Analyse mathematique II: Calculus differentiel et integral, series de Fourier, fonctions holomorphes

Errata......Page 2
Table des matières du volume II......Page 8
1 - Intégrales supérieure et inférieure d'une fonction bornée......Page 12
2 - Propriétés élémentaires des intégrales......Page 16
3 - Sommes de Riemann. La notation intégrale......Page 24
4 - Limites uniformes de fonctions intégrables......Page 26
5 - Applications aux séries de Fourier et aux séries entières......Page 30
6 - Le théorème de Borel-Lebesgue......Page 36
7 - Intégrabilité des fonctions réglées ou continues......Page 39
8 - La continuité uniforme et ses conséquences......Page 42
9 - Dérivation et intégration sous le signe de l'intégrale......Page 46
10 - Fonctions semi-continues......Page 51
11 - Intégration des fonctions semi-continues......Page 59
12 - Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral......Page 63
13 - Extension du théorème fondamental aux fonctions réglées......Page 71
14 - Fonctions convexes; inégalités de Holder et Minkowski......Page 77
15 - Intégration par parties......Page 85
16 - La série de Fourier des signaux carrés......Page 88
17 - La formule de Wallis......Page 91
18 - La formule de Taylor......Page 94
19 - Changement de variable dans une intégrale......Page 103
20 - Intégration des fractions rationnelles......Page 107
21 - Intégrales convergentes : exemples et définitions......Page 114
22 - Intégrales absolument convergentes......Page 116
23 - Passage à la limite sous le signe de l'intégrale......Page 121
24 - Séries et intégrales......Page 127
25 - Dérivation sous le signe de l'intégrale......Page 130
26 - Intégration sous le signe de l'intégrale......Page 136
27 - Comment rendre C°° une fonction qui ne l'est pas......Page 141
28 - Approximation par des polynômes......Page 147
29 - Fonctions ayant des dérivées données en un point......Page 150
30 - Mesures de Radon sur un compact......Page 154
31 - Mesures sur un ensemble localement compact......Page 164
32 - La construction de Stieltjes......Page 171
33 - Application aux intégrales doubles......Page 179
34 - Définition et exemples......Page 182
35 - Dérivées d'une distribution......Page 187
1 - Relations de comparaison......Page 192
2 - Règles de calcul......Page 194
3 - Développements limités......Page 195
4 - Développement limité d'un quotient......Page 197
5 - Le critère de convergence de Gauss......Page 199
6 - La série hypergéométrique......Page 201
7 - Etude asymptotique de l'équation xe^x=t......Page 203
8 - Asymptotique des racines de sin x.log x=1......Page 205
9 - L'équation de Kepler......Page 207
10 - Asymptotique des fonctions de Bessel......Page 210
11 - Cavalieri et les sommes 1^k + 2^k + ... + n^k......Page 222
12 - Jakob Bernoulli......Page 224
13 - La série entière de cot z......Page 229
14 - Euler et la série entière de arctan x......Page 232
15 - Euler, Maclaurin et leur formule sommatoire......Page 236
16 - La formule d'Euler-Maclaurin avec reste......Page 237
17 - Calcul d'une intégrale par la méthode des trapèzes......Page 239
18 - La somme 1 + 1/2 + ... + 1/n, le produit infini de la fonction gamma et la formule de Stirling......Page 240
19 - Prolongement analytique de la fonction zêta......Page 245
1 - La formule intégrale de Cauchy pour un cercle......Page 248
2 - Fonctions et mesures sur le cercle unité......Page 252
3 - Coefficients de Fourier......Page 259
4 - Produit de convolution dans T......Page 263
5 - Suites de Dirac dans T......Page 268
6 - Séries de Fourier absolument convergentes......Page 272
7 - Calculs hilbertiens......Page 273
8 - L'égalité de Parseval-Bessel......Page 275
9 - Séries de Fourier des fonctions dérivables......Page 282
10 - Distributions sur T......Page 285
11 - Le théorème de Dirichlet......Page 293
12 - Le théorème de Fejér......Page 299
13 - Séries de Fourier uniformément convergentes......Page 301
§4. Fonctions analytiques et holomorphes......Page 305
14 - Analyticité des fonctions holomorphes......Page 306
15 - Le principe du maximum......Page 308
16 - Fonctions analytiques dans une couronne. Points singuliers Fonctions méromorphes......Page 311
17 - Fonctions holomorphes périodiques......Page 317
18 - Les théorèmes de Liouville et de d'Alembert-Gauss......Page 319
19 - Limites de fonctions holomorphes......Page 328
20 - Produits infinis de fonctions holomorphes......Page 331
21 - Fonctions analytiques définies par une intégrale de Cauchy......Page 339
22 - La fonction de Poisson......Page 341
23 - Applications aux séries de Fourier......Page 343
24 - Fonctions harmoniques......Page 346
25 - Limites de fonctions harmoniques......Page 350
26 - Le problème de Dirichlet pour un disque......Page 353
27 - La formule sommatoire de Poisson......Page 356
28 - La fonction thêta de Jacobi......Page 361
29 - Formules fondamentales de la transformation de Fourier......Page 365
30 - Extensions de la formule d'inversion......Page 368
31 - Transformation de Fourier et dérivation......Page 373
32 - Distributions tempérées......Page 378
Postface. Science, technologie, armement......Page 388
Index......Page 478
Table des matières du volume I......Page 482