Книга является введением в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных уравнений и посвящена анализу нелинейных математических моделей и динамических систем на предмет их точного решения (интегрируемости). Предложены выводы нелинейных математических моделей, интенсивно изучаемых в последнее время. Представлены алгоритмы анализа особых точек решений дифференциальных уравнений. Обсуждаются свойства точно решаемых нелинейных уравнений. Дано обобщение аналитической теории на случай нелинейных уравнений в частных производных. Представлены методы нахождения аналитических решений нелинейных уравнений. Применение методов проиллюстрировано многочисленными примерами. Предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников, интересующихся нелинейными математическими моделями, теорией солитонов, методами построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, теорией уравнений Пенлеве и их высших аналогов.
Author(s): Н. А. Кудряшов
Publisher: Институт компьютерных исследований
Year: 2004
Language: Russian
Pages: 361
Tags: Математика;Дифференциальные уравнения;
Обложка......Page 1
Титульный лист......Page 4
Оглавление......Page 6
Предисловие......Page 10
1.1 Уравнение Кортевега - де Вриза для описания волн на воде......Page 14
1.2 Простейшие решения уравнения Кортевега - де Вриза......Page 24
1.3 Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс......Page 27
1.4 Простейшие решения модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза......Page 33
1.5 Фазовая и групповая скорости волн......Page 36
1.6 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей волнового пакета......Page 40
1.7 Уединенные волны, описываемые нелинейным уравнением Шредингера и групповой солитон......Page 43
1.8 Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в твердом теле......Page 45
1.9 Простейшие решения уравнения sin-Гордона и топологический солитон......Page 49
1.10 Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса......Page 52
1.11 Модель Хенона - Хейлеса......Page 58
1.12 Система Лоренца......Page 61
1.13 Задачи и упражнения к главе 1......Page 69
2.1 Классификация особых точек функций комплексной переменной......Page 72
2.2 Неподвижные и подвижные особые точки......Page 75
2.3 Уравнения, не имеющие решений с критическими подвижными особыми точками......Page 77
2.4 Задача Ковалевской о волчке......Page 83
2.5 Определение свойства Пенлеве и уравнения Пенлеве......Page 86
2.6 Второе уравнение Пенлеве для описания электрического поля в полупроводниковом диоде......Page 88
2.7 Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных уравнений......Page 92
2.8 Локальные представления решений уравнений типа Пенлеве......Page 97
2.9 Метод Пенлеве для анализа дифференциальных уравнений......Page 101
2.10 Трансцендентная зависимость решений первого уравнения Пенлеве......Page 107
2.11 Неприводимость уравнений Пенлеве......Page 112
2.12 Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения Пенлеве......Page 114
2.13 Рациональные и специальные решения второго уравнения Пенлеве......Page 115
2.14 Дискретные уравнения Пенлеве......Page 117
2.15 Асимптотические решения первого и второго уравнений Пенлеве......Page 119
2.16 Линейные представления уравнений Пенлеве......Page 121
2.17 Алгоритм Конта - Форди - Пикеринга для проверки уравнений на свойство Пенлеве......Page 123
2.18 Примеры анализа уравнений методом возмущений Пенлеве......Page 126
2.19 Тест Пенлеве для системы уравнений Хенона-Хейлеса......Page 129
2.20 Точно решаемые случаи системы Лоренца......Page 132
2.21 Задачи и упражнения к главе 2......Page 136
3.1 Интегрируемые системы......Page 139
3.2 Преобразование Коула - Хопфа для уравнения Бюргерса......Page 142
3.3 Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Кортевега - де Вриза......Page 145
3.4 Законы сохранения для уравнения Кортевега - де Вриза......Page 147
3.5 Отображения и преобразования Бэклунда......Page 150
3.6 Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона......Page 152
3.7 Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега - де Вриза......Page 154
3.8 Семейство уравнений Кортевега - де Вриза......Page 156
3.9 Семейство уравнений АКНС......Page 158
3.10 Тест Абловица - Рамани - Сигура для нелинейных уравнений в частных производных......Page 161
3.11 Метод Вайса - Табора - Карневейля для анализа нелинейных уравнений......Page 164
3.12 Пенлеве-анализ уравнения Бюргерса методом ВТК......Page 166
3.13 Анализ уравнения Кортевега - де Вриза......Page 169
3.14 Построение пары Лакса для уравнения Кортевега - де Вриза методом ВТК......Page 170
3.15 Анализ модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза......Page 172
3.16 Усеченные разложения, как отображения решений нелинейных уравнений......Page 173
3.17 Инвариантный пенлеве-анализ......Page 175
3.18 Применение инвариантного пенлеве-анализа для нахождения пар Лакса......Page 177
3.19 Соотношения между основными точно решаемыми нелинейными уравнениями......Page 180
3.20 Семейство уравнений Бюргерса......Page 188
3.21 Задачи и упражнения к главе 3......Page 190
4.1 Применение усеченных разложений для построения частных решений неинтегрируемых уравнений......Page 194
4.2 Точные решения уравнения Бюргерса - Хаксли......Page 198
4.3 Частные решения уравнения Бюргерса - Кортевега - де Вриза......Page 206
4.4 Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото - Сивашинского......Page 209
4.5 Кноидальные волны, описываемые уравнением Курамото - Сивашинского......Page 216
4.6 Частные решения простейшего нелинейного волнового уравнения пятого порядка......Page 218
4.7 Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде......Page 221
4.8 Решения уравнения Кортевега - де Вриза пятого порядка в переменных бегущей волны......Page 231
4.9 Точные решения модели Хенона - Хейлеса......Page 236
4.10 Метод нахождения рациональных решений некоторых точно решаемых нелинейных уравнений......Page 238
4.11 Задачи и упражнения к главе 4......Page 242
5.1 Анализ уравнений четвертого порядка на свойство Пенлеве......Page 245
5.2 Уравнения четвертого порядка, прошедшие тест Пенлеве......Page 252
5.3 Трансценденты, определяемые нелинейными уравнениями четвертого порядка......Page 254
5.4 Локальные представления решений для уравнений четвертого порядка......Page 259
5.5 Асимптотические свойства трансцендент уравнений четвертого порядка......Page 265
5.6 Семейства уравнений с решениями в виде трансцендент......Page 267
5.7 Пары Лакса для уравнений четвертого порядка......Page 272
5.8 Обобщения уравнений Пенлеве......Page 278
5.9 Преобразования Бэклунда для высших аналогов уравнений Пенлеве......Page 285
5.10 Рациональные и специальные решения высших аналогов уравнений Пенлеве......Page 292
5.11 Дискретные уравнения, соответствующие высшим аналогам уравнений Пенлеве......Page 296
5.12 Задачи и упражнения к главе 5......Page 305
6.1 Задача Коши для уравнения Кортевега - де Вриза......Page 307
6.2 Прямая задача рассеяния......Page 308
6.3 Интегральный вид стационарного уравнения Шредингера......Page 314
6.4 Аналитические свойства амплитуды рассеяния......Page 316
6.5 Уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко......Page 319
6.6 Интегрирование методом обратной задачи рассеяния уравнения Кортевега - де Вриза......Page 322
6.7 Решение уравнения Кортевега - де Вриза в случае безотражательных потенциалов......Page 324
6.8 Оператор Хироты и его свойства......Page 327
6.9 Нахождение солитонных решений уравнения Кортевега - де Вриза методом Хироты......Page 328
6.10 Метод Хироты для модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза......Page 332
6.11 Задачи и упражнения к главе 6......Page 334
Литература......Page 338
Предметный указатель......Page 358
