Неравенства

Харди Г., Литтльвуд Дж., Полиа Г. Неравенства......Page 1
Титульный лист......Page 4
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 6
От переводчика......Page 12
Из предисловия авторов к английскому изданию......Page 13
1.1. Неравенства для конечных сумм, рядов и интегральные неравенства......Page 14
1.3. Положительные неравенства......Page 15
1.4. Однородные неравенства......Page 16
1.5. Аксиоматическая основа алгебраических неравенств......Page 18
1.6. Сравнимые функции......Page 19
1.7. Выбор доказательств......Page 20
1.8. Выбор предмета......Page 22
2.1. Обыкновенные средние......Page 25
2.2. Взвешенные средние......Page 26
2.3. Предельные случаи средних M_^r(a)......Page 27
2.4. Неравенство Коши......Page 29
2.5. Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом......Page 30
2.6. Другие доказательства теоремы о средних......Page 32
2.7. Неравенство Гельдера и его обобщения......Page 36
2.8. Неравенство Гельдера и его обобщения (продолжение)......Page 39
2.9. Общие свойства средних M_^r(a)......Page 42
2.10. Суммы G_^r(a)......Page 43
2.11. Неравенство Минковского......Page 45
2.12. Аналог неравенства Минковского......Page 48
2.13. Иллюстрации и приложения основных неравенств......Page 49
2.14. Доказательства основных неравенств методом индукции......Page 54
2.15. Элементарные неравенства, связанные с теоремой 37......Page 56
2.16. Элементарное доказательство теоремы 3......Page 59
2.17. Неравенство Чебышева......Page 60
2.18. Теорема Мюрхеда......Page 62
2.19. Доказательство теоремы Мюрхеда......Page 63
2.20. Другая теорема о сравнимости симметрических средних......Page 66
2.21. Дальнейшие теоремы о симметрических средних......Page 67
2.22. Элементарные симметрические функции от n положительных чисел......Page 69
2.23. Замечание о положительных формах......Page 73
2.24. Теорема о строго положительных формах......Page 76
Разные теоремы и примеры......Page 80
3.1. Определения......Page 86
3.2. Эквивалентные средние......Page 87
3.3. Одно характеристическое свойство средних M_^r......Page 89
3.4. Сравнимость......Page 91
3.5. Выпуклые функции......Page 92
3.6. Непрерывные выпуклые функции......Page 93
3.7. Другое определение......Page 94
3.8. Случаи равенства в основных неравенствах......Page 96
3.9. Новая формулировка и обобщение теоремы 85......Page 97
3.10. Дважды дифференцируемые выпуклые функции......Page 98
3.11. Приложения свойств дважды дифференцируемых выпуклых функций......Page 99
3.12. Выпуклые функции от нескольких переменных......Page 101
3.13. Обобщения неравенства Гельдера......Page 104
3.14. Некоторые теоремы о монотонных функциях......Page 106
3.15. Суммы с произвольной функцией, обобщения неравенства Иенсена......Page 107
3.16. Обобщения неравенства Минковского......Page 108
3.17. Сравнение последовательностей......Page 112
3.18. Дальнейшие общие свойства выпуклых функций......Page 115
3.19. Дальнейшие свойства непрерывных выпуклых функций......Page 118
3.20. Разрывные выпуклые функции......Page 120
Разные теоремы и примеры......Page 121
4.2. Приложения формулы конечных приращений......Page 127
4.3. Дальнейшие приложения элементарных теорем дифференциального исчисления......Page 129
4.4. Максимумы и минимумы функций от одного переменного......Page 132
4.6. Приложения теории максимумов и минимумов функций от нескольких переменных......Page 133
4.7. Сравнение рядов и интегралов......Page 136
4.8. Неравенство Юнга......Page 137
5.1. Введение......Page 141
5.2. Средние M_^r......Page 143
5.3. Обобщения теорем 3 и 9......Page 146
5.4. Неравенство Гельдера и его обобщения......Page 147
5.5. Средние M_^r (продолжение)......Page 149
5.6. Суммы G_^r......Page 150
5.8. Неравенство Чебышева......Page 151
Разные теоремы и примеры......Page 152
6.1. Предварительные замечания об интегралах Лебега......Page 155
6.2. Замечания о нулевых множествах и нулевых функциях......Page 157
6.3. Дальнейшие замечания, относящиеся к интегрированию......Page 158
6.4. Замечания о методах доказательств......Page 160
6.5. Дальнейшие замечания о методе; неравенство Шварца......Page 162
6.6. Определение средних M_^r(f) когда r\neq 0......Page 164
6.7. Среднее геометрическое функции......Page 166
6.8. Дальнейшие свойства среднего геометрического......Page 169
6.9. Неравенство Гельдера для интегралов......Page 170
6.10. Общие свойства средних M_^r(f)......Page 174
6.11. Общие свойства средних M_^r(f) (продолжение)......Page 175
6.13. Неравенство Минковского для интегралов......Page 177
6.14. Средние значения, зависящие от произвольной функции......Page 183
6.15. Определение интеграла Стилтьеса......Page 185
6.16. Частные случаи интеграла Стилтьеса......Page 187
6.17. Обобщения приведенных выше теорем......Page 188
6.18. Средние M_r(f;phi)......Page 189
6.19. Функции распределения......Page 190
6.20. Характеристические свойства средних значений......Page 191
6.21. Замечания о характеристических свойствах......Page 193
6.22. Окончание доказательства теоремы 215......Page 195
Разные теоремы и примеры......Page 197
7.1. Общие замечания......Page 208
7.2. Предмет настоящей главы......Page 210
7.3. Пример неравенства с недостижимым экстремумом......Page 211
7.4. Первое доказательство теоремы 254......Page 213
7.5. Второе доказательство теоремы 254......Page 215
7.6. Дальнейшие примеры применения методов вариационного исчисления......Page 220
7.7. Дальнейшие примеры: неравенство Виртингера......Page 222
7.8. Пример неравенства, содержащего вторые производные......Page 226
Разные теоремы и примеры......Page 233
8.2. Одно неравенство для полилинейных форм с положительными коэффициентами и переменными......Page 238
8.3. Одна теорема Юнга......Page 240
8.4. Обобщения и аналоги......Page 243
8.5. Приложения к рядам Фурье......Page 245
8.6. Теорема выпуклости для положительных полилинейных форм......Page 247
8.7. Общие билинейные формы......Page 248
8.8. Определение ограниченной билинейной формы......Page 250
8.9. Некоторые свойства форм, ограниченных [р,q]......Page 253
8.10. Свертка двух форм в [р,р']......Page 254
8.11. Некоторые специальные теоремы о формах в [2,2]......Page 256
8.12. Приложение к формам Гильберта......Page 257
8.13. Теорема выпуклости для билинейных форм с комплексными коэффициентами и переменными......Page 259
8.15. Доказательство теоремы 295......Page 262
8.16. Приложения теоремы М. Рисса......Page 265
8.17. Приложения к рядам Фурье......Page 267
Разные теоремы и примеры......Page 268
9.1. Теорема Гильберта о двойных рядах......Page 273
9.2. Об одном общем классе билинейных форм......Page 274
9.3. Интегральный аналог теоремы 318......Page 277
9.4. Обобщения теорем 318 и 319......Page 279
9.5. Наилучшие константы: доказательство теоремы 317......Page 280
9.6. Дальнейшие замечания к теоремам Гильберта......Page 283
9.7. Приложения теоремы Гильберта......Page 286
9.8. Неравенство Харди......Page 289
9.9. Дальнейшие интегральные неравенства......Page 294
9.10. Дальнейшие теоремы о рядах......Page 297
9.11. Вывод теорем о рядах из теорем об интегралах......Page 299
9.12. Неравенство Карлемана......Page 300
9.13. Теоремы с 0<р<1......Page 302
9.14. Теорема с двумя параметрами р и q......Page 305
Разные теоремы и примеры......Page 307
10.1. Перестановки конечных систем переменных......Page 314
10.2. Теорема о перестановках двух систем......Page 315
10.3. Второе доказательство теоремы 368......Page 317
10.4. Другая формулировка теоремы 368......Page 318
10.5. Теоремы о перестановках трех систем......Page 319
10.6. Сведение теоремы 373 к частному случаю......Page 320
10.7. Окончание доказательства......Page 323
10.8. Другое доказательство теоремы 371......Page 325
10.9. Перестановки любого числа систем......Page 329
10.10. Еще одна теорема о перестановках любого числа систем......Page 331
10.12. Перестановка функции......Page 333
10.13. О перестановках двух функций......Page 335
10.14. О перестановках трех функций......Page 336
10.15. Окончание доказательства теоремы 379......Page 339
10.16. Другое доказательство......Page 343
10.17. Приложения......Page 346
10.18. Другая теорема о перестановке функции в убывающем порядке......Page 350
10.19. Доказательство теоремы 384......Page 352
Разные теоремы и примеры......Page 356
I. Неравенства для выпуклых функций (Д.1-Д.11)......Page 362
II. Неравенство Карлсона (Д.12-Д.17)......Page 368
III. Неравенство Карлсона (продолжение) (Д.18-Д.22)......Page 378
IV. Обобщения теоремы 256 (Д.23-Д.26)......Page 383
V. Аналоги неравенства Виртингера (Д.27-Д.32)......Page 385
VI. Неравенства между верхними гранями производных (Д.33-Д.37)......Page 389
VII. Неравенства для производных (Д.38-Д.41)......Page 394
VIII. Неравенство Ингама о билинейных формах (Д.42)......Page 398
IX. Обобщения неравенства Харди (Д.43-Д.48)......Page 399
X. Обобщения неравенства Карлемана (Д.49-Д.56)......Page 403
XI. Уточнение неравенства Эллиота (Д.57-Д.60)......Page 410
XII. Точные константы в неравенствах Харди и Литтльвуда (Д.61-Д.62)......Page 414
XIII. Аналоги неравенств Харди и Литтльвуда (Д.63-Д.65)......Page 422
XIV Константы в двупараметрических неравенствах Гильберта (Д.66-Д.68)......Page 425
XV. Интегральный аналог (Д.69)......Page 432
XVI. Разные теоремы (Д.70-Д.83)......Page 433
Библиография......Page 443
Список опечаток......Page 458