen del capítulo ............................................................. 127 III. Interés compuesto .................................. .................. 128 Introducción ................... 128 1. Cálculo del monto ................................................................ 130 1.1 El factor simple de capitalización................... 130 1.2 El FSC con n no entero .............................................. 132 1.3 Tasa nominal y tasa efectiv a ..................... 134 1.4 El FSC con variaciones en la tasa de in te rés............ 135 1.5 Capitalización calendaría................. 136 2. Cálculo del capital inicial ........................ ............................ 137 2.1 El factor simple de actualización .................................._137 2.2 FSA con variaciones en la tasa de in te rés............ 138 3. Cálculo de la tasa de interés ......................................... 140 4. Cálculo del número de períodos de capitalización............ .. 141 5. Cálculo del interés .................................................................. 141 5.1 Interés devengado en cualquier período capitalizable ............................................................ .. . 143 6. Ecuaciones de valor equivalente a interés compuesto .... 145 6.1 Refinanciación de deudas sustituyéndolas por una sola ................. .............................................. .. 147 6.2 Diferimiento de pagos ................... 148 6.3 Consolidación de pasivos .......................... 149 6.4 Cuotas de amortización de préstamos ......................... 150 6.5 Amortizaciones parciales de préstam os....................... 150 6.6 Ventas a plazos (sistema de créditos) ......................... 151 6.7 Cálculo de la tasa de interés implícito cobrada en financiamientos............................ 153 6.8 Evaluaciones a valor presente ..................... 153 6.9 Cálculo del vencimiento com ún.................................. 154 7. Listado de fórmulas ............................................................... 155 8. Problemas propuestos ....................................................... 156 9. Resumen del capítulo ....................................................... 168 IV. D escuento.............................................................. 169 Introducción .................................................................................... 169 1. Descuento racional, matemático o verdadero ...................... 170 1.1 Descuento racional sim ple............................................ 170 1.1.1 Equivalencia del descuento racional simple y el interés sim ple.............................................. 171 1.2 Descuento racional compuesto.................................... 173 1.2.1 Equivalencia del descuento racional compuesto y el interés com puesto................... 173 1.2.2 Descuento racional compuesto Dk devengado en cada período de descuento........................... 177 2. Descuento bancario .................................................................. 178 2.1 Descuento bancario simple .......................................... 179 2.1.1 Cálculo del valor líquido .................................. 180 2.1.2 Cálculo del valor nominal.................................. 181 2.2 Descuento bancario compuesto .................................. 182 2.2.1 Cálculo del valor líquido .................................... 182 2.2.2 Cálculo del valor nominal.................................. 184 2.2.3 Cálculo del descuento bancario compuesto . . . 184 2.2.4 Descuento bancario compuesto Dk devengado en cada período de descuento.............................. 185 3. Consideraciones entre la tasa "i" y la tasa ”d" ................... 186 4. Descuento com ercial............................................................... 187 4.1 Descuento comercial unitario....................................... 188 4.2 Descuento comercial sucesivo.................................... 188 5. Listado de fórmulas ............................................................... 191 6. Problemas propuestos ............................................................. 193 7. Resumen del capítulo ................ 198 V. Tasas utilizadas en el sistema financiero............... 199 Introducción ............................................................ ........................ 199 1. Tasa activa ................................................................................203 2. Tasa p a s iv a ........................... ...............................................204 3. Tasa nominal y tasa proporcional....................................: . 205 4. Tasa efectiv a .................................................... 206 5. Tasas equivalentes ................................. 209 5.1 Tasa equivalente partiendo de una tasa efectiva d a d a ................................................................... 209 5.2 Tasa nominal equivalente a una tasa efectiva d a d a ............................ 212 5.3 Tasa de interés simple equivalente a una tasa de interés compuesto para un mismo horizonte temporal . ......................................................................... 214 6. Tasa vencida ....................................................... 215 7. Tasa adelantada .........................................................................215 7.1 Tasa adelantada equivalente a una tasa vencida .... 215 7.2 Tasa vencida (i) equivalente a una tasa adelantada (d) .......................... 216 7.3 Factores de descuento....................... 217 8. Tasa de interés convencional compensatorio.........................220 9. Tasa de interés monitorio .......................... 220 10. Tasa de interés total en mora (ITM )....................... 221 11. TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPM EX....................................... 222 11.1 Tasa efectiva en soles de depósitos en moneda extranjera (dólares)...................................... 223 12. Tasa de inflación .......................... 225 12.1 Cálculo de la tasa acumulada de inflación cuando se conocen las variaciones m ensuales............................................................, . . . 226 12.2 Cálculo de la tasa de inflación cuando se conocen los números ín d ices..........................................227 13. 'Tasa r e a l..... 229 14. Tasa de interés ajustada por inflación .....................................232 15. Tasa discreta y continua .......................................................... 233 16. Tasas explícita e im plícita........................................................ 234 17. Tasa de interés le g a l....................................................... 234 18. Listado de fórmulas ..................................................................235 19. Problemas propuestos ...................................... 237 20. Resumen del capítulo ................................... 248 VI. Anualidades vencidas................................. 250 Introducción ....................................................................................... 250 1. Anualidades y rentas ciertas vencidas .................................. 253 2. Monto de una anualidad simple .................................... 253 3. Valor presente de una anualidad sim ple....................................256 4. Cálculo del valor de las rentas en las anualidades simples ............................................................................ 258 4.1 Renta conociendo el valor fu tu ro ..........................258 4.2 Renta conociendo el valor presente ..............................259 5. Cálculo de n en una anualidad........................................... . 261 5.1 Cálculo de n en función al FCS o FDFA .....................261 5.2 Cálculo de n en función al FRC o FAS .......................262 6. Cálculo de la tasa de interés implícita de una anualidad . . 264 7. Factores financieros ..................................................................264 7.1 Relaciones entre los factores financieros........................266 8. Problemas resueltos ................................... 267 9. Listado de fórmulas . ............................................................. 277 10. Problemas propuestos ................................................................278 11. Resumen del capítulo ................................................................284 VIL Anualidades anticipadas ............................... 286 Introducción ............................... 286 1. Monto de una anualidad simple anticipada............................. 288 2. Valor presente de una anualidad simple anticipada............289 3. Cálculo del valor de las rentas o imposiciones en las anualidades simples anticipadas .............................................. 290 3.1 Renta o imposición conociendo el valor futuro .... 290 3.2 Renta o imposición conociendo el valor presente . . . 291 4. Cálculo n en una anualidad anticipada.................................. 293 4.1 Obtención de n a partir del FCS o F D F A .................. 293 4.2 Obtención de n a partir del FRC o FAS ....................... 293 5. Cálculo de la tasa de interés de una anualidad anticipada . 295 6. Listado de fórmulas ...................... 296 7. Problemas propuestos ................................................................297 8. Resumen del capítulo ............................... 301 VIII. Anualidades diferidas..................... 302 Introducción .......................................................................... 302 1. Monto de las anualidades simples diferidas: vencida y anticipada ............................................................................ . 303 2. Valor presente de una anualidad simple diferida vencida . . 303 3. Valor presente de una anualidad simple diferida anticipada ................................................ 305 4. Cálculo del valor de las rentas en las anualidades diferidas simples: vencidas y anticipadas .............................................. 306 5. Cálculo de n e i en una anualidad d iferid a........................ 308 6. Problemas resueltos ............................................................ . 308 7. Listado de fórmulas .............. 311 8. Problemas propuestos .............. 312 9. Resumen del capítulo .......................... 315 IX. Rentas perpetuas...........................................................316 Introducción ....................................................................................... 316 1. Monto de una perpetuidad........................................................ 316 2. Cálculo del valor de las rentas en una perpetuidad simple . 317 2.1 Renta perpetua vencida................ 318 2.2 Renta perpetua anticipada...................................... v. . 318 3. Valor presente de una perpetuidad vencida y anticipada . . 319 3.1 Valor presente de una perpetuidad v e n c id a 319 3.2 Valor presente de una perpetuidad anticipada ..... 320 3.3 Valor presente de una perpetuidad anticipada cuya renta inicial es diferente a las demás ren tas..................321 4. Valor presente de una perpetuidad simple diferida vencida y anticipada..................................................................322 4.1 Valor presente de una perpetuidad diferida vencida . 322 4.2 Valor presente de una perpetuidad diferida anticipada * 323 5. Capitalización ................................................................... 324 6. Valor presente de una perpetuidad a pagar al final de cada cierto número de períodos de capitalización ............................325 7. Costo capitalizado........................ 327 7.1 Costo capitalizado cuando F es igual a W . . .............329 8. Costos equivalentes .................................................................... 331 9. Listado de fórmulas ..................................................................332 10. Problemas propuestos .............. 334 11. Resumen del capítulo ........................ 339 X. Anualidades generales................... 340 Introducción ................................. 340 1. El FDFA como factor de distribución de rentas vencidas . . 341 2. El FCS como factor de agrupamiento de rentas vencidas . . 344 3. Monto de una anualidad general.............................................. 347 4. Valor presente de una anualidad general ............................. 348 5. Renta de una anualidad general .................................... 349 6. Tiempo y tasa de una anualidad general ............................. 350 7. Problemas propuestos ............................................................... 350 8. Resumen del capítulo ...................................... 353 XI. Factores m últiples.................................... 354 Introducción ....................................................................................... 354 1. Anualidades y flujos distribuidos aleatoriamente.............. .. 355 2. Anualidad equivalente de flujos uniformes y únicos .............357 3. Cambios de tasas en anualidades ................................. 358 4. Conversión de anualidades variables a anualidades simples 359 5. Problemas propuestos ............................................................ 360 6. Resumen del capítulo ...................................... 364 XII. Gradientes................. ...... ........................................ 365 Introducción ......................................... ....................................... . 365 1. Anualidades con rentas en progresión aritmética................. 366 1.1 Valor presente de una anualidad de los gradientes . . 367 1.1.1 Factor de actualización de una anualidad de los gradientes 369 1.2 Anualidad con rentas uniformes equivalente a una anualidad de los gradientes......................................... 369 1.2.1 FRC de una anualidad de los gradientes..........370 1.3 Gradientes desfasados..............................................'. . 372 1.3.1 Valor presente de una anualidad de gradientes desfasados .......................... '.............................. 373 1.4 Gradientes negativos ................... 375 2. Anualidades con rentas en progresión geom étrica...............376 2.1 Valor presente de una anualidad cuyas rentas crecen geométricamente ............ ,............................................. 376 3. Listado de fórmulas .................................................. 378 4. Problemas propuestos .................................... 379 5. Resumen del capítulo ............................................................... 383 XIII. Fondos de amortización...............................................384 Introducción ....................................................................................... 384 1. Fondos de amortización.......................................................... 385 2. Fondos de amortización donde la incógnita es n ........ 387 3. Pago necesario para acumular el fondo de amortización cuando n no es en te ro .................................................... 391 4. Fondos de amortización donde la incógnita es la tasa de interés......................................................... 393 5. Cuadro del fondo de amortización ..........................................394 6. Cálculo del fondo de amortización en una fecha dada .... 395 7. Fondos de amortización con variaciones en la tasa de interés............................................................................ 395 8. Listado de fórmulas ............................................................... 397 9. Problemas propuestos .......................... 397 10. Resumen del capítulo ............................................................... 399 XIV. Amortización............................................................ . 400 Introducción ................... 400 1. Tabla de reembolso de préstamos o servicio de la deuda . . 401 2. Sistemas de repago de préstamos ............................................403 3. Cuotas constantes vencidas . ................................................... 404 3.1 Cálculo de la cuota constante cuando el préstamo se desembolsa en partes ............................................. 407 3.2 Cálculo de la cuota constante cuando existen variaciones de ta s a ................................................ 410 3.3 Pagos en fechas anteriores al vencimiento de la cuota fija ........................ 412 3.4 Pagos cuyos importes son mayores a la cuota fija . . 414 3.5 Cálculo de la cuota capital en cualquier cuota constante........................................................................... 415 3.5.1 Cuota capital en función de la cuota constante 415 3.5.2 Cuota capital en función del préstam o..............418 3.5.3 Cuota capital en función de la primera cuota capital ................... ............................419 3.6 Cálculo de la cuota interés en cualquier cuota constante......................................................... 419 3.6.1 Cuota interés en función de la cuota constante 420 3.6.2 Cuota interés en función del préstam o............. 420 3.7 Cálculo de la deuda extinguida en cualquier cuota . . 421 3.7.1 Deuda extinguida en función de A j..................... 421 3.7.2 Deuda extinguida en función de R ....................... 422 3.7.3 Deuda extinguida en función P .............................422 3.8 Cálculo de la deuda residual en cualquier fecha .... 423 3.8.1 Deuda residual en función de R ......................... 423 3.8.2 Deuda residual en función de P ............................424 3.9 Cálculo para hallar n ................... 425 3.10 Importe de la última renta cuando n es no entero . . . 426 3.11 Cálculo para hallar la tasa de interés ........................ 430 4. Cuotas constantes en períodos variables ...................................431 5. Cuotas constantes anticipadas.................................... 433 6. Cuotas constantes diferidas ......................................................434 7. Amortizaciones constantes ......................................... 435 8. Interés constante............ ............................................................437 9. Cuotas crecientes aritméticamente............................................ 439 9.1 Cálculo del gradiente constante.....................................440 9.2 Cálculo de G en una anualidad variable ......... 441 10. Cuotas crecientes geométricamente................ 443 11. Cuotas con amortizaciones Crecientes periódicamente .... 444 12. Suma de números dígitos.......................................................... 446 13. Sistema de reajuste de d e u d a ................................................... 447 14. Listado de fórmulas ................................................................. 449 15. Problemas propuestos ............................................................... 451 16. Resumen del capítulo ................... .... . ¡ ............................. 463 XV. Depreciación .................................................................. 466 Introducción .......................................................................... 466 1. Método uniforme o de línea re c ta ........................................... 468 1.1 Depreciación . ......................................... 468 1.2 Fondo de reserva o depreciación acumulada ...... 469 1.3 Valor contable................................................................. 470 2. Método del porcentaje fijo del valor decreciente en libros (saldo decreciente) ....................................................................470 2.1 Valor contable..................................................................471 2.2 Depreciación ............................................*................... 471 2.3 Fondo de reserv a.............................................................472 3. Apreciaciones al método de línea recta y al método del porcentaje fijo del valor decreciente en libros . ....................474 4. Método del doble saldo decreciente .................................... 474 4.1 Valor contable................... 475 4.2 Depreciación....................................................................475 5. Método del fondo de amortización ...................................... 476 5.1 Depreciación....................................................................476 6. Método del interés sobre la inversión ...................................... 477 7. Método de unidades producidas .............................................. 480 8. Método de suma de números dígitos....................................... 481 9. Listado de fórmulas ................................................ 482 10. Problemas propuestos ................... 484 11. Resumen del capítulo .................................................................486 C asos..........................................................................................489 Siglas . . . . ................................................................... 501Bibliografía ..............................................................................508