Analysis 1

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Inhaltsverzeichnis
1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
1.1 Vollständige Induktion
1.2 Fakultät und Binomialkoeffizienten
1.3 Aufgaben
2 Reelle Zahlen
2.1 Die Körperstruktur von IR
2.2 Die Anordnung von IR
2.3 Die Vollständigkeit von IR
2.4 IR ist nicht abzählbar
2.5 Aufgaben
3 Komplexe Zahlen
3.1 Der Körper der komplexen Zahlen
3.2 Die komplexe Zahlenebene
3.3 Algebraische Gleichungen
3.4 Die Unmöglichkeit einer Anordnung der komplexen Zahlen
3.5 Aufgaben
4 Funktionen
4.1 Grundbegriffe
4.2 Polynome
4.3 Rationale Funktionen
4.4 Aufgaben
5 Folgen
5.1 Konvergenz von Folgen
5.2 Rechenregeln
5.3 Monotone Folgen
5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln
5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß
5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy.
Nochmals die Vollständigkeit von IR
5.7 Uneigentliche Konvergenz
5.8 Aufgaben
6 Reihen
6.1 Konvergenz von Reihen
6.2 Konvergenzkriterien
6.3 Summierbare Familien
6.4 Potenzreihen
6.5 Aufgaben
7 Stetige Funktionen. Grenzwerte
7.1 Stetigkeit
7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen
7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal
konvergente Reihen
7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen.
Der Zwischenwertsatz
7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen.
Der Satz vom Maximum und Minimum
7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen
7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte
7.9 Aufgaben
8 Die Exponentialfunktion
und die trigonometrischen Funktionen
8.1 Definition der Exponentialfunktion
8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente
8.3 Der natürliche Logarithmus
8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen.
Allgemeine Potenzen
8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe
8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen
8.7 Nullstellen und Periodizität
8.8 Die Arcus-Funktionen
8.9 Polarkoordinaten komplexer Zahlen
8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des
komplexen Logarithmus und des Arcustangens
8.11 Die Zahl Pi
8.12 Die hyperbolischen Funktionen
8.13 Aufgaben
9 Differentialrechnung
9.1 Die Ableitung einer Funktion
9.2 Ableitungsregeln
9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz
9.4 Beispiele und Anwendungen
9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen
9.6 Ableitungen höherer Ordnung
9.7 Konvexität
9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen
9.9 Fast überall differenzierbare Funktionen.
Verallgemeinerter Schrankensatz
9.10 Der Begriff der Stammfunktion
9.11 Eine auf ganz IR. stetige,
aber nirgends differenzierbare Funktion
9.12 Aufgaben
10 Lineare Differentialgleichungen
10.1 Eindeutigkeitssatz und Dimensionsabschätzung
10.2 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung
10.3 Partikuläre Lösungen bei speziellen Inhomogenitäten
10.4 Anwendung auf Schwingungsprobleme
10.5 Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten
10.6 Erweiterung des Lösungsbegriffes
10.7 Aufgaben
11 Integralrechnung
11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration
11.2 Regelfunktionen
11.3 Integration der Regelfunktionen über kompakte
Intervalle
11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Stammfunktionen zu Regelfunktionen
11.5 Erste Anwendungen
11.6 Integration elementarer Funktionen
11.7 Integration normal konvergenter Reihen
11.8 Riemannsche Summen
11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle
11.10 Die Eulersche Summationsformel
11.11 Aufgaben
12 Geometrie differenzierbarer Kurven
12.1 Parametrisierte Kurven. Grundbegriffe
12.2 Die Bogenlänge
12.3 Parameterwechsel
12.4 Krümmung ebener Kurven
12.5 Die Sektorfläche ebener Kurven
12.6 Kurven in Polarkoordinaten
12.7 Liftung und Windungzahlen
12.8 Noch ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
12.9 Geometrie der Planetenbewegung.
Die drei Keplerschen Gesetze
12.10 Aufgaben
13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen
13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische
Gleichungen
13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen
13.3 Nicht-lineare Schwingungen.
13.4 Aufgaben
14 Lokale Approximation von Funktionen.
Taylorpolynome und Taylorreihen
14.1 Approximation durch Taylorpolynome
14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen
14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe.
Bernoulli-Polynome
14.4 Das Newton-Verfahren
14.5 Aufgaben
15 Globale Approximation von Funktionen.
Gleichmäßige Konvergenz
15.1 Gleichmäßige Konvergenz
15.2 Vertauschungssätze
15.3 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz
15.4 Anwendung: die Eu1erschen Formeln für die Zeta-Funktion
15.5 Approximation durch Faltung mit Dirac-Folgen
15.6 Lokal gleichmäßige Konvergenz.
Der Überdeckungssatz von Heine-Borel
15.7 Der Approximationssatz von Stone
15.8 Aufgaben
16 Approximation periodischer Funktionen.
Fourierreihen
16.1 Der Approximationssatz von Fejer
16.2 Definition der Fourierreihen. Erste Beispiele und
Anwendungen
16.3 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet
16.4 Ein Beispiel von Fejer
16.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen
16.6 Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer
Funktionen
16.7 Konvergenz im quadratischen Mittel.
Die Parsevalsehe Gleichung
16.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem
16.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion
16.10 Die Poissonsche Summenformel
16.11 Aufgaben
17 Die Gammafunktion
17.1 Die Gammafunktion nach Gauß
17.2 Der Eindeutigkeitssatz der Gammafunktion von Bohr
und Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung
17.3 Die Stirlingsche Formel
17.4 Aufgaben
Biographische Notiz zu Euler
Lösungen zu den Aufgaben
Literatur
Bezeichnungen
Namen- und Sachverzeichnis