Algèbre et géométries : Arrangements d'hyperplans - Découpages en dimensions 2 et 3 - Invariants conformes - Quadrangles harmoniques - Courbes elliptiques

Couverture, titre
Préface
Table des matières
Avant-propos
I. Géométrie affine
1. Généralités
1.1. Définition d’un espace affine
1.2. Applications affines
1.3. Le groupe affine
1.4. Rapport de proportionnalité et théorème de Thalès
1.5. Théorème de Ménélaüs
1.6. Droite de Newton d’un quadrilatère complet
2. Coordonnées barycentriques
2.1. Barycentre d’une famille de points pondérés
2.2. Relativement à un repère affine
2.3. Barycentre et rapport de proportionnalité
2.4. Calcul matriciel dans un repère affine
3. Barycentres dans le plan affine
3.1. Applications simples de l’associativité du barycentre
3.2. Équations barycentriques de droites
3.3. Autour du triangle pédal
3.4. Lemme du chevron
3.0. Théorème de Routh
3.6. Théorème de Pappus
4. Loi de groupe associée à un triangle du plan affine
4.3. Inversion
4.4. Multiplication
4.5. Triangle prépédal
4.6. Quotient cévien
5. Sur les coniques affines
5.1. Équations barycentriques d’une conique
9.2. Tangentes en un point et directions asymptotiques
9.3. Diamètres
5.4. Centre
5.6. Théorème de Carnot
5.7. Lois de groupe
6. Présentation axiomatique
6.1. Théorème fondamental de la géométrie affine
6.2. Les premiers axiomes
6.3. Dilatations et translations
6.4. Construction du corps
6.5. Coordonnées
6.6. Retour sur le théorème de Desargues
6.7. Pappus et la commutativité de K
7. Exercices
II. Espaces affines réels
1. Topologie canonique
1.1. Orientation
1.2. Demi-espaces
1.3. Segments
1.4. Mesure de Lebesgue
2. Arrangements d’hyperplans
2.1. Définitions
2.2. Exemples
2.3. Les treillis et leurs fonctions de Môbius
2.4. Exemples
2.5. Généralités
2.6. Formule de délétion-restriction
2.7. Cas vectoriel
2.8. Cas affine
2.9. Arrangements génériques
3. Convexité
3.1. Définitions
3.2. Théorème de Helly et quelques applications
3.3. Du théorème de Carathéodory au théorème de Barany
3.4. Théorème de Hahn-Banach géométrique
3.5. Points extrémaux
4, Un avant-goût de géométrie euclidienne
4.1. La conjecture de Borsuk
4.2. Partager un gâteau entre frères et sœurs
4.3. De l’art d’empaqueter
5. Exercices
III. Géométrie affine euclidienne
1. Le groupe des isométries vectorielles
1.1. Produit scalaire
1.2. Le groupe orthogonal
1.3. Isométries vectorielles en dimension 2 ou 3
2. Groupe des isométries affines
2.1. Espace affine euclidien
2.2. Isométries affines
2.3. Isométries affines en dimension 2 et 3
3. Généralités
3.1. Groupe des similitudes vectorielles
3.2. Similitudes affines
3.3. Repères affines orthonormés
3.4. Sphères
3.5. Orthogonalité
3.6. Angles d’un plan affine orienté
4. En dimension 2
4.1. Angles d’un triangle euclidien
4.2. Théorème de l’angle au centre
4.3. Théorème de Pascal et de Brianchon : version euclidienne
4.4, Axe radical et autres lignes de niveau
4.5. Polarité associée à un cercle
4.6. Relations trigonométriques dans le triangle
4.7. Triangles semblables
5. En dimension 3
5.1. Produit mixte et produit vectoriel
5.2. Applications géométriques
5.3. Angles
5.4. Formule d’'Euler
5.5. Théorème de Pythagore
6. En dimension supérieure
6.1. Déterminants de Gram et distances
6.2. Relations métriques sur le simplexe régulier
6.3. Généralisation du théorème de Pythagore
6.4. Les équations de Dehn-Sommerville
7. Algébrisations
7.1. Nombres complexes
7.2. Quaternions
7.3. Algèbres de Clifford
8. Découpages en dimension 2 et 3
8.1. Équidécomposabilité
8.2. Théorème de Bolyai
8.3. Théorème de Dehn-Hadwiger
8.4. Ensembles dédoublables
8.5. Paradoxe de Sierpinski-Mazurkiewicz
8.6. Paradoxe de Banach-Tarski
9. Exercices
IV. Les classiques de la géométrie euclidienne
1. Points constructibles à la règle et au compas
1.1. Définitions
1.2. Corps des nombres constructibles
1.3. Polygones réguliers
1.4. Retour sur les impossibilités célèbres
1.5. Courbes annexes
1.6. Compas, règle et trisecteur
1.7. Constructions par coniques
1.8. Pliages et Origami
2. Sur les triangles
2.1. Points de concours et leurs coordonnées barycentriques
2.2. Sur le triangle orthique
2.3. L’inégalité d’'Erdôs-Mordell
2.4. Trois preuves du théorème de Morle
2.5. Triangles podaires
3. Sur les cercles
3.1. Droite et cercle d’Euler d’un triangle
3.2. Droites de Simson et droites de Steiner
3.3. Deux théorèmes de Monge
3.4. Le théorème de Feuerbach
3.5. Relation d’Euler, zigzags et grand théorème de Poncelet
4. Sur les coniques
4.1. Comme lignes de niveau
4.2. Propriétés angulaires
4.3. Ellipses inscrites dans un triangle
4.4. Théorème de Habets
5. Sur les polygones du plan
5.1. Constructions du pentagone régulier
5.2. Polygones inscriptibles
0.3. Billards
9.4. Trajectoires de lumière
9.0. Polygones entiers
6. Sur les polytopes en dimension n
6.1. Déterminants de Cayley-Menger
6.2. Généralisation de la formule de Héron
6.3. Généralisation du théorème de Ptolémée
6.4. Existence de polytopes
6.5. Polytopes réguliers
6.6. Rigidité des polyèdres convexes
7. Pavages
7.1. Définitions et premiers exemples
7.2. Groupes cristallographiques
7.3. Quelle tuile pour paver le plan euclidien ?
7.4. Triangles d’or et pavage apériodique de Penrose
7.5. Frises
8. Systèmes de racines
8.1. Définition
8.2. Classification dans R^2
8.3. Le diagramme de Dynkin
9. Exercices
V. Géométries inversive et sphérique
1. Cercles et droites : de Reim à Clifford
1.1. Théorème de Reim, dit des deux cercles
1.2. Théorème de Miquel, dit des trois cercles
1.3. Théorème des quatre cercles
1.4. Théorème des cinq cercles
1.5. Théorème des six cercles
1.6. Un point pour quatre droites
1.7. Un cercle pour cinq droites
1.8. Théorème de Clifford
2. Les inversions : définition et premières propriétés
2.1. Définition générale
2.2. Sur quelques relations métriques dans C
2.3. Hyperplans et sphères
3. Présentation de la géométrie inversive
3.1. La projection stéréographique de la sphère de Riemann
3.2. Le groupe circulaire
3.3. Présentation axiomatique
4. Invariants conformes
4.1. L'invariant de Môbius
4.2. Invariant conforme de deux cercles de la sphère de Riemann
4.3. Distance inversive entre deux cercles
5. Quelques énoncés géométriques
5.1. Un inverseur
5.2. Premiers exemples simples
5.3. Cercles d’Apollonius
5.4. Problème de Napoléon
5.5. Porisme de Steiner
5.6. L’arbelos
5.7. Une périodicité à la Poncelet
5.8. Problèmes d’Apollonius
5.9. Constructions géométriques avec le compas
5.10. Le théorème de Feuerbach : une preuve inversive
6. Géométrie sphérique
6.1. Métrique
6.2. Aire d’un triangle sphérique
6.3. Le groupe de la géométrie sphérique
7. Trigonométrie sphérique
7.1. Formule fondamentale de la trigonométrie sphérique
7.2. Triangle polaire
7.3. Loi des sinus
7.4. Formulaire de trigonométrie sphérique
7.5. Cas d'égalité des triangles
7.6. Problèmes de navigation et triangulation
8. Application aux polyèdres de l’espace, d’après Hadamard
8.1. Angles polyèdres et polygones sphériques
8.2. Retour sur la formule d'Euler
8.3. Retour sur les polyèdres réguliers
8.4. Pavages de la sphère
9. Cartographie
9.1. Impossibilité des cartes isométriques
9.2. Projections cylindriques
9.3. Projections azimutales
9.4. Projections coniques
10. Géométrie elliptique : première vision
10.1. Définition de l’espace
10.2. Le groupe de la géométrie
10.3. Invariants
11. Exercices
VI. Géométrie projective
1. Généralités
1.1. Espaces et sous-espaces projectifs
1.2. Repères projectifs
1.3. Groupe projectif
1.4. Liaison affine-projectif
1.5. Dualité
1.6. Incidences, perspectives et réfractions du plan projectif
1.7. Desargues, Pappus : preuves projectives
2. Espaces projectifs
2.1. Espaces projectifs d’hyperplans
2.2. Espaces projectifs de cercles
2.3. Espaces projectifs des coniques
3. Géométrie projective de dimension
3.1. Homographies
3.2. Birapport
3.3. Homographies involutives
3.4. Division harmonique
3.5. Retour sur la géométrie inversive
3.6. Quadrangles harmoniques et réguliers de P(C)
3.7. Sextangles harmoniques
4. Géométrie projective de dimension
4.1. Involutions d’une droite projective du plan
4.2. Construction du quatrième harmonique
4.3. Preuves projectives de Ménélaüs et Ceva
4.4. Formule de Laguerre
4.5. Métriques de Hilbert
5. Un bref aperçu de la théorie des invariants
5.1. Crochets, formes et produits extérieurs
5.2. Application au théorème de Pappus
5.3. Application au théorème de Desargues
6. Coniques projectives
6.1. Généralités
6.2. Comme ligne de niveau
6.3. Intersection d’une conique et d’une droite
6.4. Classification projective
6.5. Pôles et polaires
6.6. La conique vue comme une droite projective
6.7. Groupe d’une conique
6.8. Retour sur les homographies d’une droite sur une autre
6.9. Le théorème de Newton
6.10. Vision euclidienne
6.11. Quelques propriétés des faisceaux de coniques
6.12. Sur les coniques passant par cinq points
6.13. Courbe duale et formule de Plücker
7. Géométrie projective sur un corps fini
7.1. Présentation
7.2. Le cas de F5 : retour sur la configuration de Desargues
7.3. Isomorphisme géométrique entre PGL2(F5) et S5
8. Applications à la peinture ou à la photographie
8.1. Projection centrale
8.2. Peintures de la Renaissance
8.3. Perspective et photographie
9. Constructions géométriques à la règle accompagnée
9.1. La règle seule
9.2. Une vraie règle
9.3. Avec une équerre
9.4. Avec un unique cercle et son centre
9.5. Avec un bissecteur
9.6. La règle marquée
9.7. Droites se coupant hors de la feuille
10. Exercices
VII. Géométrie hyperbolique
1. Définitions
1.1. Un calcul élémentaire en guise de motivation
1.2. Notations et rappels sur les coniques projectives
1.3. Points et droites
1.4. Les isométries
2. Les modèles
2.1. Le modèle de Klein
2.2. Le modèle de Minkowski
2.3. Le disque de Poincaré
2.4. Le modèle de Beltrami
3. Les droites remarquables du triangle
3.1. Médiatrices/milieux et bissectrices/bissecteurs
3.2. Points de concours
3.3. Aspects liés au calcul
4. Longueurs, angles et triangles isométriques
4.1. Longueurs
4.2. Angles
4.8. Triangles isométriques
4.4. Cercles
4.5. Horicycles
5. Le cas réel
5.1. Longueurs et angles de droites
9.2. Demi-droites et segments
5.3. Angles non orientés de demi-droites
5.4. Relations dans les triangles du modèle de Klein
5.5. Pavages du plan hyperbolique
6. Exercices
VIII. Une brève introduction à la géométrie algébrique
1. Mémento d’algèbre commutative
1.1. Sur les idéaux d’un anneau
1.2. Localisation
1.3. Sur les modules
2. Le cas affine
2.1. Ensembles algébriques
2.2. Topologie de Zariski
2.3. Idéal d’un ensemble algébrique
2.4. Prolongement des identités algébriques
3. Le Nullstellensatz
3.1. Les trois formes courantes
3.2. Une preuve simple dans le cas où K est non dénombrable
3.3. Preuve dans le cas général
4. Cas projectif
4.1. Ensembles algébriques et topologie de Zariski
4.2. Nullstellensatz projectif
4.3. Notion d'espace annelé
4.4. Un mot sur les morphismes
5. Théorème de Bézout
5.1. Un cas simple appliqué à l’hexagramme de Pascal
5.2. Multiplicité d’intersection
5.3. Preuve du théorème de Bézout
6. Applications du théorème de Bézout
6.1. Points singuliers d’une courbe plane
6.2. Théorème de Max Noether
6.3. Retour sur les théorèmes de Pappus et de Pascal
7. Courbes elliptiques et applications
7.1. Théorème des huit qui donnent neuf
7.2. Loi de groupe sur une cubique lisse
7.3. Le grand théorème de Poncelet
7.4. Quadrilatères articulés
8. Exercices
A. Indications de solutions
Exercices du chapitre I
Exercices du chapitre II
Exercices du chapitre III
Exercices du chapitre IV
Exercices du chapitre V
Exercices du chapitre VI
Exercices du chapitre VII
Exercices du chapitre VIII
Bibliographie
Références sur LaTeX
Notations
Index
Quatrième de couverture