Учебное пособие. — Самара : Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2011. – 49с.Учебное пособие содержит конспект лекций по дисциплине "Функциональный анализ" включающий темы: метрические и нормированные линейные пространства, мера и интеграл Лебега, гильбертовы пространства. Кроме теоретического материала, пособие содержит ряд упражнений, которые могут служить основой для проведения практических занятий по курсу.
Учебное пособие предназначено для студентов 6 факультета, обучающихся по направлению "Прикладная математика и информатика" 010400.62 и изучающих дисциплину "Функциональный анализ" в 5 семестре.Содержание.
Топология метрических и линейных нормированных пространств.
Метрические пространства.
Примеры метрических пространств.
Линейные нормированные пространства.
Шары в линейных нормированных пространствах.
Сходимость в линейных нормированных пространствах и ее свойства.
Реализция сходимости в конкретных линейных нормированных пространствах.
Открытые множества в ЛНП.
Замкнутые множества в ЛНП.
Числовые неравенства Гельдера и Минковского.
Фундаментальные последовательности. Определение банахового пространства.
Примеры банаховых пространств. Пример неполного ЛНП.
Принцип вложенных шаров в банаховом пространстве.
Множества первой и второй категории. Принцип Бэра-Хаусдорфа.
Мера и интеграл Лебега.
Мера Лебега на прямой.
Примеры измеримых по Лебегу множеств.
Свойства меры Лебега.
Основные теоремы о мере Лебега. Измеримость открытых и замкнутых множеств.
Измеримые функции.
Свойства измеримых функций.
Интеграл Лебега и его существование.
Основные свойства интеграла Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Теория Гильбертовых пространств .
Определение гильбертова пространства.
Неравенство Коши-Буняковского.
Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве.
Тригонометрическая система в пространстве L2[0,2п].
Критерий сходимости ортогонального ряда в гильбертовом пространстве.
Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.
Существование ортонормированной системы в гильбертовом пространстве.
Список литературы.
