Справочник по высшей математике

Предисловие......Page 4
Часть первая. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ......Page 6
§ 1. Основные понятия. Метод координат......Page 7
§ 2. Задачи, связанные с точкой......Page 10
§ 3. График функций у = ах + b......Page 14
§ 4. Уравнение прямой линии......Page 16
§ 5. Уравнение с угловым коэффициентом. Формулы параллельного переноса координат......Page 17
§ 6. Общее уравнение прямой......Page 20
§ 7. Уравнение прямой в отрезках......Page 22
§ 8. Уравнение пучка прямых. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки......Page 24
§ 9. Угол между двумя прямыми......Page 26
§ 10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых......Page 27
§ 11. Пересечение двух прямых......Page 29
§ 12. Некоторые задачи, решаемые при помощи уравнения прямой линии......Page 32
Контрольные упражнения......Page 35
§ 13. Алгебраические линии и их порядок......Page 37
§ 14. Окружность......Page 39
§ 15. Эллипс, его вершины, оси симметрии, фокусы и эксцентриситет......Page 46
§ 16. Построение эллипса. Применение эллипса в технике......Page 53
§ 17. Гипербола и ее асимптоты......Page 57
§ 18. Общее преобразование координат. Равносторонняя гипербола......Page 65
§ 19. График квадратичной функции......Page 71
§ 20. Парабола и ее директриса......Page 75
§ 21. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Полярные координаты и единое уравнение конических сечений......Page 81
§ 22. Исследование общего уравнения второй степени......Page 90
§ 23. Заключительные замечания......Page 91
Контрольные упражнения......Page 92
Часть вторая. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ......Page 94
§ 24. Функциональная зависимость......Page 95
§ 25. Предельный переход......Page 99
§ 26. Предел функции непрерывного аргумента......Page 104
§ 27. Бесконечно малые и бесконечно большие величины......Page 110
§ 28. Непрерывность функций. Разрывы первого и второго рода и устранимые разрывы......Page 116
§ 29. Свойства непрерывных функций......Page 122
§ 30. Обратная функция и ее непрерывность. Сложная функция......Page 128
§ 31. Производная и ее вычисление......Page 131
§ 32. Геометрическое значение производной......Page 136
§ 33. Дифференцируемость функций......Page 139
§ 34. Основные формулы и правила дифференцирования......Page 141
§ 35. Производная степенной функции......Page 148
§ 36. Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций......Page 153
§ 37. Натуральные логарифмы. Число е......Page 157
§ 38. Производные логарифмической и показательной функций......Page 164
§ 39. Таблица основных формул и правил дифференцирования......Page 167
§ 40. Графическое дифференцирование......Page 169
Контрольные упражнения......Page 171
§ 41. Возрастание и убывание функции......Page 172
§ 42. Максимум и минимум функции. Экстремальные точки кривой......Page 175
§ 43. Производные высших порядков. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба......Page 181
§ 44. Второй способ разыскания экстремумов функции......Page 187
§ 45. Задачи на максимум и минимум функции......Page 190
§ 46. Уравнение касательной и нормали к кривой. Дифференцирование неявных функций......Page 196
§ 47. Кривизна и соприкасающаяся окружность......Page 200
§ 48. Асимптоты......Page 205
§ 49. Построение графиков......Page 208
§ 50. Раскрытие неопределенностей......Page 215
§ 51. Приращение и дифференциал функции. Аппроксимация любой дифференцируемой функции отрезками прямых......Page 219
Контрольные упражнения......Page 224
§ 52. Отыскание функции по её производной. Первообразная и неопределенный интеграл......Page 226
§ 53. Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла. Определение произвольной постоянной по начальным данным......Page 228
§ 54. Обращение формул дифференцирования. Таблица простейших интегралов......Page 230
§ 55. Основные свойства неопределенного интеграла......Page 232
§ 56. Простейшие способы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование подстановкой......Page 234
§ 57. Интегрирование по частям......Page 239
§ 58. Определенный интеграл и его связь с неопределенным интегралом. Формула Ньютона—Лейбница......Page 242
§ 59. Основные свойства определенного интеграла......Page 250
§ 60. Вычисление определенного интеграла подстановкой и интегрированием по частям......Page 253
§ 61. Формула Валлиса......Page 259
§ 62. Определенный интеграл как предел суммы......Page 261
§ 63. Численное интегрирование. Формула трапеций и формула Симпсона......Page 265
§ 64. Понятие о математическом моделировании. Определение численного значения интеграла взвешиванием......Page 274
§ 65. Исследование функций при помощи интеграла. Круговые и гиперболические функции......Page 280
§ 66. Об интегралах, которые не выражаются через элементарные функции. Эллиптические интегралы......Page 286
§ 67. Вычисление площади произвольной фигуры......Page 291
§ 68. Длина дуги кривой......Page 293
§ 69. Вычисление объема тела по его поперечным сечениям......Page 298
§ 70. Путь, пройденный телом......Page 302
§ 71. Заключительные замечания......Page 303
Контрольные упражнения......Page 309
Часть третья. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ......Page 311
§ 72. Вводные замечания......Page 312
§ 73. Приближенные числа......Page 315
§ 74. Абсолютная и относительная погрешности......Page 318
§ 75. Сложение и вычитание приближенных чисел......Page 320
§ 76. Умножение и деление приближенных чисел. Погрешность при вычислении заданной функции......Page 323
§ 77. Приближенное извлечение корня......Page 327
§ 78. Оформление вычислений и их контроль......Page 331
§ 79. Табулирование и интерполяция......Page 333
§ 80. Уплотнение таблиц, или субтабулирование......Page 339
§ 81. Прямая и обратная табличные задачи......Page 348
§ 82. Конечные разности. Вычисление таблиц полиномов......Page 351
§ 83. О точности полиномиальной интерполяции. Проверка и корректировка таблиц......Page 358
Контрольные упражнения......Page 363
§ 84. Численное решение уравнений с одним неизвестным. Графический метод отделения корней......Page 365
§ 85. Метод Ньютона, или метод касательных......Page 371
§ 86. Метод линейной аппроксимации, или метод хорд......Page 378
§ 87. Метод итераций......Page 380
§ 88. Решение систем двух уравнений......Page 384
§ 89. Решение систем нелинейных уравнений в общем случае. Метод вариации параметров......Page 397
§ 90. Решение нелинейных уравнений и их систем в комплексной области......Page 410
§ 91. Заключительные замечания......Page 422
Контрольные упражнения......Page 428
§ 92. Краткая историческая справка. Основные понятия......Page 430
§ 93. Функциональные ряды. Равномерная сходимость......Page 439
§ 94. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница......Page 442
§ 95. Степенные ряды. Радиус сходимости......Page 443
§ 96. Разложение в степенные ряды функций ln (1 + z) и arctg z......Page 448
§ 97. Вычисление таблиц логарифмов......Page 453
§ 98. Ряд Тейлора......Page 455
§ 99. Алгебраические действия над степенными рядами. Рекуррентные формулы......Page 463
§ 100. Деление степенных рядов. Метод неопределенных коэффициентов......Page 467
Контрольные упражнения......Page 472
§ 101. Основные понятия и определения......Page 473
§ 102. Уравнение с разделяющимися переменными......Page 475
§ 103. Уравнения, приводящиеся к уравнению с разделяющимися переменными. Однородное уравнение......Page 477
§ 104. Линейное уравнение первого порядка......Page 480
§ 105. Уравнение Бернулли......Page 484
§ 106. Линейное уравнение второго порядка......Page 485
§ 107. Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами......Page 488
§ 108. Неоднородное линейное уравнение высшего порядка......Page 493
§ 109. Геометрический смысл уравнения первого порядка......Page 496
§ 110. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. Задача Коши......Page 499
§ 111. Выделение из решений особенностей......Page 509
§ 112. Уравнение Риккати......Page 519
§ 113. Системы уравнений......Page 533
§ 114. Краевые задачи......Page 540
§ 115. Определение собственных значений. Задача Штурма — Лиувилля......Page 547
§ 116. Уравнение Дуффинга......Page 561
§ 117. Примеры простейших задач, приводящихся к дифференциальным уравнениям......Page 570
§ 118. Заключительные замечания......Page 578
Контрольные упражнения......Page 586
§ 119. Комплексные числа......Page 588
§ 120. Основные определения......Page 591
§ 121. Алгебраические действия над комплексными числами......Page 593
§ 122. Возведение в степень и извлечение корня......Page 598
§ 123. Основные геометрические понятия......Page 601
§ 124. Функция комплексного аргумента......Page 604
§ 125. Обратная функция. Непрерывность функции......Page 607
§ 126. Производная. Условия дифференцируемости......Page 608
§ 127. Аналитические функции......Page 613
§ 128. Интеграл от функции комплексного аргумента......Page 615
§ 129. Рациональные функции. Нули и полюсы......Page 617
§ 130. Простейшие иррациональные функции. Точки разветвления......Page 619
§ 131. Показательная функция и ее периодичность......Page 622
§ 132. Тригонометрические функции. Формулы Эйлера......Page 627
§ 133. Другой вывод теоремы сложения. Эффективные формулы для вычисления тригонометрических функций......Page 632
§ 134. Вычисление pi с любой наперед заданной точностью. Формулы приведения......Page 635
§ 135. Графики тригонометрических функций. Составление таблиц......Page 641
§ 136. Геодезическая съемка. Триангуляция......Page 647
§ 137. Гиперболические функции и их связь с показательной и тригонометрическими функциями......Page 652
§ 138. Логарифмическая функция......Page 655
§ 139. Общая степенная и общая показательная функции......Page 658
§ 140. Обратные тригонометрические и гиперболические функции......Page 659
§ 141. Эллиптические функции Якоби......Page 663
§ 142. Двоякопериодичность эллиптических функций Якоби......Page 666
§ 143. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют эллиптические функции Якоби......Page 673
§ 144. Заключительные замечания......Page 682
Контрольные упражнения......Page 692
Ответы и указания......Page 693
ПРИЛОЖЕНИЕ......Page 710
Латинский и греческий алфавиты......Page 712
Таблица I. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции......Page 713
Таблица II. Показательная и гиперболические функции......Page 715
Таблица III. Коэффициенты для непосредственного интерполирования по узловым точкам......Page 717
Таблица IV. Полные эллиптические интегралы первого рода......Page 721
Таблица V. Некоторые часто встречающиеся постоянные......Page 722
Литература......Page 723
Алфавитный указатель......Page 730