En el capítulo 1 se presentan los sistemas deductivos para los sistemas LB: Lógica Básica con Afirmación y Negación Alternas, LB+¬Pc: Lógica Básica Paraconsistente respecto a la Afirmación
y Negación Alternas, y LB+¬Po Lógica Básica Paracompleta respecto a la Afirmación y
Negación Alternas. Cada uno de los sistemas es caracterizado con una semántica de valuaciones
tradicional.
El lenguaje de cada uno de estos sistemas incluye 2 afirmaciones y 2 negaciones. Si A es una
fórmula entonces *A o simplemente A es la afirmación usual de A, la afirmación de la lógica
clásica; +A es una afirmación alterna de A; ∼A es la negación usual de A, la negación de la lógica
clásica; ¬A es una negación alterna de A. El lenguaje también incluye operadores de incompatibilidad
y de determinabilidad entre las siguientes tres parejas de operadores: afirmación
alterna versus negación alterna, afirmación alterna versus negación clásica y afirmación clásica
versus negación alterna.
Los operadores de afirmación y negación alterna, aparecen en diversos sistemas de lógicas modales
como los presentados Hughes y Cresswell [6]. La mayoría de estos sistemas tienen un operador
de necesariedad, en cierto sentido este operador es una afirmación más fuerte que el operador
afirmación clásica o afirmación usual (la necesariedad de la fórmula α implica la afirmación
clásica de la fórmula α, pero en general no vale la implicación recíproca). Un operador de
imposibilidad es definido en términos de los operadores necesariedad y negación clásica. En
cierto sentido el operador de imposibilidad es más fuerte que el operador negación clásica o negación
usual (la imposibilidad de la fórmula α implica la negación clásica de la fórmula α, pero
en general no vale la implicación recíproca). Un operador de posibilidad es definido en términos
de los operadores necesariedad y negación clásica. En cierto sentido el operador de posibilidad
es más débil que el operador afirmación clásica o afirmación usual (la afirmación clásica de la
fórmula α implica la posibilidad de la fórmula α, pero en general no vale la implicación recíproca).
En [2] da Costa presenta la jerarquía de sistemas deductivos, Cn con 1 ≤ n < ω, los cuales soportan
las inconsistencias. El operador negación de estos sistemas es más débil que el operador negación
clásica. Da Costa también introduce un operador de buen comportamiento, con el cual se
pretende que si una fórmula está débilmente negada y tiene buen comportamiento entonces la
fórmula débilmente negada se debe comportar como si estuviera clásicamente negada. Los sistemas
son presentados con una sola negación, llamada negación débil; en el sistema C1, el buen
comportamiento de una fórmula es definido como la negación débil de la conjunción de la fórmula
con su negación débil; la negación clásica es definida en términos de la negación débil y el
buen comportamiento. En [1] Carnielli y Marcos estudian con mayor profundidad el operador de
buen comportamiento al presentar las Lógicas para la Inconsistencia Formal las cuales permiten
interiorizar los conceptos de consistencia e inconsistencia en el lenguaje objeto.
Árboles de Forzamiento Semántico para la Lógica Básica con Afirmación y Negación Alternas
7
La incompatibilidad entre la afirmación clásica y la negación alterna de una fórmula puede ser
caracterizada como la negación clásica de la conjunción entre la fórmula y su negación alterna;
esta caracterización hace al operador incompatibilidad esencialmente diferente del operador de
buen comportamiento presentado por da Costa, y del operador de consistencia presentado por
Carnielli y Marcos, pero más cercano al operador de consistencia presentado en [3] por D'Ottaviano
y da Costa para el sistema J3. La determinabilidad entre la afirmación clásica y la negación
alterna de una fórmula puede ser caracterizada como la disyunción de la fórmula con su
negación alterna.
En el capítulo 2 se presentan los Árboles de Forzamiento Semántico para los sistemas LB,
LB+¬Pc y LB+¬Po del capítulo anterior. Se demuestra que la noción de validez asociada a los
Árboles de Forzamiento coincide con la noción de validez asociada a la semántica de valuaciones
tradicional. Con las reglas para el forzamiento de marcas se marcan todos los nodos del árbol
de una fórmula dada, lo cual permite clasificar el árbol como bien marcado con raíz rechazada o
bien marcado con raíz aceptada o mal marcado; en el primer caso la fórmula es inválida, y las
marcas de de los nodos asociados a las sub-fórmulas cuasi-atómicas permiten encontrar una valuación
que refuta la validez de la fórmula; en los otros dos casos la fórmula es válida y se puede
construir una deducción formal, esto se logra debido a que cada regla utilizada para marcar los
nodos en el árbol está asociada a una regla de inferencia en el sistema deductivo.
En el capítulo 3 se restringe el lenguaje de los sistemas previamente presentados, eliminando
toda referencia a la negación alterna; y en el capítulo 4 se elimina toda referencia a la afirmación
alterna.
En el capítulo 5 se trabaja con los sistemas presentados en el capítulo 1, pero se restringe el alcance
de los operadores incompatibilidad y determinabilidad al nivel de las fórmulas atómicas.
Cada uno de los sistemas es caracterizado con una semántica de valuaciones tradicional, y por
una semántica de tri-valuaciones.
En el capítulo 6 se restringe el lenguaje de los sistemas presentados en el capítulo anterior, eliminando
toda referencia a la negación alterna; y en el capítulo 9 se elimina toda referencia a la
afirmación alterna.
La compatibilidad y la indeterminabilidad a nivel atómico, en lo referente a la negación alterna,
ha sido detectada en algunos sistemas. Por ejemplo, Sette en [8] presenta el sistema de Lógica
Paraconsistente P1, la negación de este sistema no es clásica, puesto que, P1 permite la compatibilidad
de un enunciado atómico con su negación. Sette y Carnielli en [9] presentan el sistema de
Lógica Paracompleta I1, la negación de este sistema tampoco es clásica, puesto que, I1 permite la
indeterminabilidad de un enunciado atómico con su negación. Los sistemas paracompletos más
conocidos son los de la Lógica Intuicionista [5] y de la Lógica Trivalente [7].
En el capítulo 7 se presentan los Árboles de Forzamiento Semántico para los sistemas del capítulo
5, en el capítulo 8 para los sistemas del capítulo 6, y en el capítulo 10 para los sistemas del
Manuel Sierra A.
8
capítulo 9.
Algunos de los resultados sobre los sistemas presentados han sido publicados en diferentes medios.
Para el sistema LB la semántica es presentada en [13], los árboles en [15] y el paso de árboles
a deducciones en [14]. Para el sistema LBAT la semántica de valuaciones es presentada en
[31], los árboles en [30] y la semántica de tri-valuaciones en [31]. Para el sistema LB+ la semántica
es presentada en [12], los árboles y el paso de árboles a deducciones en [27], y el sistema
deductivo en [11]. Para los sistemas LB+AT, LB+PcAT y LB+PoAT la semántica de valuaciones
y la semántica de bi-valuaciones son presentadas en [29]. Para el sistema LB¬ la semántica
es presentada en [18], los árboles en [21] y [22], el sistema deductivo en [24] y el paso de árboles
a deducciones en [19]. Para los sistemas LB¬AT, LB¬PcAT y LB¬PoAT la semántica de
valuaciones es presentada en [28], los árboles en [20], y la semántica de bi-valuaciones en [28].
Los árboles para los sistemas LB¬Pc y LB¬Po son presentados en [21] y [23]. Los sistemas
deductivos para los sistemas con negación alterna son presentados en [10]; estos sistemas son
presentados en [16] sin recurrir a la negación clásica, definiéndo ésta en términos de la negación
débil y los operadores de incompatibilidad y determinabilidad. El forzamiento semántico de
marcas para un sistema con afirmación alterna fuerte y negación alterna débil es presentado en
[17]. Los árboles de forzamiento semántico para la lógica clásica de primer orden son presentados
en [25]. Los árboles de forzamiento semántico asociados a las semánticas de sociedades para
Author(s): Manuel Sierra Aristizabal
Publisher: MS-Print
Year: 2004
Language: Spanish
Pages: 182
City: Medellín
Presentación.................................................................................................................................... 6
Capítulo 1 ....................................................................................................................................... 9
Lógicas Básicas con Afirmación y Negación Alternas. Sistemas LB, LB+¬Pc y LB+¬Po ..... 9
1. Sistema Deductivo para LB................................................................................................ 9
2. Semántica para LB............................................................................................................ 12
3. Extensión Paraconsistente de LB. Sistema LB+¬Pc........................................................ 23
4. Extensión Paracompleta de LB. Sistema LB+¬Po .......................................................... 25
5. Independencia de los sistemas LB, LB+¬Pc y LB+¬Po ................................................. 27
Capítulo 2 ..................................................................................................................................... 29
Árboles de Forzamiento Semántico para los sistemas LB, LB+¬Pc y LB+¬Po..................... 29
1. Árbol de una fórmula de LB............................................................................................. 29
2. Marcando los nodos de un árbol....................................................................................... 30
3. Reglas derivadas para el forzamiento de marcas.............................................................. 34
4. Equivalencia entre árboles de forzamiento y valuaciones................................................ 48
5. Ilustraciones...................................................................................................................... 55
6. Reglas de inferencia derivadas en LB .............................................................................. 58
7. De los árboles a las deducciones ...................................................................................... 65
8. Árboles de Forzamiento Semántico para el sistema LB+¬Pc.......................................... 69
9. Árboles de Forzamiento Semántico para el sistema LB+¬Po ......................................... 71
10. Ejemplos de Árboles de Forzamiento Semántico para LB............................................. 73
Capítulo 3 ..................................................................................................................................... 81
Lógicas Básicas con sólo Afirmación Alterna. Sistemas LB+, LB+Pc y LB+Po.................... 81
1. Sistema Deductivo para LB+............................................................................................ 81
2. Semántica para LB+ ......................................................................................................... 81
3. Extensión Paraconsistente de LB+. Sistema LB+Pc ........................................................ 83
4. Extensión Paracompleta de LB+. Sistema LB+Po ........................................................... 84
5. Árboles de Forzamiento Semántico para el sistema LB+................................................. 86
6. Árboles de Forzamiento Semántico para el sistema LB+Pc............................................. 87
7. Árboles de Forzamiento Semántico para el sistema LB+Po ............................................ 89
Capítulo 4 ..................................................................................................................................... 92
Lógicas Básicas con sólo Negación Alterna. Sistemas LB¬, LB¬Pc y LB¬Po ..................... 92
1. Sistema Deductivo para LB¬ ........................................................................................... 92
Manuel Sierra A.
4
2. Semántica para LB¬......................................................................................................... 92
3. Extensión Paraconsistente de LB¬. Sistema LB¬Pc....................................................... 94
4. Extensión Paracompleta de LB¬. Sistema LB¬Po.......................................................... 95
5. Árboles de Forzamiento Semántico para el sistema LB¬ ................................................ 97
6. Árboles de Forzamiento Semántico para el sistema LB¬Pc............................................ 99
7. Árboles de Forzamiento Semántico para el sistema LB¬Po.......................................... 101
Capítulo 5 ................................................................................................................................... 103
Lógicas Básicas con Afirmación y Negación Alternas a Nivel Atómico. Sistemas LBAT,
LB+¬PcAT y LB+¬PoAT..................................................................................................... 103
1. Sistema Deductivo para LBAT....................................................................................... 103
2. Semántica de valuaciones para LBAT............................................................................ 104
3. Semántica de tri-valuaciones para LBAT....................................................................... 107
4. Equivalencia entre la semántica de valuaciones y la de tri-valuaciones ........................ 108
5. Extensión Paraconsistente de LBAT. Sistema LB+¬PcAT........................................... 115
6. Extensión Paracompleta de LBAT. Sistema LB+¬PoAT.............................................. 118
Capítulo 6 ................................................................................................................................... 122
Lógica Básica con sólo Afirmación Alterna a Nivel Atómico. Sistemas LB+AT, LB+PcAT y
LB+PoAT ............................................................................................................................... 122
1. Sistema Deductivo para LB+AT .................................................................................... 122
2. Semántica para LB+ ....................................................................................................... 122
3. Semántica de bi-valuaciones para LB+AT..................................................................... 124
4. Equivalencia entre la semántica de valuaciones y la de bi-valuaciones......................... 125
5. Extensión Paraconsistente de LB+AT. Sistema LB+PcAT............................................ 130
6. Extensión Paracompleta de LB+AT. Sistema LB+PoAT .............................................. 133
Capítulo 7 ................................................................................................................................... 137
Árboles de Forzamiento Semántico para los sistemas LBAT, LB+¬PcAT y LB+¬PoAT... 137
1. Marcando los nodos de un árbol en LBAT..................................................................... 137
2. Equivalencia de las presentaciones de LBAT ................................................................ 139
3. De los árboles a las deducciones en LBAT .................................................................... 147
4. Marcando los nodos de un árbol en LB+¬PcAT ........................................................... 147
5. Equivalencia de las presentaciones de LB+¬PcAT ....................................................... 148
6. De los árboles a las deducciones en el sistema LB+¬PcAT .......................................... 149
7. Marcando los nodos de un árbol en LB+¬PoAT ........................................................... 149
8. Equivalencia de las presentaciones de LB+¬PoAT....................................................... 150
9. De los árboles a las deducciones en el sistema LB+¬PoAT.......................................... 151
Capítulo 8 ................................................................................................................................... 152
Árboles de Forzamiento Semántico para los sistemas LB+AT, LB+PcAT y LB+PoAT ...... 152
1. Marcando los nodos de un árbol en LB+AT .................................................................. 152
2. Marcando los nodos de un árbol en LB+PcAT .............................................................. 154
Árboles de Forzamiento Semántico para la Lógica Básica con Afirmación y Negación Alternas
5
3. Marcando los nodos de un árbol en LB+PoAT .............................................................. 156
Capítulo 9 ................................................................................................................................... 158
Lógica Básica con sólo Negación Alterna a Nivel Atómico. Sistemas LB¬AT, LB¬PcAT y
LB¬PoAT............................................................................................................................... 158
1. Sistema Deductivo para LB¬AT.................................................................................... 158
2. Semántica para LB¬....................................................................................................... 158
3. Semántica de bi-valuaciones para LB¬AT .................................................................... 160
4. Equivalencia entre la semántica de valuaciones y la de bi-valuaciones......................... 161
5. Extensión Paraconsistente de LB¬AT. Sistema LB¬PcAT .......................................... 166
6. Extensión Paracompleta de LB¬AT. Sistema LB¬PoAT ............................................. 169
Capítulo 10 ................................................................................................................................. 173
Árboles de Forzamiento Semántico para los sistemas LB¬AT, LB¬PcAT y LB¬PoAT .... 173
1. Marcando los nodos de un árbol en LB¬AT.................................................................. 173
2. Marcando los nodos de un árbol en LB¬PcAT.............................................................. 175
3. Marcando los nodos de un árbol en LB¬PoAT.............................................................. 177
Conclusiones............................................................................................................................... 179
Referencias Bibliográficas..........................................................................................................
