本书是我为大连理工大学应用数学系研究生讲授应用泛函分析的讲义。由于部分学生未学过Banach空间和Hilbert空间，因此第1章扼要地介绍了Banach空间和Hilbert空间的一些基础知识。第2章和第4章讲非线性泛函分析，第3章讲Soholev空间。本书注重应用，由于篇幅所限，主要讲对微分方程的应用。更多的应用可以参看Zeidler：“Nonlinear functional analysis and its applications”。
本书讲直观，讲历史，讲理解，讲原型，讲欣赏，讲意境，讲设计，讲洞察，讲猜测，讲发展，简易直接，把握整体，力图使读者有体系自立、定理自出、居高临下、势如破竹的感觉。
Author(s): 张鸿庆
Series: 高等学校理工科数学类规划教材
Publisher: 大连理工大学出版社
Language: Chinese
Pages: 120
第一章 泛函分析基础
§1 拓扑空间
1.1 拓扑空间
1.2 闭集、邻域、聚点、闭包
1.3 邻域基
1.4 Hausdorff 空间、序列的收敛性,映射的连续性
1.5 度量空间
1.6 完备性
1.7 列紧性
1.8 线性拓扑空间·
1.9 半范数 局部凸线性拓扑空间。
1.10 空间C*(2)和C°(2)的拓扑化
1.11 賦范空间及其完备化
1.12 内积空间及其完备化
§2 开映射定理·
2.1 Banach 空间的Bairé性质
2.2 线性算子
2.3 开映射定理
2.4逆算子定理
2.5 闭图形定理
2.6 线性算子的强扩张
§3 共鸣定理
3.1 共鸣定理
3.2共鸣定理的两个推论
3.3 Banach-Sake 定理
§4 Riesz 表现定理
4.1 正交投影定理
4.2 Riesz 表現定理
4.3 Hilbert 空间的共轭空间
4.4 Lax-Milgram 定理
§5 Hahn-Banach 延拓定理
5.1 连续函数的延拓
5.2 Zorn 引理
5.3 线性空间中的Hahn-Banach 延拓定理.
5.4 线性赋范空间中的Hahn-Banach 延拓定理
§6 弱收敛和弱收敛
6.1 弱收敛
Hahn-Banach 延拓定理的推论,共轭空间
Hahn-Banach 延拓定理的几何形式、
凸集分离定理
6.2 弱收敛
6.3 弱列紧
§7 线性算子的共轭算子和弱扩张
7.1 有界线性算子的共轭算子
7.2一般线性算子的共轭算子
7.3 线性算子的(弱)闭扩张
7.4 委微分算子的弱扩张
§8 算子方程
8.1 线性算子的豫解集和谱
8.2 有界线性算子方程
8.3 紧线性算子
8.4 紧线性算子的例——Fredholm 型积分算子
8.5 紧线性算子方程 Riesz-Schauder 理论
习题
第二章索伯列夫空间
§1 L^p(Ω) 空间
1.1 L^p(Ω)空间 (1≤p≤∞)的定义及其基本特性
1.2 L^p(Ω)空间 (1≤p≤∞)的子集为列紧的条件
§2 磨光算子均值逼近
2.1 磨光算子的定义
2.2 对 L^p(Ω) 中函数的均值逼近
2.3 变分法基本引理
2.4 对L^p(Ω)空间 (1≤p≤∞)中函数的均值逼近
2.5 单位分解定理
§3 广义微商
3.1 弱广义微商
3.2强广义微商 逐項求微商
3.3 广义微商对函数的局部依赖性
3.4 广义微商的运算法则
§4 索伯列夫空间
4.1 索伯列夫空间的定义及其基本性质
4.2C*(Q) 在 WMP(Q)(1 ≤p<∞)的的稠密性
4.3坐标变换
4.4 L-型域 锥性质
4.5 中间微商的插值不等式
Co(R) 在W/(Q)的稠密性
4.6 W**(0)(2) 中函数的边界值 ·
§5 嵌入定理
5.1 嵌入的概念
5.2 CB(2)上的索伯列夫积分恒等式
5.3 位势型积分算子
5.4 W™·P(2) 中的索伯列夫积分恒等式
5.5 嵌入定理
5.6 等价范数定理·
§6 非整数次的索伯列夫空间
6.1 速降广义函数
6.2 Fourier 变换
6.3 非整数次空间 H°(R")
6.4 非整數次空间 H'(2).. (137)
6.5 非整数次空间 H'(0) ( > 0)66迹空间。
习题
第三章 拓扑度与不动点原理
§1 欧氏空间中连续映射的拓扑度
1.1正规映射的拓扑度
1.2 连续映射的拓扑度及其性质。
§ 2 Banach空间中全连续场的拓扑度
§ 3 A-proper 映射的广义拓扑度。
§4 不动点原理
4.1 Brouwer 不动点定理与开幕不变性定理
4.2 Schauder 不动点定理和KpacHoceIbCKHH不动点定理
4.3 Leray-Schauder 不动点原理
4.4 边界条件与不动点定理·
§5 不动点算子方程的近似可解性
习题
第四章 Banach 空间的微分学
§1 向量值函数的微积分
1.1 向量值函数的导数和 Riermann 积分
1.2 向量值函数的 Bochner 积分
§2 Gateaux 微分
§3 Frechet 微分
3.1 Frechet 微分的定义及性质
3.2 Frechet 微分与Gateaux 微分的关系
§4 高阶微分
§5 中值公式 Taylor 公式
5.1 中值公式
5.2 Taylor 公式
§6 梯度算子的判别条件
§7 隐函数定理
7.1 偏导数的概念
7.2 隐函数定理
7.3 推广的隐函数定理
§8 分歧方程
习题
第五章 迭代法
§1 简单的迭代法
1.1 压缩映射
1.2 非膨胀算子·
1.3 加速迭代,切比晓夫迭代
§2 解非齐次方程的迭代法
2.1迭代法的一般形式
2.2 差分程序与松驰法的变体
§3 迭代程序的建立
3.1 Newton 方法
3. 2 Newton 程序的收敛性定理,
3.3 Newton 方法的变形,简化的Newton方法
3.4 Newton方法的应用
3.5 梯度法(最速下降法)
§4 连续法
4.1 连续法
4.2 延拓理论
4.3 数值连续法
4.4Davidenko 方法
习题
第六章变分原理
§1泛函的无约束极值
1.1 极值存在的必要条件。
1・2弱下半连续条件与极值存在性
1.3 位势型算子方程的可解性
1・4 PS 条件与爬山引理
15 极值问题的有限维近似
§2 泛函的约束极值
2.1 Lagrange 乘子
2-2 非线性本征值问题·
2.3 本征值问题的Galerkin近似
2.4 Kuhn-Tucker 定理与对偶原理
§3 凸集上的泛函极值
3.1 凸集上可微泛函的极值。
3.2 凸集上非光滑泛函的极仃
3.3 Ritz方法
3.4 极值解的迭代法
4.1 下降法的一般原理。
4.2 迭代投影法·
4.3罚函数方法
习题
第七章算子方程的投影解法
§1 投影解法的概述
§2 第二型 Fredholm 方程的投影解
2.1 第二型方程的投影近似可解性。
2 2 应用举例——Fredholm 积分方程的投影近似解
§3 线性算子方程的投影解
3.1 有界线性算子方程的投影解
32 稠定线性算子方程的广义解及其投影近似
3.3 具列紧扰动的线性算子方程的广义解及其投影近似
3.4 二阶橢圓型方程的 Dirichlet 问题的
广义解及其投影逼近
3.5 计算过程的稳定性
3.6 本征值问题的投影近似。
§4 非线性算子方程的投影解
习题
4.1单调算子
4.2单调算子方程的投影近似可解性
4.3 具列紧扰动的单调算子方程-
4.4应用举例——非线性椭圓方程的边值问题
第八章逼近论
§1 最佳逼近
1.1 最佳逼近问题的一般提法
1.2 线性赋范空间中最佳逼近元的存在性与唯一性
1.3 线性赋范空间中最佳逼近元的特征
§2 插值逼近
2.1 插值逼近问题的一般提法
2.2 多项式插值的例子
2.3 一般的插值逼近的误差估计
§3 样条逼近
3 1 插值样条的抽象提法
3.2 插值样条的特征,唯一性和存在性
3.3 插值样条的构造·
3.4 插值样条的收敛性
3.5 平滑样条
习题
参考文献
