Основания геометрии. Геометрия Лобачевского и ее предистория

Титульный лист......Page 1
Выходные данные......Page 2
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 3
Предисловие......Page 11
1. Задача учения об основаниях геометрии......Page 15
2. Возникновение задачи логического обоснования геометрии в Греции......Page 18
3. Высказывания Платона......Page 19
4. Аристотель как основоположник дедуктивной школы......Page 21
5. Учение о категориях и об истолковании суждений......Page 22
6. Аналитики Аристотеля......Page 24
7. После Аристотеля......Page 26
1. Сведения о личности Евклида......Page 28
2. Текст «Начал»......Page 29
4. Проникновение «Начал» за пределы Греции и Византии......Page 30
5. Печатные издания «Начал»......Page 31
6. Школьные издания «Начал»......Page 32
8. Русские издания «Начал»......Page 34
9. Другие сочинения Евклида......Page 35
1. Значение заглавия «Начала»......Page 37
2. Структура «Начал»......Page 38
1. Определения, предшествующие первой книге......Page 40
2. Постулаты......Page 43
3. Аксиомы......Page 44
1. Вступление......Page 45
2. Предложения I. 1—3. Три основные задачи......Page 46
3. Предложения I. 4—6. Первый признак равенства треугольников. Основное свойство равнобедренного треугольника и его обращение......Page 48
4. Предложения I. 7, 8. Второй признак равенства треугольников......Page 52
7. Предложения I. 20, 21. Сравнение длин прямой и ломаной, проходящих между теми же двумя конечными точками......Page 54
9. Предложения I. 24—26. Соотношения между сторонами и углами в двух треугольниках; третий признак равенства треугольников......Page 55
1. Предложения I. 27, 28. Достаточные условия параллельности двух прямых......Page 56
3. Абсолютная и собственно евклидова геометрия. Предложение I. 29......Page 58
4. Предложения I. 30—34. Евклидова теория параллельных линий......Page 59
7. Общий обзор содержания первой книги «Начал»......Page 60
1. Геометрическая алгебра......Page 62
2. Предложения II. 1—4. Основные геометрические тождества......Page 63
3. Предложение II. 5. Гномон......Page 65
4. Геометрическое решение квадратного уравнения......Page 66
5. Преобразование прямоугольника в равновеликий квадрат......Page 67
6. Обзор второй книги «Начал»......Page 68
1. Предложения III. 1—19. Окружность, ее хорды, секущие и касательные......Page 69
2. Предложения III. 20—34. Об углах, вписанных в окружность и описанных около нее......Page 70
4. Обзор содержания третьей книги «Начал»......Page 71
5. Четвертая книга «Начал»......Page 72
1. Постановка задачи......Page 73
2. Замысел теории пропорциональности Евдокса-Евклида......Page 74
4. Определение пропорциональности по Евдоксу-Евклиду......Page 76
5. Отношение двух значений величины......Page 77
6. Анализ определения отношения......Page 78
7. Аксиоматическое определение......Page 80
9. Учение о подобии......Page 81
10. Общее учение о площадях параллелограмов и треугольников......Page 83
2. Краткие сведения о десятой книге «Начал»......Page 84
3. Алгебра соизмеримых и несоизмеримых величин......Page 86
1. Стереометрические книги «Начал»......Page 87
2. Двенадцатая книга «Начал». Применение метода исчерпывания......Page 88
4. Заключительный обзор «Начал»......Page 89
1. Четырнадцатая и пятнадцатая книги «Начал*......Page 91
2. Архимед......Page 92
4. Содержание геометрических сочинений Архимеда......Page 93
б. Аксиоматика Архимеда......Page 95
6. Аполлоний Пергский......Page 96
7. Эратосфен Киренский......Page 97
1. Греческие комментаторы Евклида......Page 98
2. Средневековые комментаторы Евклида......Page 101
3. Комментарии к Евклиду в эпоху Возрождения и после нее......Page 102
4. Общий обзор комментариев к «Началам» Евклида......Page 103
1. План Даламбера по реформированию учебной книги по геометрии......Page 104
2. «Начала» геометрии Безу, Лежандра и Лакруа......Page 107
3. Определения и аксиомы Лежандра......Page 109
1. Постулат о параллельных линиях (V постулат Евклида)......Page 111
2. Общие соображения о V постулате......Page 112
3. Постулаты, явно эквивалентные V постулату Евклида......Page 114
5. Доказательство Прокла......Page 116
6. Доказательство Насир-Эддина......Page 118
7. Доказательство Валлиса......Page 123
8. Доказательства, основанные на другом определении параллельных линий......Page 126
9. Доказательство Л. Бертрана......Page 128
10. Попытки доказательств постулата, относящиеся к третьей и четвертой категориям......Page 130
1. Сумма внутренних углов треугольника и постулат о параллельных линиях......Page 131
2. Установки Лежандра......Page 132
3. Первая основная теорема Лежандра......Page 133
4. Первая попытка Лежандра доказать постулат о параллельных линиях......Page 134
5. Вторая попытка Лежандра доказать постулат о параллельных линиях......Page 136
6. Вторая основная теорема Лежандра......Page 138
7. Доказательство Лежандра, основанное на принципе однородности......Page 141
9. Доказательство Картона......Page 143
2. Исследования Саккери......Page 145
3. Работы Ламберта......Page 148
4. Открытие неевклидовой геометрии......Page 151
2. Обзор аксиоматики абсолютной геометрии......Page 154
4. Об окружности, вписанной в треугольник и описанной около него......Page 155
5. Исходное положение Н. И. Лобачевского......Page 157
6. Уточнение исходного положения Лобачевского......Page 159
7. Сумма углов в прямолинейном многоугольнике......Page 160
1. Определение гиперболической параллели......Page 162
2. Различение параллелей......Page 164
3. Определение ориентированной параллели......Page 165
2. Смещение точки параллелизма......Page 167
3. Взаимность параллелизма......Page 168
4. Вспомогательные предложения......Page 169
6. Транзитивность параллелизма......Page 170
1. Определение угла параллельности......Page 172
2. Монотонность функции $\Pi(x)$......Page 174
3. Обращение функции $\Pi(x)$......Page 175
5. Соображения, связанные со второй основной теоремой......Page 177
6. Заметка Швейкарта......Page 178
1. Расхождение прямых......Page 179
2. Четвертая основная теорема......Page 181
4. Заградительные прямые......Page 182
5. Взаимное расположение двух параллельных прямых......Page 184
6. Взаимное расположение двух расходящихся прямых......Page 186
1. Треугольники с бесконечно удаленными вершинами......Page 187
2. Условия конгруэнтности вырожденных трегольников......Page 190
3. Окружность, вписанная в вырожденный треугольник......Page 191
2. Равнобочные четырехугольники......Page 193
3. Двупрямоугольные четырехугольники......Page 194
4. Трипрямоугольники......Page 195
5. Гиперболический параллелограм......Page 196
6. Теорема Гильберта......Page 198
1. Биссектрисы внутренних и внешних углов треугольника......Page 199
2. Серединные перпендикуляры треугольника......Page 201
3. Точка пересечения высот треугольника......Page 202
4. Те же теоремы в другой терминологии......Page 204
5. Теоремы Гельмслева и Шура......Page 205
6. Два основных построения в гиперболической плоскости......Page 208
1. Линейное задание углов......Page 210
3. Вторая пара уравнений Лобачевского......Page 211
4. Латентные уравнения прямоугольного треугольника......Page 212
6. Дополнительные отрезки......Page 213
7. Исследование более общего случая......Page 214
8. Уравнения три прямоугольника......Page 217
1. Сопоставление треугольника с трипрямоугольником......Page 219
2. Цикл Лобачевского......Page 220
3. Группа прямоугольного треугольника......Page 221
4. Две системы уравнений прямоугольного треугольника......Page 222
6. Pentagramma mirificum......Page 224
7. Построение отрезка параллельности, соответствующего данному углу, и построение дополнительного отрезка......Page 226
1. Задача конструктивных методов......Page 227
2. Решение элементарных задач без помощи постулата о непрерывности......Page 228
3. Построение прямоугольных треугольников в гиперболической плоскости......Page 230
1. Постановка вопроса......Page 232
3. Случай параллельных прямых......Page 233
4. Построение общего перпендикуляра двух расходящихся прямых......Page 234
1. Постановка задачи......Page 235
2. Вспомогательное предложение......Page 236
4. Общая параллель к сторонам угла......Page 237
5. Постулат Гильберта......Page 238
1. Определение пучка прямых в гиперболической плоскости......Page 240
2. Соответственные точки на лучах пучка......Page 241
3. Траектория пучка......Page 243
1. Кривые постоянной кривизны в гиперболической плоскости......Page 244
3. Пересечение эквидистанты прямой линией......Page 245
4. Длина дуги эквидистанты......Page 246
1. Определение предельной линии......Page 247
2. Важнейшие свойства предельной линии......Page 248
3. Элементы, определяющие предельную линию и ее части......Page 252
4. Предельная линия как окружность с бесконечно удаленным центром......Page 254
5. Параллельные предельные линии......Page 255
2. Кривые постоянной кривизны, проходящие через три данные точки......Page 257
3. Кривые постоянной кривизны, касающиеся трех прямых......Page 258
5. Измерение дуг окружности......Page 259
6. Измерение дуг эквидистанты......Page 261
8. Тангенциальное и нормальное протяжения предельной дуги......Page 262
9. Измерение предельной дуги......Page 264
10. Типы кривых постоянной кривизны......Page 266
11. Классификация смещений плоскости в самой себе......Page 268
1. Определение преобразования Либмана......Page 269
2. Преобразование прямой, расходящейся с осью......Page 270
3. Преобразование прямой, параллельной оси......Page 271
4. Преобразование прямой, пересекающей ось......Page 272
5. Геометрические построения, осуществляемые при помощи преобразования Либмана......Page 273
6. Условия взаимного пересечения двух окружностей гиперболической плоскости......Page 275
7. Взаимное расположение двух прямых, расходящихся с третьей......Page 276
1. Постоянная гиперболической плоскости......Page 279
2. Уравнение, связывающее тангенциальное и нормальное протяжения предельной дуги......Page 281
3. Соотношение, связывающее длину предельной дуги с ее высотой......Page 282
4. Определение длины дуги предельной линии......Page 283
6. Вывод двух явных (нелатентных) уравнений прямоугольного треугольника......Page 284
7. Вывод полной системы уравнений прямоугольного треугольника......Page 286
8. Аналитическое выражение соотношения, связывающего дополнительные отрезки......Page 287
9. Освобождение найденных уравнений от дополнительных отрезков......Page 288
10. Общие уравнения прямолинейного треугольника......Page 289
1. Соотношение между значениями угла, выраженными в линейной и дуговой мере......Page 291
2. Второе основное уравнение в гиперболической плоскости......Page 294
3. Вторая форма уравнений прямоугольного треугольника......Page 295
4. Третья форма уравнений прямоугольного треугольника......Page 296
6. Выражение общей теоремы косинусов прямолинейного треугольника через функцию $\Pi(x)$......Page 298
7. Обзор установленных уравнений прямолинейной тригонометрии......Page 299
2. Теорема сложения......Page 300
4. Соотношения, связывающие хорду, основание и высоту предельной дуги......Page 302
1. Соотношения, связывающие стороны трипрямоугольника с его главной диагональю......Page 303
2. Уравнения, связывающие основания трипрямоугольника с его высотами......Page 304
5. Вывод остальных уравнений трипрямоугольника......Page 305
6. Тригонометрические соотношения в равнобедренном трипрямоугольнике......Page 306
7. Соотношения в четырехугольнике Саккери......Page 307
8. Соотношения в четырехугольнике с двумя прямыми углами......Page 308
9. Специальное вычисление......Page 309
1. Длина окружности......Page 310
2. Длина дуги эквидистанты......Page 311
1. Прямоугольные треугольники, имеющие общий угол......Page 312
2. Теорема Менелая......Page 313
4. Теорема, двойственная теореме Менелая......Page 314
6. Теоремы, обратные теоремам Менелая и Чевы......Page 315
1. Постановка задачи......Page 316
2. Вспомогательные предложения......Page 317
3. Основная теорема в учении об измерении площадей......Page 319
4. Выражение площади прямоугольного треугольника через его стороны......Page 321
5. Площадь вырожденного треугольника......Page 322
6. Вывод площади треугольника, предложенный Гауссом......Page 323
7. Площадь многоугольника......Page 324
8. Теорема Шатуновского......Page 325
1. Две системы декартовых координат......Page 327
2. Полярные координаты......Page 328
4. Бельтрамиевы координаты......Page 329
5. Расстояние между двумя точками в бельтрамиевых координатах......Page 330
6. Явное выражение расстояния между двумя точками через бельтрамиевы координаты этих точек......Page 331
7. Уравнение прямой......Page 332
8. Приведение линейного уравнения прямой к нормальному виду......Page 333
9. Бельтрамиевы координаты прямой......Page 334
10. Расстояние точки от прямой......Page 335
12. Вычисление угла между двумя прямыми......Page 336
13. Разыскание общего перпендикуляра к двум прямым......Page 338
14. Взаимное расположение трех прямых на гиперболической плоскости......Page 339
15. Однородные координаты в гиперболической плоскости......Page 340
1. Уравнение окружности......Page 341
2. Уравнение предельной линии......Page 342
4. Кривые постоянной кривизны как кривые второго порядка......Page 344
2. Тригонометрические соотношения в треугольниках с весьма малыми сторонами......Page 345
4. Вспомогательные функции......Page 347
5. Дифференциальные соотношения в прямоугольном треугольнике......Page 348
6. Общие уравнения, связывающие элементы прямоугольного треугольника......Page 349
7. Первое дифференциальное уравнение, связывающее функции $f(x)$ и $g(x)$......Page 351
8. Вспомогательная формула......Page 352
9. Второе дифференциальное уравнение......Page 354
10. Разыскание функций $f(x)$ и $g(x)$......Page 355
11. Три системы тригонометрии......Page 356
2. Выражение элемента длины в декартовых координатах......Page 358
3. Другой вывод выражения метрической формы......Page 359
4. Вычисление длины кривой......Page 360
5. Выражение основной метрической формы в полярных координатах......Page 362
6. Выражение основной метрической формы в бельтрамиевых координатах......Page 363
7. Выражение элемента дуги на либмановой карте гиперболической плоскости......Page 364
8. Орициклические координаты в гиперболической плоскости......Page 365
9. Риманово выражение элемента длины в пространстве постоянной кривизны......Page 366
1. Выражение элемента площади в гиперболической плоскости......Page 368
2. Вычисление площади четырехугольника Саккери с бесконечно малыми основаниями......Page 369
3. Вычисление площади трипрямоугольника......Page 370
4. Вычисление площади, содержащейся между дугой эквидистанты и ее базисом......Page 371
5. Вычисление площади сегмента предельной линии......Page 372
6. Вычисление площади в полярных координатах......Page 373
1. Связанные отрезки......Page 375
2. Теорема Д. Д. Мордухай-Болтовского о геометрических построениях в гиперболической плоскости ($H_2$), осуществляемых циркулем и линейкой......Page 376
3. Замена тригонометрических функций угла гиперболическими функциями отрезка......Page 378
4. Построение целых гиперболических выражений......Page 379
5. Пропорциональность в гиперболической плоскости......Page 380
6. Построение рациональных многочленов с дробными коэффициентами......Page 383
7. Построение в гиперболической плоскости иррациональных выражений......Page 385
8. Обратная теорема......Page 387
2. Трисекция отрезка......Page 389
3. Деление предельной дуги на равные части......Page 390
4. Задача о делении окружности......Page 391
6. Квадратура круга в гиперболической плоскости......Page 392
7. Осуществление квадратуры круга......Page 394
8. Построение треугольника по трем углам......Page 395
9. Построения в гиперболической плоскости, осуществляемые более широким комплексом инструментов......Page 399
10. Решение циркулем и линейкой всех конструктивных задач, осуществляемых вычерчиванием кривых постоянной кривизны......Page 403
1. Стереометрические предложения абсолютной геометрии......Page 404
2. Параллельные прямые в гиперболическом пространстве......Page 406
3. Прямые в пространстве, связанные между собой......Page 407
4. Прямая, параллельная плоскости......Page 409
5. Конус параллелей......Page 410
6. Пересекающиеся плоскости в гиперболическом пространстве......Page 412
7. Параллельные плоскости......Page 413
8. Расходящиеся плоскости......Page 414
1. Связки прямых и их классификация......Page 415
2. Соответственные точки на прямых связки......Page 416
4. Поверхности уровня связки......Page 418
6. Сферы и эквидистантные поверхности......Page 419
7. Предельная поверхность......Page 422
1. Поверхности, допускающие свободное движение в себе......Page 424
2. Установление всех поверхностей гиперболического пространства, допускающих свободное движение в себе......Page 425
3. Внутренняя геометрия поверхности......Page 426
5. Внутренняя геометрия эквидистантной поверхности в гиперболическом пространстве. Постулаты абсолютной геометрии......Page 428
8. Геодезические линии эквидистантной поверхности......Page 431
9. Гиперболическая постоянная эквидистантной поверхности......Page 433
1. Евклидова геометрия на предельной поверхности......Page 434
2. Сумма углов геодезического треугольника на предельной поверхности......Page 436
3. Гиперболическая постоянная пространства......Page 437
1. Теорема Эйлера......Page 439
3. Правильные многогранники, вписанные в предельную поверхность......Page 440
4. Правильные многогранники, вписанные в эквидистантную поверхность......Page 441
1. Основные метрические соотношения в гиперболическом пространстве......Page 442
2. Вывод первой пары уравнений прямоугольного прямолинейного треугольника......Page 443
3. Вывод второй пары уравнений, связывающих стороны и углы прямоугольного треугольника......Page 444
4. Тригонометрические уравнения прямоугольного сферического треугольника......Page 446
1. Координация точки в гиперболическом пространстве......Page 447
2. Расстояние между двумя точками......Page 448
3. Уравнение плоскости......Page 450
1. Выражение элемента длины в гиперболическом пространстве......Page 451
2. Длина кривой, расположенной на поверхности вращения......Page 453
3. Винтовая линия......Page 454
4. Вычисление площадей фигур, расположенных на кривых поверхностях......Page 455
5. Применение найденного выражения к некоторым простейшим поверхностям......Page 457
6. Элемент площади поверхности вращения......Page 459
7. Интеграл, выражающий поверхность сферы в угловых координатах......Page 460
8. Приведение двойного интеграла (29) к одной квадратуре......Page 462
10. Выражение элемента объема в гиперболическом пространстве......Page 463
11. Вычисление объема тела вращения......Page 464
12. Вычисление объема прямого кругового конуса......Page 465
13. Вычисление объема пирамиды......Page 467
2. Работы Гаусса......Page 468
3. Работы Швейкарта и Тауринуса......Page 470
4. «Аппендикс» Иоанна Больаи......Page 472
5. Нерешенная проблема......Page 475
Литература......Page 476
Именной указатель......Page 481
Предметный указатель......Page 484