Третий, заключительный том содержит подробное изложение таких разделов дифференциального и интегрального исчисления, как теория кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, элементы векторного анализа, теория функций ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса, ряды и интегралы Фурье. Использование простого геометрического языка значительно облегчает восприятие текста; вместе с тем многие сложные теоретические вопросы изложены полнее, чем в любом другом учебном издании. Особое внимание уделено приложениям общей теории: большое количество конкретных формул и фактов, примеров и задач как чисто математического, так и прикладного характера превращает «Курс... » в уникальное учебное пособие, полезное студентам негуманитарных вузов, которым оно непосредственно предназначено, а также математикам, физикам, инженерам и другим специалистам, использующим математику в своей работе.
Первое издание вышло в 1949 г.
Author(s): Фихтенгольц Г.М.
Edition: 8-е
Publisher: ФИЗМАТЛИТ
Year: 2003
Language: Russian
Pages: 728
Оглавление......Page 3
543. Определение криволинейного интеграла первого типа......Page 11
544. Сведение к обыкновенному определенному интегралу......Page 14
545. Примеры......Page 16
546. Определение криволинейных интегралов второго типа......Page 21
547. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго типа......Page 23
548. Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости......Page 27
549. Примеры......Page 29
550. Приближение с помощью интеграла, взятого по ломаной......Page 33
551. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов......Page 35
552. Примеры......Page 39
553. Связь между криволинейными интегралами обоих типов......Page 42
554. Физические задачи......Page 44
555. Постановка задачи, связь с вопросом о точном дифференциале......Page 50
556. Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути......Page 52
557. Вычисление криволинейного интеграла через первообразную......Page 54
558. Признак точного дифференциала и нахождение первообразной в случае прямоугольной области......Page 56
559. Обобщение на случай произвольной области......Page 58
561. Интегралы по замкнутому контуру......Page 62
562. Случай неодносвязной области или наличия особых точек......Page 65
563. Интеграл Гаусса......Page 70
564. Трехмерный случай......Page 73
565. Примеры......Page 76
566. Приложение к физическим задачам......Page 80
567. Определение функции с ограниченным изменением......Page 83
568. Классы функций с ограниченным изменением......Page 86
569. Свойства функций с ограниченным изменением......Page 89
570. Критерии для функций с ограниченным изменением......Page 92
571. Непрерывные функции с ограниченным изменением......Page 94
572. Спрямляемые кривые......Page 97
573. Определение интеграла Стилтьеса......Page 99
574. Общие условия существования интеграла Стилтьеса......Page 101
575. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса......Page 102
576. Свойства интеграла Стилтьеса......Page 106
577. Интегрирование по частям......Page 108
578. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана......Page 109
579. Вычисление интегралов Стилтьеса......Page 112
580. Примеры......Page 116
581. Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса......Page 123
582. Теорема о среднем, оценки......Page 124
583. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса......Page 126
584. Примеры и дополнения......Page 128
585. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса......Page 133
586. Задача об объеме цилиндрического бруса......Page 136
587. Сведение двойного интеграла к повторному......Page 138
588. Определение двойного интеграла......Page 140
589. Условия существования двойного интеграла......Page 142
590. Классы интегрируемых функций......Page 144
591. Нижний и верхний интегралы как пределы......Page 146
592. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов......Page 147
593. Интеграл как аддитивная функция области; дифференцирование по области......Page 151
594. Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области......Page 154
595. Примеры......Page 158
596. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области......Page 168
597. Примеры......Page 172
598. Механические приложения......Page 186
599. Примеры......Page 188
600. Вывод формулы Грина......Page 196
601. Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных интегралов......Page 200
602. Примеры и дополнения......Page 202
603. Преобразование плоских областей......Page 205
604. Примеры......Page 208
605. Выражение площади в криволинейных координатах......Page 213
606. Дополнительные замечания......Page 216
607. Геометрический вывод......Page 218
608. Примеры......Page 220
609. Замена переменных в двойных интегралах......Page 230
610. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной области......Page 232
611. Примеры......Page 234
612. Интегралы, распространенные на неограниченную область......Page 241
613. Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного интеграла......Page 244
614. Приведение двойного интеграла к повторному......Page 247
615. Интегралы от неограниченных функций......Page 249
616. Замена переменных в несобственных интегралах......Page 252
617. Примеры......Page 254
618. Сторона поверхности......Page 271
619. Примеры......Page 273
620. Ориентация поверхностей и пространства......Page 275
621. Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали......Page 278
622. Случай кусочно-гладкой поверхности......Page 280
623. Пример Шварца......Page 281
624. Определение площади кривой поверхности......Page 284
625. Замечание......Page 285
626. Существование площади поверхности и ее вычисление......Page 287
627. Подход через вписанные многогранные поверхности......Page 292
628. Особые случаи определения площади......Page 294
629. Примеры......Page 295
631. Сведение к обыкновенному двойному интегралу......Page 310
632. Механические приложения поверхностных интегралов первого типа......Page 313
633. Примеры......Page 315
634. Определение поверхностного интеграла второго типа......Page 322
635. Простейшие частные случаи......Page 325
636. Общий случай......Page 328
637. Деталь доказательства......Page 330
638. Выражение объема тела поверхностным интегралом......Page 331
639. Формула Стокса......Page 336
640. Примеры......Page 339
641. Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов в пространстве......Page 345
642. Задача о вычислении массы тела......Page 348
643. Тройной интеграл и условия его существования......Page 349
644. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов......Page 351
645. Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед......Page 353
646. Вычисление тройного интеграла по любой области......Page 355
648. Примеры......Page 357
649. Механические приложения......Page 366
650. Примеры......Page 367
651. Формула Остроградского......Page 376
652. Приложение формулы Остроградского к исследованию поверхностных интегралов......Page 379
653. Интеграл Гаусса......Page 380
654. Примеры......Page 382
655. Преобразование пространств и криволинейные координаты......Page 387
656. Примеры......Page 389
657. Выражение объема в криволинейных координатах......Page 391
658. Дополнительные замечания......Page 394
659. Геометрический вывод......Page 395
660. Примеры......Page 397
661. Замена переменных в тройных интегралах......Page 406
662. Примеры......Page 407
663. Притяжение со стороны тела и потенциал на внутреннюю точку......Page 412
664. Скаляры и векторы......Page 415
665. Скалярное и векторное поля......Page 416
666. Градиент......Page 417
667. Поток вектора через поверхность......Page 419
668. Формула Остроградского. Дивергенция......Page 420
669. Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь......Page 422
670. Специальные поля......Page 424
671. Обратная задача векторного анализа......Page 428
672. Приложения......Page 429
673. Задача о притяжении и потенциале двух тел......Page 435
674. Объем n-мерного тела, n-кратный интеграл......Page 438
675. Замена переменных в n-кратном интеграле......Page 440
676. Примеры......Page 444
677. Периодические величины и гармонический анализ......Page 466
678. Определение коэффициента по методу Эйлера-Фурье......Page 469
679. Ортогональные системы функций......Page 472
680. Тригонометрическое интерполирование......Page 477
681. Постановка вопроса. Интеграл Дирихле......Page 480
682. Первая основная лемма......Page 483
683. Принцип локализации......Page 485
684. Признаки Дини и Липшица сходимости рядов Фурье......Page 486
685. Вторая основная лемма......Page 490
686. Признак Дирихле-Жордана......Page 492
687. Случай непериодической функции......Page 494
688. Случай произвольного промежутка......Page 495
689. Разложение только по косинусам или только по синусам......Page 497
690. Примеры......Page 500
691. Разложение In Г (х)......Page 514
692. Ряды с убывающими коэффициентами......Page 517
693. Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитических функций комплексной переменной......Page 524
694. Примеры......Page 527
695. Комплексная форма рядов Фурье......Page 531
696. Сопряженный ряд......Page 535
697. Кратные ряды Фурье......Page 538
698. Некоторые дополнения к основным леммам......Page 540
699. Признаки равномерной сходимости рядов Фурье......Page 543
700. Проведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай......Page 547
701. Случай произвольной функции......Page 552
702. Особенности рядов Фурье; предварительные замечания......Page 554
703. Построение особенностей......Page 557
704. Связь между коэффициентами Фурье функции и ее производных......Page 559
705. Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции......Page 561
706. Оценка остатка в случае функции с ограниченной k-й производной......Page 562
707. Случай функции, имеющей к-ю производную с ограниченным изменением......Page 565
708. Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов Фурье......Page 567
709. Случай функции, заданной в промежутке [0, пи]......Page 572
710. Метод выделения особенностей......Page 574
711. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье......Page 582
712. Предварительные замечания......Page 584
713. Достаточные признаки......Page 586
714. Видоизменение основного предположения......Page 588
715. Различные виды формулы Фурье......Page 590
716. Преобразование Фурье......Page 593
717. Некоторые свойства преобразований Фурье......Page 596
718. Примеры и дополнения......Page 598
719. Случай функции двух переменных......Page 605
720. Выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю аномалию......Page 607
721. Задача о колебании струны......Page 609
722. Задача о распространении тепла в конечном стержне......Page 614
723. Случай бесконечного стержня......Page 618
724. Видоизменение предельных условий......Page 620
725. Распространение тепла в круглой пластине......Page 621
726. Практический гармонический анализ. Схема для двенадцати ординат......Page 623
727. Примеры......Page 626
728. Схема для двадцати четырех ординат......Page 630
729. Примеры......Page 631
730. Сопоставление приближенных и точных значений коэффициентов Фурье......Page 633
731. Почленное интегрирование ряда Фурье......Page 635
732. Почленное дифференцирование ряда Фурье......Page 638
733. Полнота тригонометрической системы......Page 639
734. Равномерная аппроксимация функций. Теоремы Вейерштрасса......Page 641
735. Аппроксимация функций в среднем. Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье......Page 644
736. Замкнутость тригонометрической системы. Теорема Ляпунова......Page 648
737. Обобщенное уравнение замкнутости......Page 652
738. Умножение рядов Фурье......Page 655
739. Некоторые приложения уравнения замкнутости......Page 656
740. Основная лемма......Page 662
741. Суммирование рядов Фурье по методу Пуассона-Абеля......Page 665
742. Решение задачи Дирихле для круга......Page 669
743. Суммирование рядов Фурье по методу Чезаро-Фейера......Page 671
744. Некоторые приложения обобщенного суммирования рядов Фурье......Page 673
745. Почленное дифференцирование рядов Фурье......Page 676
746. Вспомогательные предложения об обобщенных производных......Page 678
747. Риманов метод суммирования тригонометрических рядов......Page 682
748. Лемма о коэффициентах сходящегося ряда......Page 686
749. Единственность тригонометрического разложения......Page 687
750. Заключительные теоремы о рядах Фурье......Page 690
751. Обобщение......Page 693
752. Различные виды пределов, встречающиеся в анализе......Page 698
753. Упорядоченные множества (в собственном смысле)......Page 699
754. Упорядоченные множества (в обобщенном смысле)......Page 700
755. Упорядоченная переменная и ее предел......Page 704
756. Примеры......Page 705
757. Замечание о пределе функции......Page 708
758. Распространение теории пределов......Page 709
759. Одинаково упорядоченные переменные......Page 712
760. Упорядочение с помощью числового параметра......Page 714
761. Сведение к варианте......Page 715
762. Наибольший и наименьший пределы упорядоченной переменной......Page 718
Алфавитный указатель......Page 721
