Лекции по теории чисел

Настоящее учебное пособие представляет собой переработанный конспект лекций по курсу «Теория чисел» для студентов третьего курса механико-математического факультета Уральского государственного университета. Большинство разделов снабжено задачами для самостоятельного решения. Содержание: 1. Основные понятия и теоремы. Деление с остатком. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Алгоритм Евклида. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Простые числа и «основная» теорема арифметики. 2. Цепные дроби. Разложение чисел в цепные дроби. Вычисление подходящих дробей. Свойства подходящих дробей. Континуанты. Анализ алгоритма Евклида. Еще кое-что о цепных дробях (приближение чисел, периодичность, теорема Эрмита). 3. Важнейшие функции в теории чисел. Целая и дробная часть. Мультипликативные функции. Примеры мультипликативных функций. Дзета(ζ)-функция Римана. 4. Теория сравнений. Определения и простейшие свойства. Полная и приведенная системы вычетов. Теорема Эйлера и теорема Ферма. Сравнения первой степени. Сравнения любой степени по простому модулю. Сравнения любой степени по составному модулю. Сравнения второй степени. Символ Лежандра. Дальнейшие свойства символа Лежандра. Закон взаимности Гаусса. 5. Трансцендентные числа. Мера и категория на прямой. Числа Лиувилля. Число e≈2,718281828459045. Число пи(π)≈3,141592653589793. Трансцендентность значений функции e^z. 6. Пункт-дополнение ко второму изданию: Немного о распределении простых чисел. 7. Значения различных констант, о которых шла речь в этой книжке, приводимые для удовлетворения чисто человеческого любопытства и проверки правильности решения некоторых встретившихся выше задач (сорок верных десятичных знаков). 8. Список литературы.