Grundlæggende mål- og integralteori

Prolog......Page 15
1.1 Målelige mængder – begrebet sigma-algebra......Page 19
1.2 Borel-algebraen i Rd......Page 25
1.3 Mål og deres grundlæggende egenskaber......Page 31
Opgaver......Page 36
2.1 delta-systemer og Dynkins Lemma......Page 43
2.2 Entydighedsresultater for mål......Page 46
2.3 Regularitet af Borel-mål......Page 50
Opgaver......Page 54
3.1 Problemstillingen......Page 57
3.2 Det ydre mål......Page 58
3.3 Carathéodorys Lemma......Page 61
3.4 Hvornår løser det ydre mål problemstillingen?......Page 65
3.5 Lebesgue-Stieltjes-mål på R......Page 69
Opgaver......Page 76
4.1 Målelige afbildninger......Page 77
4.2 Målelige funktioner med værdier i R......Page 83
4.3 Målelighed ved grænseovergang......Page 85
4.4 Målelighed i delrum......Page 91
4.5 Simple funktioner......Page 96
Opgaver......Page 100
5 Lebesgue-integralet......Page 107
5.1 Integralet af positive simple funktioner......Page 110
5.2 Integration af positive målelige funktioner......Page 113
5.3 Nulmængder og µ-næsten overalt......Page 122
5.4 Integration af reelle funktioner......Page 125
5.5 Konvergenssætninger for integralet......Page 133
5.6 Integration over delmængde......Page 138
5.7 Lebesgue-integralet vs. Riemann-integralet......Page 141
Opgaver......Page 146
6.1 Produktrummet af to målelige rum......Page 155
6.2 Produktrum af flere end to målelige rum......Page 159
6.3 Eksistens og entydighed af produktmål......Page 163
6.4 Integration med hensyn til produktmål – Tonellis og Fubinis Sætninger......Page 172
Opgaver......Page 181
7.1 Konvekse funktioner og Jensens ulighed......Page 185
7.2 Young, Hölder, Markov og Borel-Cantelli......Page 192
7.3 Lp-rummene og semi-normerne norm-p......Page 195
7.4 Konvergens i µ-p-middel......Page 204
7.5 Rummene Lp\(µ\)......Page 210
7.6 Approksimation med kontinuerte funktioner......Page 213
Opgaver......Page 216
8.1 Målelighed af komplekse funktioner......Page 221
8.2 Integration af komplekse funktioner......Page 223
8.3 Lp-rum af komplekse funktioner......Page 230
Opgaver......Page 233
9.1 Indre produkter......Page 235
9.2 Ortogonalitet......Page 244
9.3 Projektionssætningen......Page 247
9.4 Ortonormalsystemer og ortonormalbaser......Page 251
9.5 Lineære funktionaler på et Hilbert-rum......Page 261
Opgaver......Page 264
10.1 Mål med tæthed......Page 275
10.2 Entydighed af tæthed......Page 279
10.3 Absolut kontinuitet og singularitet......Page 283
10.4 Lebesgue-dekompositionen og Radon-Nikodyms Sætning......Page 285
Opgaver......Page 290
11.1 Transformation af mål......Page 295
11.2 Translationsinvariante mål i Rd......Page 299
11.3 Affine, bijektive transformationer af Lebesgue-målet......Page 302
11.4 Transformation af Lebesgue-målet med injektive C1-afbildninger......Page 310
11.5 Bevis for Transformationssætningen......Page 315
Opgaver......Page 325
12.1 Definition og grundlæggende egenskaber......Page 331
12.2 Foldning......Page 336
12.3 Riemann-Lebesgues Lemma......Page 341
12.4 Inversionssætningen......Page 342
12.5 Fourier-transformationen på L2C\(lambda\)......Page 347
Opgaver......Page 351
13 Grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori......Page 355
13.1 Sandsynlighedsfelter, stokastiske variable og fordelinger......Page 356
13.2 Diskrete stokastiske variable og vektorer......Page 360
13.3 Absolut kontinuerte stokastiske variable og vektorer......Page 368
13.4 Momenter, kovarians og korrelation......Page 373
13.5 Uafhængige stokastiske variable......Page 377
13.6 Store tals lov og frekvensfortolkningen af sandsynligheder......Page 385
13.7 Kolmogorovs 0-1-lov og Borel-Cantellis andet Lemma......Page 388
Opgaver......Page 392
A.1 Elementær mængdelære......Page 399
A.2 Tællelige mængder......Page 404
A.3 Udvalgsaksiomet og Zorns Lemma......Page 412
A.4 Den udvidede reelle tallinje overline-R......Page 414
A.5 Infimum, supremum, limes inferior og limes superior......Page 416
A.6 Generelle partitions sigma-algebraer og kardinalitet af sigma-algebraer......Page 424
A.7 Borel-målelighed i generelle metriske rum......Page 428
A.8 Vitalis Sætning......Page 433
Litteratur......Page 435
Indeks......Page 437