Éléments d'analyse mathématique à l'usage des ingénieurs et des physiciens : cours professé à l'École centrale des arts et manufactures

TABLE DES MATIÈRES



CHAPITRE PREMIER

INFINIMENT PETITS. — DIFFÉRENTIELLES

I.— Infiniment petits. — Deux théorèmes fondamentaux. Application à l'aire d'un segment de courbe plane.

Infiniment petits. I 2. Ordre du produit de deux infiniment petits 6 3. Principes de la méthode infinitésimale : Deux points de vue. . 6 4. Deux théorèmes fondamentaux : Premier théorème 7 Deuxième théorème 8 5. Application du deuxième théorème : Aire d'un segment de courbe plane 6. Expression analytique 13 7- Valeur algébrique de l'aire d'un segment 8. Aire d'un segment en coordonnées obliques

H. — Différentielles des fonctions d'une variable .

9. Différentielle du premier ordre 17 IO. Différentielle d'une fonction de fonction 1. Différentielle d'une fonction composée 19 12. Remarque sur les différentielles premières zo 13. Tableau de différentielles usuelles 20 14. Différentielles d'ordre supérieur 22 15. Fonction de fonction 23 16. Fonction composée 23 17. Remarques sur les différentielles d'ordre supérieur 24

III. — Fonctions de plusieurs variables indépendantes. Diffé- rentielles partielles et différentielles totales.

18. Dérivées et différentielles partielles 25 19. Différentielles totales 27

CHAPITRE II

FONCTIONS PRIMITIVES. — INTÉGRALES INDÉFINIES INTÉGRALES DÉFINIES SIMPLES - APPLICATIONS A LA MESURE DES AIRES PLANES

I. — Fonctions primitives. — Intégrales indéfinies. 20. Fonctions primitives 29 21. Existence de l'intégrale indéfinie 3o 22. Notation 31 23. Tableau d'intégrales indéfinies usuelles "h 24. Intégrale d'une somme de différentielles. Intégrale de kf(x)dx 38 Intégration par parties 39

II. — Application.— Évaluation de quelques aires. 26. Segment d'hyperbole équilatère compris entre la courbe et l'asymptote 42 27. Courbe y 43 28. Aire d'un segment parabolique 44 29. Sinusoïde 46

III. — Intégrales définies. 3o. Définition 46 31. Calcul des intégrales définies 48 32. Propriétés des intégrales définies /19 33. Valeur moyenne d'une fonction dans un intervalle . . 52 34. Formule des accroissements finis. . . . .. . . . . . 35. Intégration par parties 5G

IV. — Changement de variable dans une intégrale définie simple. 36. Changement de variable 37. Applications : 10 Aire d'une demi-ellipse. 61 20 Aire de la cycloïde 62 38. Aire d'une courbe fermée 63 39. Exemple. Aire d'une ellipse 67

V. — Différentielle de l'aire d'un secteur. 4o. Coordonnées polaires 68 Différentielle de l'aire d'un secteur en coordonnées cartésiennes. 7o 42. Applications : 19 Aire de la lemniscate 2° Secteur d'hyperbole équilatère. Sinus et cosi- nus hyperboliques 72 3° Aire d'une courbe fermée. . . . . . . 74 TABLE DES MATIÈRES 699

CHAPITRE III

VOLUME D'UN SOLIDE A BASES PARALLÈLES

I. — Formule générale. 43. Formule générale donnant le volume d'un solide à bases parallèles. 76

II. — Cas particulier où S est fonction du second degré de z.

44. Formule . 78 Cas particuliers où S est linéaire en 7 8o 45. Solides élémentaires 8o 46. Tranche elliptique d'une surface du second ordre Volume d'un ellipsoïde 82 Paraboloïde elliptique. 83 47. Autres solides dont le volume est donné par la même formule. 84 118. Tranche de surface réglée 86 Surface réglée à plan directeur. 86 Exemple. Conoïde 86

— Solides de révolution.

j9. Formule. 87 5o. Exemple . . 88 51. Volume de révolution engendré par une courbe fermée plane 89 52. Cas où la courbe coupe l'axe 90 53. Exemple. Volume du tore 92 Cas où le cercle coupe l'axe 93 54. Centre de gravité d'une aire plane homogène 94 Théorème de Guldin 95 Cas où la courbe coupe l'axe 96

CHAPITRE IV

RECTIFICATION DES COURBES. — AIRES DES SURFACES DE RÉVOLUTION ET DES SURFACES CONIQUES

I. — Rectification des courbes.

55. Longueur d'un arc de courbe 97 56. Chaînette zoo 57. Cycloïde 1o3 58. Parabole JOi 59. Rectification d'une courbe gauche io8 6o. Différentielle d'un arc de courbe plane en coordonnées polaires io8 61. Exemple. Cardioïde 109

II. — Aire d'une portion de surface de révolution comprise entre deux parallèles. 62. Formule générale 110. 63. Aire d'une zone de paraboloïde de révolution 112 700 TABLE DES MATIÈRES

64. Aire d'un ellipsoïde de révolution allongé 113 65. Aire d'un ellipsoïde de révolution aplati 115 66. Aire d'un tore 116 67. Cas où la courbe traverse l'axe 117 68. Centre de gravité d'un arc de courbe plane supposé homogène i 19 Théorème de Guldin 119 Cas où la méridienne AB traverse l'axe 120

III. -- Aire d'une partie de surface conique ou cylindrique com - prise entre deux génératrices. 69. Formule générale pour une surface conique 120 Exemple 122 70. Remarque 123 71. Aire d'une partie de surface cylindrique . 124

CHAPITRE V

QUELQUES MÉTHODES D'INTÉGRATION

I. -- Réduction aux types élémentaires. 72. Cas de réduction aux types élémentaires 126

II. — Intégration des différentielles rationnelles. 73. Méthode générale 128 74. Exemples 129 75. Cas général 132 76. Calcul de133 Mx + N (x2 + Px + (/)" dix. Exemple 136

III. — Intégration des différentielles rationnelles en sin x et cos x. 77. Méthode générale i38 78. Exemples. 139 Secteur parabolique 14o

IV. — Quelques intégrales se rattachant aux précédentes. 79. Intégrales d'un produit de sinus et de cosinus 141 80. Puissance positive d'un sinus ou d'un cosinus 143 Exemple 145 81. Remarque sur l'intégrale f cos"' u sine udu 146 Exemple 147

V. — Intégration des différentielles rationnelles par rapport à x et à s/ax' -I-bx+ c. 82. Méthode 147 83. Cas de a positif 147 Exemple 148 TABLE DES MATIÈRES loi

84. Cas de a négatif 149 Exemple 15o 85. Cas de a nul 151 86. Interprétation géométrique du changement de variable employé 151 87. Remarque sur les courbes unicursales en général 154 88. Exemple 154

VI. — Intégrales de différentielles binômes.

89. Cas d'intégrabilité 155 Premier cas i56 Deuxième cas 158 Troisième cas 159 90. Application. Rectification de la courbe y = ax' où a est une constante et k un exposant quelconque 160



CHAPITRE VI

DÉVELOPPEMENT DUNE FONCTION EN SÉRIE DE PUISSANCES

ENTIÈRES ET POSITIVES DE LA VARIABLE

I. — Examen de quelques cas particuliers.— Intervalle de convergence.

91. Généralités 162 92. Premier exemple. Progression géométrique décroissante . 162 93. Expression du reste 163 94. Autres développements en progression géométrique 164 95. Représentation graphique . . . . ..... 164 96. Intervalle de convergence d'une série entière. Théorème . . 165 97. Remarque 167 98. Exemples 167

II. — Limite du reste. — Différentiation et intégration des séries entières.

99. Enoncé des théorèmes 169 ioo. Limite supérieure du reste de la série dans un intervalle compris dans l'intervalle de convergence 169 Intégration d'une série de puissances 170 102. Différentiation d'une série entière 171

III. — Développements de quelques fonctions particulières.

103. Développements de log (1 — a.), log (1 x), log x 173 x 104. Développement de arc tang x 174

IV. — Série de Mac-Laurin. — Applications.

loir. Série de Mac-Laurin 175 106. Légitimité du développement 176 702 TABLE DES MATIÈRES

107. Développements de sin x et cos x 176 108. Formule d'Euler 177 109. Vérification 178 Développement de (i x) X11 i8o Vérification 181

Développement de (ci x) m , a étant une constante différente de zéro 182

1. Application A — 2 Développement de arc sin x 18

112. Méthode des coefficients indéterminés 183

V. — Série de Taylor.

13. Formule 184 114. Interprétation géométrique 185

VI. — Application des développements en séries de puissances au

calcul de certaines intégrales. • 2 115. Intégrale e dr 187

116. Rectification de l'ellipse. Exemple d'intégrale elliptique 188 117. Intégrale elliptique E (cd) 193

118. Autre exemple d'intégrale elliptique. Pendule simple. Inté- grale elliptique de première espèce 191

119. Durée dune oscillation du pendule. Développement en série sui- vant les puissances du sinus du demi-angle d'écart maximum. 196

VII. — Application des développements en séries de puissances

à l'étude des formes indéterminées.

120. Formes indéterminées 0 Forme — o

Forme %- 200

Forme o X cr 20

Formes o°, 202 Forme 'CC - CC 202



CIIAPITRE VII

DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION EN SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE

EXPRESSION D'UN POLYNOME EN FONCTION

DES -VALEURS MOYENNES DU POLYNOME ET DE SES DÉRIVÉ ES

DANS UN INTERVALLE

I. — Séries trigonométriques.

12 I. Propriétés générales 205 122. Détermination des coefficients. 206 TABLE DES MATIÈRES 703

1 123. Application. Développement de f ( al = 2 — a- 209

124. Représentation graphique 211 , '2 121. Autre exemple. Développement de=X' 211 4

II. — Expression d'un polynôme en fonction des valeurs moyennes

du polynôme et de ses dérivées dans un intervalle.

126. Sur une suite de polynômes 216 127. Expression d'un polynôme en fonction des valeurs moyennes de ce polynôme et de ses dérivées dans l'intervalle de — h à + h. 218 128. Extension à une fonction quelconque f (..r) 220



CHAPITRE VIII

INTÉGRALES DÉFINIES DONT L'ÉLÉMENT DIFFÉRENTIEL

DEVIENT INFINI, OU DONT UNE LIMITE EST INFINIE

I. — L'élément différentiel devient infini.

129. L'élément différentiel devient infini à l'une des limites . 221 'b dx 13o. Cas particulier où l'intégrale est de la forme I ( b x r • 223

131. Intégrales coMparables aux précédentes 225 Premier cas 22) Deuxième cas 226 Remarque. . . . , 227 132. L'élément différentiel devient infini pour la limite inférieure. 228 133. Exemples 228 134. L'élément différentiel devient infini entre les limites . 232 135. L'élément différentiel devient infini aux deux limites 234 136. L'élément différentiel devient infini aux limites et pour des valeurs intermédiaires 235

II. — Intégrales dans lesquelles une des limites est infinie.

137. Définition 235 Exemples 236

138. Examen de quelques cas où la fonction f (x) conserve un signe constant pour de très grandes valeurs de x et tend vers zéro quand x augmente indéfiniment 237 i° Cas particulier 237 20 Intégrales se ramenant aux précédentes 238 139. Exemples 241 14o. Remarque 243

141. Examen de quelques cas où, x croissant indéfiniment, f (a-) change constamment de signe 245 Premier exemple 245 Deuxième exemple. Intégrales de Fresnel 247 112. Cas Où les cieux limites sont infinies 248 704 TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE IX TANGENTE À UNE COURBE PLANE MAXIMUM ET MINIMUM D'UNE FONCTION D'UNE VARIABLE

I. — Tangente, normale, sous-tangente, sous-normale. 143. Tangente 249 144. Cas où l'équation n'est pas résolue 249 Points singuliers 25o Exemple 250 145. Cas où les coordonnées x et y d'un point de la courbe sont fonctions d'un paramètre u 252 146. Cosinus directeurs de la tangente 252 147. Position de la courbe par rapport à la tangente 253 Points d'inflexion. 254 148. Propriété caractéristique de la tangente 255 149. Autre manière d'obtenir l'équation de la tangente 256 Points d'inflexion 256 15o. Ordre de contact de deux courbes 257 151. Sous-tangente, tangente, sous-normale, normale 258 152. Courbe ayant une sous-normale constante 153. Courbe ayant une sous-tangente constante 259 154. Courbe ayant une normale constante. 260 1.55. Courbe aux tangentes égales 261

II. — Maximum et minimum d'une fonction d'une variable. 156. Règle 264 157. Cas exceptionnel 266 158. Représentation graphique . 266 Remarque . . . . . 267

CHAPITRE X COURBES GAUCHES. — TANGENTE. PLAN OSCULATEUR

I. — Tangente. 159. Équations définissant la courbe 268 16o. Tangente 268 161 Cosinus directeurs de la tangente 269 162. Tangente à une courbe gauche définie par deux équationsnon résolues 970 Points singuliers 271 163. Différentielle de la longueur d'un segment de droite 272 Applications de cette formule 273

Il. — Plan osculateur. 164. Plan osculateur 274 Définition 275 Equation du plan osculateur 275 165. Théorème I 277 16Q. Théorème II 278 167. Ordre de contact du plan osculateur avec la courbe 279 168. Points où le plan osculateur est stationnaire 28o 169. Le plan oscillateur en un point d'une courbe gauche traverse, en général, la courbe 281 Cas d'exception 281 170. Perspective d'une courbe gauche 281 Cas d'exception 282 171. Normales à une courbe gauche. Plan normal . 283 Normale principale. Binormale 283

III. — Exemples. 172. Hélice circulaire 283 Pas de l'hélice 284 Sens d'enroulement d'une hélice 284 173. Cosinus directeurs de la tangente. Longueur de l'arc d'hélice . 285 174, Plan osculateur 286 Problème 287 175. Autre exemple 288

CHAPITRE XI FONCTIONS DE DEUX 'VARIABLES. — PLAN TANGENT A UNE SURFACE. — MAXIMA ET MINIMA

I. — Séries de Mac-Laurin et de Taylor. 176. Représentation géométrique d'une fonction de deux variables. . 290 177. Développements en séries de puissances entières et positives des variables 290 Cas général 291 178. Interprétation géométrique . 293 179. Différentiation et intégration des séries de puissances entières et positives de deux variables 293 180. Série de Mac-Laurin pour une fonction de deux variables, . 294 Autre notation 296 181. Série de Taylor 296 Autres notations 298

II. — Plan tangent à une surface. 182. Définition et équation 298 183. Normale 299 APPELL. -- Analyse. 45

184. Cas où la surface est définie par une équation non résolue . . 3oo 185. Points singuliers 301 186. Remarque 3o 187. Position d'une surface par rapport au plan tangent dans le voi- sinage du point de contact 3o2 Premier cas 3o4 Exemples 3134 Deuxième cas 3o5 Exemples 3o6 Troisième cas 307 Exemples 3o8

III. — Application. — Plan tangent aux surfaces réglées. 188. Formules générales 3o8 Cas exceptionnel 310 189. Classification des surfaces réglées : surfaces gauches et surfaces développables 310 Remarque 311 190. Deux surfaces réglées gauches ayant une génératrice commune sont, en général, tangentes en deux points, au plus, de cette génératrice; si elles sont tangentes en plus de deux points, elles se raccordent le long de la génératrice 311 191. Application. Hyperboloïde de raccordement 312 192. Cas particulier de deux surfaces réglées ayant même plan directeur 312 193. Point central. Ligne de striction. Paramètre de distribution 313 Surfaces gauches 315 Surfaces développables 315

IV. — Maximum ou minimum d'une fonction de deux variables indépendantes. 194. Recherche du maximum ou du minimum 316 195. Interprétation géométrique 318 196. Exemple 319 197. Remarque sur le cas o 320 Exemple I 320 Exemple II 321

CHAPITRE XII ENVELOPPES DES COURBES ET DES SURFACES

I. — Enveloppe d'une famille de courbes planes. 198. Equation de l'enveloppe 323 Remarque 325 199. Le point de contact de l'enveloppée C avec l'enveloppe E est la limite d'un des points d'intersection de C avec une enveloppée

C' infiniment voisine 325 200. Exemple I. Enveloppe d'un cercle de rayon constant R dont le centre décrit une courbe donnée 326 201. Exemple II. . 327

II. — Enveloppe d'une famille de courbes dans l'espace. 202. Condition pour qu'il existe une enveloppe. Équation de l'enve- loppe 328 203. Exemple 331 204. Application à une droite mobile dépendant d'un paramètre. Sur- faces gauches. Surfaces développables. Arête de rebrousse- ment 333 Condition pour que la droite ait une enveloppe. Surfaces développables 333 205. Exemple 334 206. Cônes et cylindres 335 2o7. Le plan tangent à une surface développable coïncide avec le plan osculateur à l'arête de rebroussement . 335

III. — Enveloppe d'une famille de surfaces dépendant d'un paramètre. 208. Équation de l'enveloppe. Caractéristiques. Arête de rebrousse- ment 337 209. Exemple. Enveloppe d'un plan mobile à un paramètre : surfaces développables 339 210. Exemple de l'enveloppe d'un plan à un paramètre . 34o 211. Autre exemple. Enveloppe d'une sphère de rayon constant dont le centre décrit une courbe donnée 341

IV. — Enveloppe d'Une famille de surfaces à deux paramètres. 212. Équation de l'enveloppe 342 213. Exemple 343 214. Exemple II. Enveloppe d'une sphère de rayon constant R dont le centre décrit une surface fixe donnée 343

CHAPITRE XIII COURBURE DES COURBES PLANES

1. — Définition et formules. 215. Courbure d'un cercle 345 216. Courbure moyenne d'un arc de courbe. Courbure en un point. .345 217. Centre de courbure en un point d'une courbe; cercle de cour- bure ou cercle osculateur. . . . .346 218. Expression du rayon de courbure en coordonnées rectangu- laires 346

219. Rayon de courbure d'une conique 348 Application aux sommets d'une ellipse 349 220. Rayon de courbure de la chaînette 351 221. Rayon de courbure de la cycloïde 351 222. Exercice. Trouver une courbe plane dans laquelle le rayon de courbure soit proportionnel à la longueur de la normale. . 352 Cas d'intégrabilité 355

II. — Étude d'une courbe plane dans le voisinage d'un point. 223. Développement de l'ordonnée en série 356 224. Le centre de courbure, en un point d'une courbe plane, est la limite du point de rencontre de la normale en ce point et de la normale infiniment voisine 357 225. Si on abaisse d'un point M de la courbe la perpendiculaire MP sur la tangente en O, le rayon de courbure en o est donné par la formule Ro=lim 1513, quand M tend vers o 2 MP 2 358 226. Le cercle de courbure (ou cercle osculateur), en un point O d'une courbe, est la limite vers laquelle tend un cercle tan- gent en O à la courbe et passant par un point M infiniment voisin de O 359 227. Le cercle de courbure, en un point O d'une courbe, est la limite d'un cercle passant par O et par deux points de la courbe infiniment voisins de O 36o 228. Le cercle de courbure, en un point d'une courbe, traverse en général la courbe 36o 229. Ordre de contact d'une courbe et du cercle osculateur 361 Cas exceptionnel. Sommets 362

III. — Expression du rayon de courbure d'une courbe plane en coordonnées polaires. 230. Angle de la tangente avec le rayon vecteur 363 Rayon de courbure 364 Points d'inflexion 365 Sommets ...... 365 Exemple. Cardioïde . 36G 231. Spirale logarithmique, 367

IV. — Exercices sur les rayons de courbure des courbes planes. 232. Courbe dans laquelle R=?(7) 368 Exemples 369 Trouver une courbe dans laquelle le rayon de courbure est une fonction donnée de l'arc s 370 TABLE DES MATIÈRES 709

CHAPITRE XIV

COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES

I. — Notions générales. — Formules. 233. Courbure 371 Courbure moyenne d'un arc MM, 372 Courbure en un point 372 Remarque 372 234. Torsion 373 Torsion moyenne d'un arc M.M,374 • Torsion en un point 374 Remarque 375 235. Propriétés géométriques des courbes 7 et ez 375 236. Formules de Frenet 377 237. Usage de ces formules pour le calcul de R et T 38o 238. Remarque sur le cas particulier où s est pris comme variable indépendante 381 239. Normale principale. Centre de courbure 381 Centre de courbure 382 240. Cercle osculateur 383

II. — Application aux hélices. — Hélice osculatrice. 241. Hélice circulaire 384 Remarque I 386 Remarque II 386 242. Hélice quelconque 386 Remarque géométrique 389 243. Courbes sinistrorsum et courbes dextrorsum 389 244. Hélice circulaire osculatrice 390 Théorème 391 245. Remarque sur les caractéristiques des trois faces du trièdre MtN'N" le long d'une courbe 391 Plan osculateur 392 Plan normal 392 Plan rectifiant 393

III. — Exercices sur les courbes gauches. 246. Ligne dont la courbure est nulle 393 247. Ligne dont le plan osculateur est indéterminé en chaque point 248. Courbe dont la torsion est nulle 394

250. Une courbe, dans laquelle R et T sont constants, est une hélice tracée sur un cylindre de révolution 396 249. Une courbe, le long de laquelle —R est constant, est une hélice • 395

IV. — Étude d'une courbe gauche dans le voisinage d'un point non singulier. 2)1. Développements des coordonnées en fonction de l'arc 397 252. De tous les plans passant par O, le plan osculateur, en O, est celui qui se rapproche le plus de la courbe 399 253. Cercle osculateur ou cercle de courbure 399 254. Différence entre un arc et sa corde 401 255. Plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines . 4o1

V. — Développement d'une surface développable sur un plan. 256. Figure schématique d'une courbe gauche • 4o3 257. Une surface développable peut être exactement appliquée sur un plan 4o% 258. Quand on applique sur un plan une surface développable, le rayon de courbure, en un point de l'arête de rebroussement, ne change p. s 4o 259. Application 40 11.

VI. — Développées. 26o. Développées 4o5 261. Propriété fondamentale des développées 406 262. Théorème 4o7 Remarque 4o8 263. Si on considère deux développées D, et D, d'une courbe C, les tangentes MM, et MM, à ces deux développées se coupent sous un angle constant, en M, tout le long de la courbe C . 4o8 264. Courbes planes 409 Développée plane 410 Exemples. Ellipse foo Cycloïde 411 265. Développées dans l'espace d'une courbe plane 412 266. Développantes 413 267. Exemples de développantes 413

CHAPITRE XV

COURBURE DES LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE COURBURE DES SURFACES

I. — Courbure des courbes tracées par un point donné sur une surface. 268. Formules générales 415 269. Théorème I 0 417 270. Théorème H 417 TABLE DES MATIÈRES 711 Théorème de Meusnier 418 2 . Convention pour le signe des rayons de courbure des sections normales 420 272. Variation du rayon de courbure d'une section normale, en un point d'une surface. Indicatrice. Directions principales 422 Rayon de courbure d'une section normale 423 Premier cas 423 Deuxième cas 426 Troisième cas 429 Résumé 431 273. Détermination des directions principales et des rayons de cour- bure principaux, en un point 431 Directions principales 433 Rayons de courbure principaux 433 274. Courbure totale 434 275. Courbure moyenne 435 276. Exemple 435

II. — Étude géométrique d'une surface autour d'un point. Autre définition de l'indicatrice. 277. Définition géométrique de l'indicatrice . 437 278. Rayon de courbure d'une section normale 439 279. Remarque 44o 280. Cas particulier des surfaces du deuxième ordre 441 281. Usage de l'indicatrice pour la détermination des tangentes à l'in- tersection de deux surfaces tangentes en un point 441 282. Paraboloïde osculateur. Tore osculateur 442 Paraboloïde osculateur 443 Tore osculateur 444 283. Application 445 Cas particuliers .. 446

CHAPITRE XVI LIGNES PARTICULIÈRES TRACÉES SUR UNE SURFACE

I. — Lignes de courbure. 284. Définition 448 285. Équation différentielle des lignes de courbure 448 286. Théorème I 451 Autre démonstration 451 287. Théorème II 451 288. Résumé 453 Remarque 453 289. Lignes de courbure d'un paraboloïde hyperbolique équilatère 454 290. Lignes de courbure des surfaces de révolution 455 291. Surfaces développables. . 456 292. Exercice 457 712 TABLE DES MATIÈRES

H. — Lignes asymptotiques. 293. Définition 457 294. Équation différentielle des lignes asymptotiques projetées sur le plan des xy 458 Remarque 459 295. Lignes asymptotiques d'une surface réglée gauche 459 Exemple 459 296. Lignes asymptotiques d'une surface développable 461 297. Théorème 461 III. — Lignes de niveau et lignes de plus grande pente. 298. Définition 462 299. Équation différentielle des lignes de plus grande pente 463 Remarque 465 300. Lignes de plus grande pente d'un ellipsoïde 465

IV. — Lignes géodésiques. 301. Définition 466 302. Lignes géodésiques du plan 468 3o3. Lignes géodésiques d'une sphère 468 3o4. Lignes géodésiques d'un cylindre 469 305. Lignes géodésiques des surfaces développables 470 3o6. Déformation d'une surface : les lignes géodésiques se conser- vent une 470 307. Courbure géodésique d'une ligne quelconque tracée sur surface S 471 308. Expression du rayon de courbure géodésique 471 Application 472 Points d'inflexion du développement 472

V. — Directions conjuguées. — Réseaux conjugués. — Théorème des tangentes conjuguées. • 309. Directions conjuguées 473 310. Réseaux conjugués 473 311. Théorème des tangentes conjuguées 473

CHAPITRE XVII

DIFFÉRENTIATION SOUS LE SIGNE f INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES INTÉGRALES PRISES LE LONG D'UNE COURBE

I. — Différentiation sous le signe f. 312. Règle. 476 313. Exemple I 477 TABLE DES MATIÈRES 713

314. 'Exemple II . 478 Cas particulier 479 315. Exemple d'un cas où la règle ne peut pas s'appliquer 48o 316. Différentiation d'une intégrale définie par rapport à un para- mètre qui figure sous le signe et dans les limites . . 482

II. — Intégration des différentielles totales.

317. Différentielles totales à deux variables 483 Problème inverse 483 Théorème. 484 318. Exemples 487

III. — Intégration le long d'une courbe plane.

319. Définition 488 32o. Expression par une intégrale simple ordinaire 489 321. Quelques exemples d'intégrales prises le long d'une courbe 322. Conditionplane pour qu'une intégrale 1mq im) f (x, y) dx (x,y) dx, 490 dépende seulement du point de départ Mo et du point d'ar- rivée M, et non du chemin suivi - 491 Théorème 492 323. Exemple tiré de la théorie mécanique de la chaleur 494

IV. — Différentielles totales à trois variables indépendantes. Intégrales prises le long d'une courbe dans l'espace.

324. Conditions pour qu'une expression différentielle à trois varia- bles indépendantes soit une différentielle totale exacte . 497 Théorème 498 325. Intégrale prise le long d'une courbe dans l'espace 500 326. Conditions pour qu'une intégrale, prise le long d'une courbe dans l'espace, ne dépende que des points de départ et d'ar- rivée et non du chemin suivi Soi 327. Exemple tiré de la mécanique. Travail Soi

CHAPITRE XVIII

INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES. —APPLICATIONS

I. — Intégrales doubles.

328. Définition. Évaluation d'un volume 5o5 Remarque 5o8 329. Positions diverses de la surface S 509 714 TABLE DES MATIÈRES

II. — Calcul d'une intégrale double en coordonnées rectangulaires. 330. Méthode générale 5io 33i. Premier exemple 514 332. Deuxième exemple 516 333. Interprétation géométrique du calcul 517 334. Remarque 518

III. — Calcul d'une intégrale double en coordonnées polaires. 335. Méthode 519 Remarque 52o Calcul de l'intégrale 521 336. Exemple 523 337. Remarque 525 338. Modifications it apporter au calcul précédent quand l'origine est dans le champ d'intégration 525 339. Autre façon de calculer une intégrale double en coordonnées polaires 526

IV. — Aire d'une surface courbe. 34o. Aire d'une surface courbe 528 341. Exemple. Aire d'une portion de surface sphérique 53o Théorème de Viviani . 532 342. Autre exemple général d'intégrale double 533

V. — Application. — Intégrales eulériennes. 343. Intégrale eulérienne de première espèce 534 344. Intégrale eulérienne de deuxième espèce 535 345. Réduction des fonctions B (a, b) aux fonctions r 536 346. Tables numériques 539

VI. — Intégrales triples. 347. Définition 54o 348. Coordonnées rectangulaires . 54o Remarque 543 349. Théorème de Green 543 350. Remarque 548

CHAPITRE XIX

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

I. — Généralités sur les équations différentielles. 351. Ordre d'une équation différentielle 549 352. Exemples 549 353. Intégrale générale d'une équation différentielle 551 TABLE DES MATIÈRES 715

H. — Équations différentielles du premier ordre. — Équation diffé- rentielle d'une famille de courbes dépendant d'un paramètre. Intégrale générale d'une équation du premier ordre.

354. Équation différentielle du premier ordre 355. Equation différentielle d'une famille de courbes planes dépen- dant d'une constante arbitraire 553 Exemple 1 554 Exemple II 555 356. Existence de l'intégrale générale. Méthode graphique 357. Exemples 560 358. Démonstration analytique de l'existence de l'intégrale générale 563 359. Exemple 565 36o. Coefficients indéterminés 566

III. — Types d'équations du premier ordre intégrables par des quadratures. 361. Premier type. Les variables se séparent 567 Exemple 567 Remarque 570 36‘2. Deuxième type. Equations homogènes 571 Exemples 572 Exercice 574 Remarque 3,1 363. Troisième type. Equations de la forme dy p(ax+by+ c\ dx dx-Fily+c' a, b, c, a', b', désignant des constantes. 575 Cas exceptionnel 576 Exemple I 575 Vérification 578 Exemple II 578 364. Quatrième type. Equations linéaires 579 Exemple 58o 365. Cinquième type 581 Exemple

IV. — Intégrales singulières des équations du premier ordre. Équation de Clairaut. 366. Intégrales particulières et intégrales singulières 581 367. Théorème 585 Exemples 586 368. Sixième type. Equation de Clairaut 587 Exemple 589 Remarque. 590 369. L'intégrale singulière déduite de l'équation différentielle. 590 Exemples 593

V. — Remarques sur le changement de variables. Échange de la fonction et de la variable indépendante 595 371. Septième type, Équation de Clairaut généralisée 596 72. Changement de variables en général 597 Exemple 597

CHAPITRE XX

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE ET D'ORDRE SUPÉRIEUR

I. — Équations différentielles du deuxième ordre. 373. Existence de l'intégrale générale 599 Remarque. . . 6oi 37i. Exemples d'intégrations par séries 601

— Cas de réduction au premier ordre. 375. Cas de réduction au premier ordre 6o4 376. Premier type. L'équation différentielle ne contient pas y. 6o4 Exemple 605 Remarque, 607 377. Deuxième type. L'équation ne contient pas x 607 Remarque 608 Exemples. 609

III. — Équations d'ordre quelconque. 378. Intégrale générale 61 2 379. Type d'équation réductible au premier ordre 612 Exemple 613

CHAPITRE XXI

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

I. — Généralités. 380. Équations linéaires d'ordre n 615 381. Théorèmes généraux 615 Théorème I 616 Théorème II 616 Théorème III 616

II. — Équations différentielles linéaires sans deuxième membre. 382. Théorèmes généraux. Forme de l'intégrale générale 617 Théorème I 617 383. Remarque. Solutions distinctes. Fonctions linéairement indé- pendantes 617 384. Théorème II 619 385. Abaissement de l'ordre de l'équation, quand une solution est connue 619 Exemple 621

— Équations à coefficients constants sans deuxième membre. 386. Méthode générale 622 387. Exemples 623 Discussion 626 388. Cas où le polynôme ,(r) a des racines multiples ,p 627 389. Exemples 63o Remarque 63o

IV. — Équations linéaires avec deuxième membre. — Exemples. 390. Théorème 632 Exemple 633 391. Cas particulier des équations à coefficients constants ▪ 634 392. Premier cas. Le deuxième membre est un polynôme • 634 Exemple I 635 Exemple II 635 Remarque 637 393. Deuxième cas. Le deuxième membre est une exponentielle Aeax, où A et a sont des constantes 637 Exemple I 640 Exemple II 6 il 394. Cas général où le deuxième membre est un polynôme P (x), suivi d'une somme d'exponentielles 6 Exemple 642

CHAPITRE XXII

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES A UNE VARIABLE INDÉPENDANTE

395. Problème général 644

I. — Deux équations simultanées du premier ordre à deux fonctions inconnues. 396. Méthode 644 397. Interprétation
géométrique 645