環と加群

目次
まえがき
第1章 序説
§1.1 量と数
a) 量の加法と大小
b) 比としての実数
c) ベクトル量としての実数
d) 複素数
§1.2 2項関係
a) 数の間の関係
b) 集合の間の関係
c) 形式的な定義
d) 同値関係と分割
e) 順序集合
§1.3 写像
a) 写像の概念
b) 基本的な用語
c) 標準的写像
d) 写像の合成
e) 逆写像
§1.4 変換と関数の集合
a) 対称性と変換
b) 関数値による算法と順序
c) 関数のたたみ込み
d) 作用
第2章 算法
§2.1 算法をもつ集合
a) 形式的な定義
b) 算法に関して閉じた集合
c) 直積集合における算法
d) 写像の集合における算法
e) 同型
f) 2元集合の算法のすべて
g) 単位元
§2.2 準同型写像と合同関係
a) 準同型写像
b) 例
c) 像と逆像
d) 合同関係による商集合
§2.3 半群と群，算法概念の拡張
a) 結合法則
b) 一般結合法則
c) 生成と中心化
d) 単位的半群と群
e) 単位元・可逆元と準同型
f) 算法概念の拡張と準同型
g) 算法と準同型に関する基本事項
h) 群に関する基礎事項
i) 巡回群
第2章 問題
第3章 環
§3.1 環の概念
a) 定義，部分・商・直積環
b) 環の元の乗法的性質
c) 整除関係の形式論
d) Zと \bar{Z}_m
e) 同型と準同型
§3.2 環の構成
a) 分数半群と分数体
b) R加群 R^n と行列環 M_n(R)
c) K多元環K^n
d) 2次多元環
e) 4元数環
f) 半群環K〈G〉と表現
g) 整式環K[X]
h) 整式環 K[X_1, …, X_s]
i) 整級数環 K[[X]], K[[X_1, …,X_n]]，など
§3.3 イデアルと素元分解
a) 合同関係とイデアル
b) 準同型定理
c) 分数環のイデアル
d) イデアルの生成
e) 可換体の単純拡大
f) 素元分解とその一意性
g) Gauss整域の構成
h) イデアルの和・積・交わり
i) 連立合同式
j) 直積分解と直和分解
第3章 問題
第4章 加群
§4.1 準備
a) 加法群
b) Map, Hom, End
c) 表現と反表現
§4.2 加群の概念
a) R加群
b) 環の上の加群
c) 部分加群とその生成
d) 線型関係
e) 体の上の加群
§4.3 準同型，商加群
a) 加群の準同型
b) 自由加群と行列
c) 線型独立系と生成系の個数
d) 商加群と準同型定理
§4.4 直和と分裂
a) 直和
b) 射影と直和因子
c) 完全系列の分裂
d) 移入的加群と射影的加群
§4.5 極大性と極小性
a) 帰納性
b) 極大・極小部分加群
c) Noether 加群と Artin 加群
§4.6 主イデアル整域上の加群
a) 自由加群の部分加群
b) 捩れがない加群
c) 零化域と捩れ加群
d) 直和分解と不変因子
e) 対角化定理
§4.7 線型環とその上の加群
a) K代数(多元環)
b) K線型環
c) 準同型
d) 線型環上の加群
第4章 問題
第5章 Hom と ⊗
§5.1 準同型加群
a) Hom_R，End_R
b) Hom_R(M, N) への作用
c) 完全系列との関係
d) 可除加群と移入的加群
e) 双対加群
§5.2 普遍性，テンソル積
a) 普遍性，圏と関手
b) 平衡写像とテンソル積
d) 係数変換
e) 諸性質
第5章 問題
第6章 可換環
§6.1 有限性と整元
a) 線型環の生成
b) 有限生成加群
c) 行列式
d) '整’ と ‘代数的’
e) 加群として有限生成の環
f) 整閉包と代数的閉包
g) 整閉整域 (正規環)
§6.2 イデアル，局所化
a) イデアルの包含関係
b) 有限生成環
c) 局所環，整域の局所化
d) Krull 次元
e) 条件付き極大・極小イデアル
§6.3 Dedekind 環
a) 主イデアル局所整域
b) 1次元整閉性，Dedekind 環
c) 分数体の部分加群，可逆イデアル
d) 分数イデアルの可逆性
e) 素イデアル分解
f) 一般性質と離散付値
g) Dedekind 環上の加群
§6.4 イデアルの根，Hilbert 環
a) イデアルの根
b) 準素イデアル
c) 根基
d) 幾何学的意味 (零点定理)
e) 分数体が有限生成の整域
f) Hilbert 環
§6.5 Noether 環
a) 素イデアルによる交わり表示
b) Artin 環と 0次元 Noether 環
c) 1次元 Noether 整域
d) イデアルの冪の交わり
e) 標高定理
f) 準素イデアル分解
g) 正規性の判定
h) Noether 性の判定
§6.6 環の拡大と素イデアル
a) 素イデアルの上げ下げ
b) 整拡大
c) 1次元 Noether 整域の拡大
d) 整閉包の有限性
e) 整式環
f) 体上の有限生成環
第6章 問題
第7章 非可換環と加群
§7.1 群の表現
a) 置換表現と線型表現
b) 表現の係数
c) 射影表現とよじれ群環
§7.2 単純・半単純加群
a) 単純加群の同型類
b) 線型空間と単純加群
c) 反対加群，再中心化性
d) 半単純加群
e) 等型成分
f) 有限条件，長さ
§7.3 半単純環
a) 半単純環
b) 単純成分
c) 例
d) 忠実加群
e) 稠密性
f) Artin-Wedderburn の定理
g) 代数的閉体上の線型環
§7.4 一般の加群
a) 一つの例
b) 大部分加群と小部分加群
c) 台座と根基
d) 組成列
e) 直既約分解
§7.5 環の根基，Artin環
a) 環の根基
b) Artin環
c) 根基と加群
d) 正則加群の直和分解
e) Artin環の冪等元とその応用
第7章 問題
第8章 分離性と単純環
§8.1 準備
a) 可換体上の双線型形式
b) Hom と ⊗ (続)
c) 線型環上の加群 (続)
d) 線型環のテンソル積と係数拡大
e) 線型環のコホモロジー
f) 群のコホモロジー
§8.2 Frobenius環と分離性
a) Frobenius環
b) (準)平均作用素
c) Frobenius環の準平均作用素
d) 可換体上の分離性
e) 分離性のホモロジー代数的意味
f) 分離的線型環のコホモロジー
§8.3 中心的単純環
a) テンソル積の中心とイデアル
b) Brauer群
c) 自己同型
d) 極大可換部分環 (体)
e) 分解体
f) 接合積
第8章 問題
参考書
解答・ヒント
問1.2
問2.46
問3.11
問3.7
第3章章末5
§4.3 1
§4.4 8
§4.6 5
第4章章末8
第4章章末22
§5.2 3
§6.3
§6.5
第6章章末20
§7.2 6
第7章章末9
第8章章末
欧文索引
和文索引
アイ
エカ
キ
クケコ
サシ
スセ
ソ
タ
チテト
ナニネハヒフ
ヘホマミヤユ
ヨリレワ