Als mehrbändiges Nachschlagewerk ist das Springer-Handbuch der Mathematik in erster Linie für wissenschaftliche Bibliotheken, akademische Institutionen und Firmen sowie interessierte Individualkunden in Forschung und Lehre gedacht. Es ergänzt das einbändige themenumfassende Springer-Taschenbuch der Mathematik (ehemaliger Titel Teubner-Taschenbuch der Mathematik), das sich in seiner begrenzten Stoffauswahl besonders an Studierende richtet. Teil I des Springer-Handbuchs enthält neben dem einführenden Kapitel und dem Kapitel 1 des Springer-Taschenbuchs zusätzliches Material zur höheren komplexen Funktionentheorie und zur allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen.
Author(s): Eberhard Zeidler
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2012
Language: German
Pages: 649
Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 10
Einleitung......Page 14
0.1.1 Mathematische Konstanten......Page 16
0.1.2 Winkelmessung......Page 18
0.1.3 Flächeninhalt und Umfang ebener Figuren......Page 20
0.1.4 Volumen und Oberflächen von Körpern......Page 24
0.1.5 Volumen und Oberfläche der regulären Polyeder......Page 27
0.1.6 Volumen und Oberfläche der dimensionalen Kugel......Page 28
0.1.7 Grundformeln der analytischen Geometrie in der Ebene......Page 29
0.1.8 Grundformeln der analytischen Geometrie des Raumes......Page 39
0.1.9 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen......Page 40
0.1.10 Elementare algebraische Formeln......Page 43
0.1.11 Wichtige Ungleichungen......Page 51
0.1.12 Anwendung auf die Planetenbewegung – der Triumph der Mathematik im Weltall......Page 56
0.2 Elementare Funktionen und ihre graphische Darstellung......Page 60
0.2.1 Transformation von Funktionen......Page 62
0.2.3 Die quadratische Funktion......Page 64
0.2.4 Die Potenzfunktion......Page 65
0.2.5 Die Eulersche......Page 66
0.2.6 Die Logarithmusfunktion......Page 68
0.2.7 Die allgemeine Exponentialfunktion......Page 69
0.2.8 Die Sinusund Kosinusfunktion......Page 70
0.2.9 Die Tangensund Kotangensfunktion......Page 76
0.2.10 Die Hyperbelfunktionen sinh x und cosh x......Page 79
0.2.11 Die Hyperbelfunktionen tanh x und coth x......Page 81
0.2.12 Die inversen trigonometrischen Funktionen (zyklometrische Funktionen)......Page 83
0.2.13 Die inversen Hyperbelfunktionen......Page 85
0.2.14 Ganze rationale Funktionen......Page 87
0.2.15 Gebrochen rationale Funktionen......Page 88
0.3.1 Die wichtigsten empirischen Daten für eine Messreihe......Page 92
0.3.2 Die theoretische Verteilungsfunktion......Page 94
0.3.4 Die statistische Auswertung einer Messreihe......Page 96
0.3.5 Der statistische Vergleich zweier Messreihen......Page 97
0.3.6 Tabellen der mathematischen Statistik......Page 101
0.4 Primzahltabelle......Page 115
0.5.1 Spezielle Reihen......Page 116
0.5.2 Potenzreihen......Page 119
0.5.3 Asymptotische Reihen......Page 130
0.5.4 Fourierreihen......Page 133
0.5.5 Unendliche Produkte......Page 138
0.6.1 Differentiation der elementaren Funktionen......Page 139
0.6.2 Differentiationsregeln für Funktionen einer Variablen......Page 141
0.6.3 Differentiationsregeln für Funktionen mehrerer Variabler......Page 143
0.7.1 Integration der elementaren Funktionen......Page 145
0.7.2 Integrationsregeln......Page 147
0.7.3 Die Integration rationaler Funktionen......Page 150
0.7.4 Wichtige Substitutionen......Page 151
0.7.5 Tabelle unbestimmter Integrale......Page 155
0.7.6 Tabelle bestimmter Integrale......Page 192
0.8.1 Fouriertransformation......Page 198
0.8.2 Laplacetransformation......Page 211
0.8.3 Z-Transformation......Page 222
Literatur zu Kapitel 0......Page 226
1. Analysis......Page 228
1.1.1 Reelle Zahlen......Page 229
1.1.2 Komplexe Zahlen......Page 235
1.1.3 Anwendungen auf Schwingungen......Page 241
1.1.4 Das Rechnen mit Gleichungen......Page 242
1.1.5 Das Rechnen mit Ungleichungen......Page 244
1.2.1 Grundideen......Page 246
1.2.2 Die Hilbertsche Axiomatik der reellen Zahlen......Page 247
1.2.3 Reelle Zahlenfolgen......Page 251
1.2.4 Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen......Page 254
1.3.1 Funktionen einer reellen Variablen......Page 258
1.3.2 Metrische Räume und Punktmengen......Page 263
1.3.3 Funktionen mehrerer reeller Variabler......Page 269
1.4.1 Die Ableitung......Page 272
1.4.2 Die Kettenregel......Page 275
1.4.3 Monotone Funktionen......Page 276
1.4.4 Inverse Funktionen......Page 277
1.4.5 Der Taylorsche Satz und das lokale Verhalten von Funktionen......Page 279
1.5.1 Partielle Ableitungen......Page 290
1.5.2 Die Fréchet-Ableitung......Page 292
1.5.3 Die Kettenregel......Page 295
1.5.4 Anwendung auf die Transformation von Differentialoperatoren......Page 298
1.5.6 Der Satz über implizite Funktionen......Page 301
1.5.7 Inverse Abbildungen......Page 304
1.5.8 Die n-te Variation und der Taylorsche Satz......Page 306
1.5.9 Anwendungen auf die Fehlerrechnung......Page 307
1.5.10 Das Fréchet-Differential......Page 309
1.6.1 Grundideen......Page 321
1.6.2 Existenz des Integrals......Page 326
1.6.3 Der Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung......Page 328
1.6.4 Partielle Integration......Page 329
1.6.5 Die Substitutionsregel......Page 330
1.6.6 Integration über unbeschränkte Intervalle......Page 333
1.6.7 Integration unbeschränkter Funktionen......Page 334
1.6.9 Anwendung auf die Bogenlänge......Page 335
1.6.10 Eine Standardargumentation in der Physik......Page 336
1.7 Integration von Funktionen mehrerer reeller Variabler......Page 337
1.7.1 Grundideen......Page 338
1.7.2 Existenz des Integrals......Page 346
1.7.3 Rechenregeln......Page 349
1.7.4 Das Prinzip des Cavalieri (iterierte Integration)......Page 351
1.7.5 Die Substitutionsregel......Page 352
1.7.6 Der Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung (Satz von Gauß-Stokes)......Page 353
1.7.7 Das Riemannsche Flächenmaß......Page 360
1.7.8 Partielle Integration......Page 362
1.7.9 Krummlinige Koordinaten......Page 363
1.7.10 Anwendungen auf den Schwerpunkt und das Trägheitsmoment......Page 366
1.7.11 Parameterintegrale......Page 368
1.8 Vektoralgebra......Page 369
1.8.1 Linearkombinationen von Vektoren......Page 370
1.8.2 Koordinatensysteme......Page 371
1.8.3 Multiplikation von Vektoren......Page 374
1.9.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung......Page 377
1.9.2 Gradient, Divergenz und Rotation......Page 380
1.9.3 Anwendungen auf Deformationen......Page 382
1.9.4 Der Nablakalkül......Page 384
1.9.5 Arbeit, Potential und Kurvenintegrale......Page 387
1.9.6 Anwendungen auf die Erhaltungsgesetze der Mechanik......Page 389
1.9.7 Masseströmungen, Erhaltungsgesetze und der Integralsatz von Gauß......Page 391
1.9.8 Zirkulation, geschlossene Feldlinien und der Integralsatz von Stokes......Page 393
1.9.9 Bestimmung eines Vektorfeldes aus seinen Quellen und Wirbeln (Hauptsatz der Vektoranalysis)......Page 395
1.9.10 Anwendungen auf die Maxwellschen Gleichungen des Elektromagnetismus......Page 396
1.9.11 Der Zusammenhang der klassischen Vektoranalysis mit dem Cartanschen Differentialkalkül......Page 398
1.10 Unendliche Reihen......Page 399
1.10.1 Konvergenzkriterien......Page 400
1.10.2 Das Rechnen mit unendlichen Reihen......Page 402
1.10.3 Potenzreihen......Page 405
1.10.4 Fourierreihen......Page 408
1.10.5 Summation divergenter Reihen......Page 411
1.10.6 Unendliche Produkte......Page 412
1.11 Integraltransformationen......Page 414
1.11.1 Die Laplacetransformation......Page 416
1.11.2 Die Fouriertransformation......Page 421
1.11.3 Die z-Transformation......Page 427
1.12.1 Einführende Beispiele......Page 431
1.12.2 Grundideen......Page 440
1.12.3 Die Klassifikation von Differentialgleichungen......Page 450
1.12.4 Elementare Lösungsmethoden......Page 460
1.12.5 Anwendungen......Page 476
1.12.6 Lineare Differentialgleichungssysteme und der Propagator......Page 481
1.12.7 Stabilität......Page 484
1.12.8 Randwertaufgaben und die Greensche Funktion......Page 487
1.12.9 Allgemeine Theorie......Page 492
1.13 Partielle Differentialgleichungen......Page 495
1.13.1 Gleichungen erster Ordnung der mathematischen Physik......Page 496
1.13.2 Gleichungen zweiter Ordnung der mathematischen Physik......Page 524
1.13.3 Die Rolle der Charakteristiken......Page 540
1.13.4 Allgemeine Eindeutigkeitsprinzipien......Page 550
1.13.5 Allgemeine Existenzsätze......Page 552
1.14 Komplexe Funktionentheorie......Page 562
1.14.1 Grundideen......Page 563
1.14.2 Komplexe Zahlenfolgen......Page 564
1.14.3 Differentiation......Page 565
1.14.4 Integration......Page 567
1.14.5 Die Sprache der Differentialformen......Page 571
1.14.6 Darstellung von Funktionen......Page 574
1.14.7 Der Residuenkalkül zur Berechnung von Integralen......Page 580
1.14.8 Der Abbildungsgrad......Page 582
1.14.9 Anwendungen auf den Fundamentalsatz der Algebra......Page 583
1.14.10 Biholomorphe Abbildungen und der Riemannsche Abbildungssatz......Page 585
1.14.11 Beispiele für konforme Abbildungen......Page 586
1.14.12 Anwendungen auf harmonische Funktionen......Page 595
1.14.13 Anwendungen in der Hydrodynamik......Page 598
1.14.15 Analytische Fortsetzung und das Permanenzprinzip......Page 601
1.14.16 Anwendungen auf die Eulersche Gammafunktion......Page 605
1.14.17 Elliptische Funktionen und elliptische Integrale......Page 607
1.14.18 Modulformen und das Umkehrproblem für die Funktion......Page 615
1.14.19 Elliptische Integrale......Page 617
1.14.20 Singuläre Differentialgleichungen......Page 626
1.14.22 Anwendungen auf die Besselsche Differentialgleichung......Page 627
1.14.23 Funktionen mehrerer komplexer Variabler......Page 629
Literatur zu Kapitel 1......Page 631
Index......Page 634
