Лекции по школьной математике

От автора 15
Часть L АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Глава 1. Введение в алгебру
§1.1. Квадратный трехчлен 29
1.1.1. Вавилонская задача о нахождении двух чисел по
их сумме и произведению
1.1.2. Разложение квадратного трехчлена на множители.
Решение квадратного уравнения
1.1.3. Исследование квадратного трехчлена методом выде-
ления полного квадрата. Минимально возможное значе-
ние квадратного трехчлена. Когда квадратное уравнение
не имеет корней
1.1.4. Неравенство для среднего арифметического и сред-
него геометрического
1.1.5. Исследование неравенств, содержащих квадратный
трехчлен, с помощью метода интервалов
§1.2. Числовые последовательности и прогрессии 32
1.2.1. Арифметическая прогрессия: определение, п־й член,
сумма первых п членов
1.2.2. Геометрическая прогрессия: определение, п־й член.
Степень с натуральным и нулевым показателем
1.2.3. Сумма первых п членов геометрической прогрессии
1.2.4. Бесконечная периодическая дробь, метод ее перево-
да в обыкновенную
§1.3. Степени и радикалы 36
1.3.1. Определение степени с отрицательным целым пока־
зателем
Лекции по 4 школьной математике (О.Ю. Шведов)
1.3.2. Основные свойства степени с целым показателем
(сложение и умножение показателей, умножение основа-
ний)
1.3.3. Корень п-й степени при четном и нечетном п. Воз-
ведение корня п-й степени в степень п
1.3.4. Радикал произведения и степени, последовательное
извлечение радикалов
1.3.5. Определение степени с дробным показателем
1.3.6. Равные дробные показатели и равные степени.
Свойства степени с дробным показателем
§1.4. Показательная функция. Логарифм 42
1.4.1. Графики функции у = 2х и у = 0 ,5х. Общие
свойства показательной функции у(х) = ах при разных
а (возрастание при а > 1 и убывание при 0 < а < 1,
достижение сколь угодно больших и сколь угодно
близких к нулю значений)
1.4.2. Решение уравнения ах = Ь. Определение логарифма.
Логарифмические тождества (показательная функция от
логарифма и логарифм показательной функции)
1.4.3. Свойства логарифмов: логарифм произведения, степе-
ни, переход к другому основанию
1.4.4. Применение логарифмов (замена умножения на ело-
жение, возведение в произвольную степень, извлечение
корней)
Глава 2. Элементы высшей математики
§2.1. Дифференциальное исчисление. Метод Ферма иссле-
дования функций 47
2.1.1. Как заменить криволинейный график функции пря-
мой линией? Понятие производной
2.1.2. Дифференцирование константы, суммы величин,
произведения величины на константу
2.1.3. Дифференцирование произведения
2.1.4. Дифференцирование выражений X 2 y у/х ך х 3 и \/х .
Общая формула для дифференцирования х п
2.1.5. Дифференцирование тригонометрических функций
Оглавление 5
2.1.6. Метод Ферма исследования функций на возрастание
и убывание
§2.2. Понятие об интеграле. Формула Ньютона-Лейбница 51
2.2.1. Понятие об интеграле. Интеграл от константы и
ступенчатой функции
2.2.2. Интеграл от суммы функций, произведения функции
на число
2.2.3. Замена переменной в интеграле и операции над
графиком функции (отражение, сдвиг, растяжение по
горизонтали)
2.2.4. Изменение функции и интеграл от ее производной.
Формула Ньютона-Лейбница, ее применение к расчету
интегралов
2.2.5. Замена переменной в интеграле с точки зрения
формулы Ньютона-Лейбница
2.2.6. Табличные интегралы (интегралы от степенной и
тригонометрической функции)
§2.3. Натуральный логарифм и экспонента 58
2.3.1. Натуральный логарифм как площадь под гипербо-
лой. Интеграл от 1/х по произвольному промежутку.
Производная натурального логарифма
2.3.2. Масштабирование площади под гиперболой. Нату-
ральный логарифм произведения и степени. Значения,
принимаемые натуральным логарифмом
2.3.3. Определение экспоненты. Экспонента нуля. Лога-
рифм экспоненты и экспонента логарифма. Произведение
экспонент, степень экспоненты. Число е как основание
натуральных логарифмов
2.3.4. Дифференцирование экспоненты и степенной функ-
ции
2.3.5. Неравенство для es и 1 + 5 ׳. Приближенный расчет
экспоненты и числа е
§2.4. Комплексные числа 65
2.4.1. Комплексные числа, их действительная и мнимая
части
2.4.2. Сложение и умножение комплексных чисел. Ком-
плексное сопряжение. Обращение комплексного числа
Лекции по 6 школьной математике (О.Ю. Шведов)
2.4.3. Изображение комплексного числа на координатной
плоскости. Сложение комплексных чисел и сложение
векторов. Тригонометрическая запись комплексного
числа, его модуль и аргумент
2.4.4. Функция Эйлера. Геометрический смысл умножения
комплексного числа на функцию Эйлера (поворот векто-
ра)
2.4.5. Свойства функции Эйлера при сложении аргумен-
тов — краткая запись тригонометрических формул ело-
жения
2.4.6. Приближенный расчет значений синуса и косинуса
с помощью комплексных чисел. Понятие об экспоненте
мнимого числа
2.4.7. Извлечение корня п-й степени из комплексного чис-
ла
Глава 3. Уравнения и неравенства.
Целочисленная математика
§3.1. Уравнения п-й степени 71
3.1.1. Уравнение п-й степени. Исключение слагаемых (п —
— 1)־й степени. Понижение степени уравнения с извест-
ным корнем (случай корня х — О и общий случай). Раз-
ложение Виета для многочлена п־й степени с п корня-
ми
3.1.2. Решение уравнений третьей степени (решение в ра-
дикалах, тригонометрический метод)
3.1.3. Решение уравнений четвертой степени
§3.2. Специальные типы уравнений и неравенств 75
3.2.1. Методы решения уравнений и неравенств с модуля-
ми и радикалами (раскрытие модуля, замены, равносиль-
ные преобразования)
3.2.2. Методы решения уравнений с показательными и ло-
гарифмическими функциями (замена переменной, отбра-
сывание логарифмов и основания степени)
3.2.3. Методы решения тригонометрических уравнений
(sin X = 0, cos X = cos a, sin х = sin a, tg х = tg а)
Оглавление 7
§3.3. Делимость натуральных чисел 79
3.3.1. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10
3.3.2. Наибольший общий делитель двух чисел (два опре-
деления). Расчет наибольшего общего делителя методом
Евклида
3.3.3. Взаимно простые числа. Достаточное условие взаим-
ной простоты чисел рфг и q. Взаимная простота чисел
т /Н О Д ( т ,п ) и п /Н О Д (т ,п )
3.3.4. Решение уравнения Ax = By с неизвестными х и у
в целых числах
3.3.5. Уравнение Ax = By + С\ условие разрешимости, ме-
тод решения
§3.4. Разложение на простые множители 83
3.4.1. Простые числа. Составление таблицы простых чисел
(метод Эратосфена)
3.4.2. Метод нахождения простого делителя у числа.
Возможность разложения числа на простые множители.
Бесконечность множества простых чисел
3.4.3. Делимость чисел и разложение на простые множи-
тели
3.4.4. Единственность разложения числа на простые мно-
жители. Общие делители и общие кратные двух чисел.
Расчет наибольшего общего делителя и наименьшего об-
щего кратного
Часть II. ГЕОМЕТРИЯ
Глава 4. Подобие треугольников. Теорема
Пифагора
§4.1. Подобие треугольников 89
4.1.1. Задача Менелая. Задача о пересечении медиан тре-
угольника
4.1.2. Задача об отношении, в котором биссектриса тре-
угольника делит противоположную сторону. Задача о пе-
ресечении биссектрис
Лекции по 8 школьной математике (О.Ю. Шведов)
§4.2. Теорема Пифагора 92
4.2.1. Задача о высоте прямоугольного треугольника. Teo-
рема Пифагора
4.2.2. Задача о высоте произвольного треугольника
4.2.3. Расчет длины медианы треугольника
4.2.4. Расчет длины биссектрисы треугольника
§4.3. Понятие о вписанных и описанных окружностях 97
4.3.1. Расчет положения центра и радиуса окружности,
описанной около равнобедренной трапеции, равнобедрен-
ного треугольника, прямоугольного треугольника
4.3.2. Касательная к окружности, ее перпендикулярность
радиусу. Длина касательной к окружности, равенство
двух касательных. Положение центра окружности,
вписанной в угол
4.3.3. Задача об окружности, вписанной в равнобедренный
треугольник
4.3.4. Отрезки, на которые вписанная окружность разбива-
ет стороны треугольника
4.3.5. Задача об окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник
4.3.6. Свойство описанного четырехугольника
4.3.7. Понятие о вневписанной окружности треугольника.
Отрезки, на которые вневписанная окружность разбивает
стороны треугольника
Глава 5. Площади, углы и тригонометрия
§5.1. Площади 105
5.1.1. Понятие площади. Площади подобных фигур. Пло-
щадь треугольника (выражение через основание и высо-
ту и формула Герона) и трапеции
5.1.2. Связь площади многоугольника с его периметром и
радиусом вписанной окружности
5.1.3. Площадь треугольника и радиус вневписанной
окружности треугольника
Оглавление 9
§5.2. Измерение углов и дуг 109
5.2.1. Круговой сектор; измерение его площади как спо-
соб измерения угла. Градусная и радианная мера угла.
Измерение дуг
5.2.2. Длина окружности и дуги окружности
5.2.3. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной
стороне, треугольника; свойство внешнего угла треуголь-
ника
§5.3. Взаимосвязь углов и дуг 112
5.3.1. Угол между хордой и касательной и дуга окружно-
сти
5.3.2. Угол, вписанный в окружность, угол между Пересе-
кающимися хордами (секущими), их связь с дугами
5.3.3. Свойство пересекающихся хорд, свойство касатель-
ной и секущей
5.3.4. Применение вспомогательной окружности для расче-
та длины биссектрисы треугольника
§5.4. Тригонометрические функции острого угла 116
5.4.1. Определение тригонометрических функций острого
угла. Представление тангенса и котангенса через синус
и косинус. Формулы приведения
5.4.2. Тригонометрическое доказательство теоремы Пифаго-
ра. Тригонометрические тождества
5.4.3. Тригонометрические функции углов в 45, 30 и 60
градусов
5.4.4. Тригонометрические функции малых углов (неравен-
ство для синуса и тангенса угла и его радианной меры;
оценка синуса и тангенса малого угла)
§5.5. Теоремы косинусов и синусов 121
5.5.1. Теорема косинусов
5.5.2. Теорема синусов. Выражение площади треугольника
через синус угла
5-5.3. Понятие косинуса и синуса тупого угла
§5.6. Тригонометрические формулы сложения. Составление
таблиц тригонометрических функций 123
5.6.1. Формула сложения для синуса и косинуса. Тригоно-
метрические функции двойного и половинного угла
Лекции по школьной 10 математике (О.Ю. Шведов)
5.6.2. Методы составления таблиц тригонометрических
функций и расчета числа π
§5.7. Применения тригонометрии 125
5.7.1. Радиус описанной окружности
5.7.2. Задача о длине медианы треугольника (решение на
основе теоремы косинусов)
5.7.3. Задача о биссектрисе треугольника (решение из
теоремы синусов). Длина биссектрисы (расчет на
основе теоремы косинусов, представление через косинус
половинного угла)
5.7.4. Формула Герона (выводы на основе теоремы коси-
нусов и из свойств вписанной и вневписанной окружно-
стей)
Глава 6. Координаты и векторы
§6.1. Координаты и векторы на прямой 131
6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина
отрезка с заданными координатами концов. Координата
точки, делящей отрезок в заданном отношении т : п.
Координата середины отрезка
6.1.2. Понятие о векторе. Компонента вектора на оси. Pa-
венство векторов, сложение векторов и умножение век-
тора на число (определение через компоненты и геомет-
рическое определение)
§6.2. Координаты и векторы на плоскости 134
6.2.1. Проектирование на прямую в геометрии на плос-
кости. Декартова прямоугольная система координат. Ко-
ординаты точки на плоскости. Построение и единствен-
ность точки с заданными координатами
6.2.2. Проектирование точки, делящий отрезок в данном
отношении. Координаты середины отрезка
6.2.3. Вектор на плоскости и его компоненты. Равенство
векторов (геометрическое определение) и равенство ком-
понент. Параллельность и равенство длин равных векто-
ров
6.2.4. Откладывание от данной точки вектора с заданны-
ми компонентами. Параллельный перенос на заданный
Оглавление 11
вектор (определение, сохранение компонент векторов и
длин отрезков)
6.2.5. Сложение векторов и умножение вектора на число
(определение, поведение проекций и компонент векторов)
§6.3. Вычисления в методе координат 139
6.3.1. Длина вектора с заданными компонентами и длина
отрезка с заданными координатами концов
6.3.2. Расчет косинусов углов на координатной плоскости.
Понятие о скалярном произведении векторов
6.3.3. Уравнения окружности и прямой
6.3.4. Построение вектора, перпендикулярного данному.
Вращение на 90° по и против часовой стрелки
6.3.5. Расчет синуса угла между векторами с учетом
направления и площадь треугольника на координатной
плоскости
§6.4. Тригонометрия ориентированных углов 144
6.4.1. Понятие ориентированного угла. Положительные
и отрицательные ориентированные углы. Величина
ориентированного угла
6.4.2. Сложение ориентированных углов. Равенство ориен-
тированных углов, отличающихся на 360°
6.4.3. Косинус и синус ориентированного угла, их расчет
и изображение на координатной плоскости
6.4.4. Тригонометрические функции числа, их периодич-
ность и (не)четность. Тангенс и котангенс
6.4.5. Формулы сложения для косинуса и синуса
6.4.6. Обратные тригонометрические функции
Глава 7. Основные понятия стереометрии
§7.1. Параллельность в стереометрии 149
7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не
. на плоскости, принадлежность прямой AB к плоскости,
плоскость через три точки не на прямой, пересечение
плоскостей более чем в одной точке)
7.1.2. Простейшие следствия аксиом (пересечение плоско-
стей по прямой, проведение плоскости через две Пересе-
кающиеся прямые, через точку и прямую)
Лекции по школьной 12 математике (О.Ю. Шведов)
7.1.3. Параллельность прямых в пространстве. Построение
параллельной прямой. Параллельность прямой и плоско-
сти. Свойство прямой, параллельной некоторой прямой в
плоскости
7.1.4. Построение проходящей через заданную точку
прямой, параллельной сразу двум параллельным прямым.
Свойство двух прямых, параллельных третьей
7.1.5. Сохранение величин углов при параллельном пере-
носе
§7.2. Перпендикулярность и проектирование 153
7.2.1. Свойство прямой, перпендикулярной двум сторонам
треугольника, и медианы этого треугольника
7.2.2. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак
перпендикулярности прямой и плоскости. Свойство
прямой, параллельной перпендикуляру к плоскости
7.2.3. Проектирование точки на плоскость путем последо-
вательного проектирования на две прямые. Единствен-
ность перпендикуляра, проведенного к плоскости из
данной точки
7.2.4. Проектирование точки, делящей отрезок в данном
отношении, на плоскость
7.2.5. Проектирование точки на плоскость с использовани-
ем известного перпендикуляра к плоскости
7.2.6. Параллельность плоскостей с общим перпендикуля-
ром. Построение общего перпендикуляра к параллельным
плоскостям
7.2.7. Проектирование сначала на плоскость, а затем на
прямую в ней, и проектирование сразу на эту прямую.
Проектирование отрезка и его середины на прямую
§7.3. Координаты и векторы в стереометрии 161
7.3.1. Декартова прямоугольная система координат в про-
странстве. Координаты точки. Построение и единствен-
ность точки с заданными координатами
7.3.2. Вектор в пространстве и его компоненты. Равенство
векторов (геометрическое определение) и их компонент
7.3.3. Откладывание от данной точки вектора с заданны-
ми компонентами. Параллельный перенос на заданный
Оглавление 13
вектор (определение, сохранение компонент векторов и
длин отрезков)
7.3.4. Сложение векторов и умножение вектора на число
(определение, поведение проекций и компонент векторов)
7.3.5. Длина вектора с заданными компонентами и длина
отрезка с заданными координатами концов
7.3.6. Расчет косинуса угла между векторами в простран-
стве. Скалярное произведение векторов в пространстве
Глава 8. Вычисления в стереометрии
§8.1. Расстояния и углы 167
8.1.1. Расстояние от точки до плоскости с известным век-
тором нормали. Уравнение плоскости. Угол между пря-
мой и плоскостью
8.1.2. Угол между плоскостями и угол между их перпен-
дикулярами
8.1.3. Поведение площадей фигур при проектировании.
Расчет косинуса угла между треугольником в простран-
стве и координатной плоскостью
8.1.4. Построение перпендикуляра к треугольнику. Понятие
о векторном произведении векторов
8.1.5. Операции над векторами в пространстве и кватер-
нионы Гамильтона
8.1.6. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Me-
тод построения общего перпендикуляра (плоскость через
одну из прямых параллельно другой, проектирование на
эту плоскость), единственность перпендикуляра. Вектор-
ный метод расчета расстояния
8.1.7. Построение сферы, описанной около пирамиды
§8.2. Объемы и площади поверхностей 177
8.2.1. Формула, представляющая объем пространственной
фигуры через интеграл
8.2.2. Расчет объема треугольной пирамиды. Объем мно-
гоугольной пирамиды и прямого кругового конуса. Пред-
ставление объема треугольной пирамиды через скалярное
и векторное произведения
Лекции по 14 школьной математике (О.Ю. Шведов)
8.2.3. Связь радиуса вписанной сферы с объемом и пло-
щадью поверхности многогранника
8.2.4. Объемы шарового сегмента и шара
8.2.5. Площадь боковой поверхности правильной мно-
гоугольной пирамиды, прямого кругового конуса и
усеченного прямого кругового конуса
8.2.6. Площадь сегментной поверхности и сферы
УКАЗАТЕЛИ
Достижения математиков разных эпох 187
Список литературы 191
Дополнения 198