Calculus - Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades

PRÓLOGO ÍNDICE ANALÍTICO 1-7 Parte 1. Análisis lineal ····1. ESPACIOS LINEALES ········1.1 Introducción ········1.2 Definición de espacio lineal ········1.3 Ejemplos de espacios lineales ········1.4 Consecuencias elementales de los axiomas ········1.5 Ejercicios ········1.6 Subespacios de un espacio lineal ········1.7 Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal ········1.8 Bases y dimensión ········1.9 Componentes ········1.10 Ejercicios ········1.11 Productos interiores, espacios euclídeos. Normas ········1.12 Ortogonalidad en un espacio euclídeo ········1.13 Ejercicios ········1.14 Construcción de conjuntos ortogonales. Método de Gram-Schmidt ········1.15 Complementos ortogonales. Proyecciones ········1.16 Aproximación óptima de elementos de un espacio euclídeo por elementos de un subespacio de dimensión finita ········1.17 Ejercicios ····2. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES ········2.1 Transformaciones lineales ········2.2 Núcleo y recorrido ········2.3 Dimensión del núcleo y rango de la transformación ········2.4 Ejercicios ········2.5 Operaciones algebraicas con transformaciones lineales ········2.6 Inversas ········2.7 Transformaciones lineales uno a uno ········2.8 Ejercicios ········2.9 Transformaciones lineales con valores asignados ········2.10 Representación matricial de las transformaciones lineales ········2.11 Construcción de una representación matricial en forma diagonal ········2.12 Ejercicios ········2.13 Espacios lineales de matrices ········2.14 Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices ········2.15 Multiplicación de matrices ········2.16 Ejercicios ········2.17 Sistemas de ecuaciones lineales ········2.18 Técnicas de cálculo ········2.19 Inversas de matrices cuadradas ········2.20 Ejercicios ········2.21 Ejercicios varios sobre matrices ····3. DETERMINANTES ········3.1 Introducción ········3.2 Justificación de la elección de los axiomas para una función determinante ········3.3 Conjunto de axiomas que definen una función determinante ········3.4 Cálculo de determinantes ········3.5 El teorema de unicidad ········3.6 Ejercicios ········3.7 Producto de determinantes ········3.8 Determinante de la matriz inversa de una matriz no singular ········3.9 Determinantes e independencia de vectores ········3.10 Determinante de una matriz diagonal en bloques ········3.11 Ejercicios ········3.12 Fórmulas para desarrollar determinantes. Menores y cofactores ········3.13 Existencia de la función determinante ········3.14 Determinante de una matriz transpuesta ········3.15 La matriz cofactor ········3.16 Regla de Cramer ········3.17 Ejercicios ····4. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES ········4.1 Transformaciones lineales representadas mediante matrices diagonales ········4.2 Autovectores y autovalores de una transformación lineal ········4.3 Independencia lineal de autovectores correspondientes a autovalores distintos ········4.4 Ejercicios ········4.5 Caso de dimensión finita. Polinomios característicos ········4.6 Cálculo de autovalores y autovectores en el caso de dimensión finita ········4.7 Traza de una matriz ········4.8 Ejercicios ········4.9 Matrices que representan la misma transformación lineal. Matrices lineales ········4.10 Ejercicios ····5. AUTOVALORES DE OPERADORES EN ESPACIOS EUCLÍDEOS ········5.1 Autovalores y productos interiores o escalares ········5.2 Transformaciones hermitianas y hemi-hermitianas ········5.3 Autovalores y autovectores de los operadores hermitianos y hemi-hermitianos ········5.4 Ortogonalidad de los autovectores correspondientes a autovalores distintos ········5.5 Ejercicios ········5.6 Existencia de un conjunto ortonormal de autovectores para operadores hermitianos y hemi-hermitianos que actúan en espacios de dimensión finita ········5.7 Representación matricial para operadores hermitianos y hemi-hermitianos ········5.8 Matrices hermitianas y hemi-hermitianas. Matriz adjunta de una matriz ········5.9 Diagonalización de una matriz hermitiana o hemi-hermitiana ········5.10 Matrices unitarias. Matrices ortogonales ········5.11 Ejercicios ········5.12 Formas cuadráticas ········5.13 Reducción de una forma cuadrática real a forma diagonal ········5.14 Aplicaciones a la Geometría Analítica ········5.15 Ejercicios ········*5.16 Autovalores de una transformación simétrica obtenidos como valores de su forma cuadrática ········*5.17 Propiedades relativas a extremos de los autovalores de una transformación simétrica ········*5.18 Caso de dimensión finita ········5.19 Transformaciones unitarias ········5.20 Ejercicios ····6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES ········6.1 Introducción histórica ········6.2 Revisión de los resultados relativos a las ecuaciones de primer y segundo orden ········6.3 Ejercicios ········6.4 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n ········6.5 Teorema de existencia y unicidad ········6.6 Dimensión del espacio solución de una ecuación lineal homogénea ········6.7 Álgebra de operadores de coeficientes constantes ········6.8 Determinación de una base de soluciones para ecuaciones lineales con coeficientes constantes por factorización de operadores ········6.9 Ejercicios ········6.10 Relación entre las ecuaciones homogéneas y no homogéneas ········6.11 Determinación de una solución particular de la ecuación no homogénea. Método de variación de constantes ········6.12 No singularidad de la matriz wronskiana de n soluciones independientes de una ecuación lineal homogénea ········6.13 Métodos especiales para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea. Reducción a un sistema de ecuaciones lineales de primer orden ········6.14 Método del anulador para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea ········6.15 Ejercicios ········6.16 Ejercicios varios sobre ecuaciones diferenciales lineales ········6.17 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes analíticos ········6.18 La ecuación de Legendre ········6.19 Polinomios de Legendre ········6.20 Fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre ········6.21 Ejercicios ········6.22 Método de Frobenius ········6.23 Ecuación de Bessel ········6.24 Ejercicios ····7. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ········7.1 Introducción ········7.2 Cálculo con funciones matriciales ········7.3 Series de matrices. Normas de matrices ········7.4 Ejercicios ········7.5 Exponencial de una matriz ········7.6 Ecuación diferencial que se satisface por eᵗᴬ ········7.7 Teorema de unicidad para la ecuación diferencial matricial F′(t) = AF(t) ········7.8 Ley de exponentes para exponenciales de matrices ········7.9 Teoremas de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes ········7.10 El problema de calcular eᵗᴬ ········7.11 Teorema de Cayley-Hamilton ········7.12 Ejercicios ········7.13 Método de Putzer para calcular eᵗᴬ ········7.14 Otros métodos para calcular eᵗᴬ en casos especiales ········7.15 Ejercicios ········7.16 Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes ········7.17 Ejercicios ········7.18 Sistema lineal general Y′(t) = P(t)Y(t) + Q(t) ········7.19 Resolución de sistemas lineales homogéneos mediante series de potencias ········7.20 Ejercicios ········7.21 Demostración del teorema de existencia por el método de las aproximaciones sucesivas ········7.22 Aplicación del método de aproximaciones sucesivas a los sistemas no lineales de primer orden ········7.23 Demostración de un teorema de existencia y unicidad para sistemas no lineales de primer orden ········7.24 Ejercicios ········*7.25 Aproximaciones sucesivas y puntos fijos de operadores ········*7.26 Espacios lineales normados ········*7.27 Operadores de contracción ········*7.28 Teorema del punto fijo para operadores de contracción ········*7.29 Aplicaciones del teorema del punto fijo 8-12 Parte 2. Análisis no lineal ····8. CALCULO DIFERENCIAL EN CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES ········8.1 Funciones de ℝⁿ en ℝᵐ. Campos escalares y vectoriales ········8.2 Bolas abiertas y conjuntos abiertos ········8.3 Ejercicios ········8.4 Límites y continuidad ········8.5 Ejercicios ········8.6 La derivada de un campo escalar respecto a un vector ········8.7 Derivadas direccionales y derivadas parciales ········8.8 Derivadas parciales de orden superior ········8.9 Ejercicios ········8.10 Derivadas direccionales y continuidad ········8.11 La diferencial ········8.12 Gradiente de un campo escalar ········8.13 Condición suficiente de diferenciabilidad ········8.14 Ejercicios ········8.15 Regla de la cadena para derivadas de campos escalares ········8.16 Aplicaciones geométricas. Conjuntos de nivel. Planos tangentes ········8.17 Ejercicios ········8.18 Diferenciales de campos vectoriales ········8.19 La diferenciabilidad implica la continuidad ········8.20 La regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales ········8.21 Forma matricial de la regla de la cadena ········8.22 Ejercicios ········*8.23 Condiciones suficientes para la igualdad de las derivadas parciales mixtas ········8.24 Ejercicios varios ····9. APLICACIONES DE CÁLCULO DIFERENCIAL ········9.1 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales ········9.2 Ecuación en derivadas parciales de primer orden con coeficientes constantes ········9.3 Ejercicios ········9.4 La ecuación de ondas uni-dimensional ········9.5 Ejercicios ········9.6 Derivación de funciones definidas implícitamente ········9.7 Ejemplos resueltos ········9.8 Ejercicios ········9.9 Máximos, mínimos y puntos de ensilladura ········9.10 Fórmula de Taylor de segundo orden para campos escalares ········9.11 Determinación de la naturaleza de un punto estacionario por medio de los autovalores de la matriz hessiana ········9.12 Criterio de las derivadas segundas para determinar extremos de funciones de dos variables ········9.13 Ejercicios ········9.14 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange ········9.15 Ejercicios ········9.16 Teorema del valor extremo para campos escalares continuos ········9.17 Teorema de la continuidad uniforme para campos escalares continuos ····10. INTEGRALES DE LíNEA ········10.1 Introducción ········10.2 Caminos e integrales de línea ········10.3 Otras notaciones para las integrales de línea ········10.4 Propiedades fundamentales de las integrales de línea ········10.5 Ejercicios ········10.6 El concepto de trabajo como integral de línea ········10.7 Integrales de línea con respecto a la longitud de arco ········10.8 Otras aplicaciones de las integrales de línea ········10.9 Ejercicios ········10.10 Conjuntos conexos abiertos. Independientes del camino ········10.11 Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de línea ········10.12 Aplicaciones a la Mecánica ········10.13 Ejercicios ········10.14 El primer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea ········10.15 Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial sea un gradiente ········10.16 Condiciones necesarias para que un campo vectorial sea un gradiente ········10.17 Métodos especiales para construir funciones potenciales ········10.18 Ejercicios ········10.19 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales exactas de primer orden ········10.20 Ejercicios ········10.21 Funciones de potencial en conjuntos convexos ····11. INTEGRALES MÚLTIPLES ········11.1 Introducción ········11.2 Particiones de rectángulos. Funciones escalonadas ········11.3 Integral doble de una función escalonada ········11.4 Definición de integral doble de una función definida y acotada en un rectángulo ········11.5 Integrales dobles superior e inferior ········11.6 Cálculo de una integral doble por integración uni-dimensional reiterada ········11.7 Interpretación geométrica de la integral doble como un volumen ········11.8 Ejemplos resueltos ········11.9 Ejercicios ········11.10 Integrabilidad de funciones continuas ········11.11 Integrabilidad de funciones acotadas con discontinuidades ········11.12 Integrales dobles extendidas a regiones más generales ········11.13 Aplicaciones a áreas y volúmenes ········11.14 Ejemplos resueltos ········11.15 Ejercicios ········11.16 Otras aplicaciones de las integrales dobles ········11.17 Dos teoremas de Pappus ········11.18 Ejercicios ········11.19 Teorema de Green en el plano ········11.20 Algunas aplicaciones del teorema de Green ········11.21 Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial bi-dimensional sea un gradiente ········11.22 Ejercicios ········*11.23 Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas ········*11.24 El número de giros ········*11.25 Ejercicios ········11.26 Cambio de variables en una integral doble ········11.27 Casos particulares de la fórmula de transformación ········11.28 Ejercicios ········11.29 Demostración de la fórmula de transformación en un caso particular ········11.30 Demostración de la fórmula de transformación en el caso general ········11.31 Extensiones a un número mayor de dimensiones ········11.32 Cambio de variables en una integral n-múltiple ········11.33 Ejemplos resueltos ········11.34 Ejercicios ····12. INTEGRALES DE SUPERFICIE ········12.1 Representación paramétrica de una superficie ········12.2 Producto vectorial fundamental ········12.3 El producto vectorial fundamental, considerado como una normal a la superficie ········12.4 Ejercicios ········12.5 Área de una superficie paramétrica ········12.6 Ejercicios ········12.7 Integrales de superficie ········12.8 Cambio de representación paramétrica ········12.9 Otras notaciones para las integrales de superficie ········12.10 Ejercicios ········12.11 Teorema de Stokes ········12.12 El rotacional y la divergencia de un campo vectorial ········12.13 Ejercicios ········12.14 Otras propiedades del rotacional y de la divergencia ········12.15 Ejercicios ········*12.16 Reconstrucción de un campo vectorial a partir de su rotacional ········*12.17 Ejercicios ········12.18 Extensiones del teorema de Stokes ········12.19 Teorema de la divergencia (teorema de Gauss) ········12.20 Aplicaciones del teorema de la divergencia ········12.21 Ejercicios 13-15 Parte 3. Temas especiales ····13. FUNCIONES DE CONJUNTO Y PROBABILIDAD ELEMENTAL ········13.1 Introducción histórica ········13.2 Funciones de conjunto con aditividad finita ········13.3 Medidas con aditividad finita ········13.4 Ejercicios ········13.5 Definición de probabilidad para espacios muestrales finitos ········13.6 Terminología propia del cálculo de probabilidades ········13.7 Ejercicios ········13.8 Ejemplos resueltos ········13.9 Ejercicios ········13.10 Algunos principios básicos de análisis combinatorio ········13.11 Ejercicios ········13.12 Probabilidades condicionadas ········13.13 Independencia ········13.14 Ejercicios ········13.15 Experimentos o pruebas compuestas ········13.16 Pruebas de Bernoulli ········13.17 Número más probable de éxitos en n pruebas de Bernoulli ········13.18 Ejercicios ········13.19 Conjuntos numerables y no numerables ········13.20 Ejercicios ········13.21 Definición de probabilidad para espacios muestrales infinitos numerables ········13.22 Ejercicios ········13.23 Ejercicios variados sobre probabilidades ····14. CÁLCULO DE PROBABILIDADES ········14.1 Definición de probabilidad para espacios muestrales no numerables ········14.2 Numerabilidad del conjunto de puntos con probabilidad positiva ········14.3 Variables aleatorias ········14.4 Ejercicios ········14.5 Funciones de distribución ········14.6 Discontinuidad de las funciones de distribución ········14.7 Distribuciones discretas. Funciones de masa de probabilidad ········14.8 Ejercicios ········14.9 Distribuciones continuas. Funciones de densidad ········14.10 Distribución uniforme sobre un intervalo ········14.11 Distribución de Cauchy ········14.12 Ejercicios ········14.13 Distribuciones exponenciales ········14.14 Distribuciones normales ········14.15 Observaciones sobre distribuciones más generales ········14.16 Ejercicios ········14.17 Distribuciones de funciones de variables aleatorias ········14.18 Ejercicios ········14.19 Distribución de variables aleatorias bidimensionales ········14.20 Distribuciones discretas bidimensionales ········14.21 Distribuciones continuas bidimensionales. Funciones de densidad ········14.22 Ejercicios ········14.23 Distribuciones de funciones de dos variables aleatorias ········14.24 Ejercicios ········14.25 Esperanza y varianza ········14.26 Esperanza de una función de una variable aleatoria ········14.27 Ejercicios ········14.28 Desigualdad de Chebyshev ········14.29 Leyes de los grandes números ········14.30 El teorema central del límite ········14.31 Ejercicios ········Referencias citadas ····15. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS NUMÉRICO ········15.1 Introducción histórica ········15.2 Aproximaciones por polinomios ········15.3 Aproximaciones polinómicas y espacios lineales normados ········15.4 Problemas fundamentales en la aproximación por polinomios ········15.5 Ejercicios ········15.6 Polinomios de interpolación ········15.7 Puntos de interpolación igualmente separados ········15.8 Análisis del error de la interpolación por polinomios ········15.9 Ejercicios ········15.10 Fórmula de interpolación de Newton ········15.11 Puntos de interpolación igualmente separados. El operador de las diferencias sucesivas ········15.12 Polinomios factoriales ········15.13 Ejercicios ········15.14 Problema de mínimo relativo a la norma del máximo ········15.15 Polinomios de Chebyshev ········15.16 Propiedad de mínimo de los polinomios de Chebyshev ········15.17 Aplicación a la fórmula del error en la interpolación ········15.18 Ejercicios ········15.19 Integración aproximada. Regla de los trapecios ········15.20 Regla de Simpson ········15.21 Ejercicios ········15.22 Fórmula de sumación de Euler ········15.23 Ejercicios ········Referencias citadas Soluciones a los ejercicios Índice