Author(s): Andrei Marcus
Year: 2019
Language: Romanian
Commentary: Downloaded from http://math.ubbcluj.ro/~marcus/for_students/curs-algebra-fizica-v9.1.pdf
Descrierea cursului
Tematica
Evaluare
Multimi si functii
Preliminarii
Operatii cu multimi
Functii
Imagine si contraimagine
Compunerea functiilor
Functii injective, surjective, bijective
Familii de elemente. Produs cartezian de multimi
Exercitii
Structuri algebrice
Grupuri
Notiunea de grup. Exemple
Morfisme de grupuri
Subgrupuri. Imaginea si nucleul unui morfism
Grupul simetric Sn
Grupul diedral Dn. Grup de simetrie
Inele si corpuri
Notiunea de inel. Exemple
Inelul matricelor
Morfisme de inele si corpuri
Subcorpuri
Corpul numerelor complexe
Vectori
Preliminarii
Unghiuri directoare
Operatii cu vectori
Adunarea vectorilor si înmultirea cu scalari
Produsul scalar
Produsul vectorial
Produsul mixt (sau triplul produs scalar)
Dublul produs vectorial (sau triplul produs vectorial)
Aplicatii: punctul, dreapta si planul în spatiu
Sisteme de coordonate speciale
Coordonatele cilindrice (,,z)
Coordonatele sferice (r,,)
Exercitii
Spatii vectoriale si algebre
Notiuni de baza si exemple
Algebre Lie
Subspatii vectoriale si subalgebre
Functii liniare si morfisme de algebre
Algebra cuaternionilor
Rotatii în spatiu. Formula lui Rodrigues
Serii formale si polinoame
Algebrele K[[X]] si K[X]
Functii polinomiale. Radacini ale polinoamelor
Exemple de serii convergente în planul complex C. Functii trigomometrice si hiperbolice
Baza si dimensiune
Combinatii liniare. Dependenta si independenta liniara
Teorema lui Steinitz. Dimensiunea unui spatiu vectorial
Teoreme referitoare la dimensiune
Matricea unei aplicatii liniare
Proprietatea de universalitate a spatiilor vectoriale
Matricea unei aplicatii liniare
Schimbarea bazei
Lema substitutiei (schimbare elementara de baza)
Calculul coordonatelor unui vector într-o noua baza
Determinanti si sisteme de ecuatii liniare
Definitia si proprietatile determinantului
Determinanti de ordin 2 si 3
Determinantul de ordin n
Matrice inversabile
Grupuri de matrice
Calculul inversei si determinantului unei matrice
Rangul unei matrice
Calculul rangului unei matrice
Sisteme de ecuatii liniare
Compatibilitatea unui sistem de ecuatii. Teoremele lui Kronecker–Capelli si Rouché
Rezolvarea sistemului de ecuatii prin reducerea la un sistem Cramer
Rezolvarea ecuatiei matriceale prin metoda eliminarii Gauss-Jordan
Valori proprii si vectori proprii
Polinom caracteristic
Teorema Cayley–Hamilton
Operatori triangularizabili
Operatori diagonalizabili
Spatii cu produs scalar
Forme biliniare si patratice
Forme hermitiene
Reducerea formelor patratice la forma canonica
Legea lui Sylvester de inertie a formelor patratice
Spatii Hilbert finit dimensionale
Baze ortonormate
Complementul ortogonal al unui subspatiu
Adjuncta unui operator
Operatori autoadjuncti
Operatori ortogonali si unitari
Operatori normali
Teoreme spectrale
Grupuri Lie de matrice si algebrele lor Lie
Grupuri ortogonale si unitare. Reflexii si rotatii în spatiu
Grupul afin, grupul euclidian si grupul Galilei
Grupuri ortogonale indefinite. Grupul Lorenz si grupul Poincaré
Algebra Lie a unui grup Lie
Spatii Hilbert infinit dimensionale
Spatiul 2 al sirurilor de patrat sumabil
Spatiul L2 al functiilor de patrat integrabil
Tensori
Introducere
Istoric
Aplicatii ale tensorilor
Notatii si conventii
Coordonatele unui vector. Notatia lui Einstein
Spatiul dual. Covectori
Definitii ale tensorilor
Tabele (matrice) multidimensionale
Forme multiliniare
Produse tensoriale de spatii vectoriale
Operatii cu tensori
Produsul tensorial al doi tensori
Contractia unui tensor
Coborârea si ridicarea indicilor
Împletirea (braiding), simetrizarea si antisimetrizarea
Dualul unui spatiu Hilbert finit dimensional. Notatia bra-ket a lui Dirac
Determinanti si simbolul lui Levi-Civita
Bibliografie
Glosar
