Coniques projectives, affines et métriques : Cours et exercices

    Les coniques ont, depuis toujours, fasciné les amateurs de science, au sens le plus large. Il faut dire qu’elles sont présentes dans les situations les plus diverses. Mais cette fascination s’exerce encore aujourd’hui sur les mathématiciens, et même sur les géomètres les plus chevronnés. Une des raisons en est sans doute l’extraordinaire variété des approches possibles pour appréhender ces objets. Les sections de cônes d’Apollonius et les courbes algébriques du second degré de Descartes en sont deux exemples éloquents. Les noms de Ménechme, d’Archimède, Hypatie, Khayyám, La Hire, Kepler, Desargues, Pascal, et de bien d’autres leur sont, aussi, souvent associés. Bruno Ingrao nous donne ici un exposé moderne et unificateur, se plaçant d’emblée dans le cadre de la géométrie projective. L’espace qui nous est le plus familier, celui qu’appréhende notre regard, est certes l’espace affine. Aussi le détour par la « complétion projective » peut-il inquiéter. Mais la puissance et l’efficacité de l’outil utilisé s’imposent rapidement. Dans l’étude projective, la génération homographique est un élément-clef. On comprend grâce à elle pourquoi tant de lieux géométriques s’avèrent être des coniques. Ensuite, l’importance du choix de la droite à l’infini apparaît avec netteté : c’est lui qui détermine la classification usuelle en trois grandes familles. La liste des objets associés aux coniques est longue : centres, diamètres, birapport, pôles, polaires, foyers, sommets, axes, directrices… La présentation adoptée permet de situer chacun dans le cadre dont il relève (projectif, affine, euclidien) et donne ainsi une vision claire et simplifiée de ce paysage foisonnant.     Même si l’enseignement secondaire ne leur accorde plus guère de place, les coniques restent un sujet incontournable dans toute véritable formation mathématique. Cet ouvrage rendra donc service aux élèves des classes préparatoires scientifiques, aux étudiants en Licence ou de Master, ainsi qu’aux candidats au CAPES ou à l’agrégation. Mais, bien au delà,ce sont tous les amoureux de la géométrie qui le liront avec passion.     Bruno Ingrao est ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud. Il a été maître de conférences à l’université Blaise-Pascal à Clermont-Ferrand. Aujourd’hui à la retraite, il continue d’œuvrer pour la diffusion des mathématiques auprès d’un large public. Il fait notamment partie de l’équipe d’animateurs du principal site français consacré aux mathématiques (les-mathematiques.net), sur lequel sa grande culture associée à son talent pédagogique font merveille. Mathematics Subject Classification (2000): 14-XX Algebraic geometry     14H-XX Curves         14.20 Algebraic curves, surfaces and special varieties 51-XX Geometry     51F-XX Metric geometry     51N-XX Analytic and descriptive geometry         51N10 Affine analytic geometry         51N15 Projective analytic geometry         51N20 Euclidean analytic geometry         51N25 Analytic geometry with other transformation groups         51N30 Geometry of classical groups         51A05 General theory and projective geometries Table des matières : Chapitre I. Espaces projectifs     1. Généralités     2. Définition d’un espace projectif     3. Dualité dans les espaces projectifs     4. Les homographies     5. Exercices Chapitre II. Complétion projective d’un espace affine     1. Définition     2. Une application typique     3. Passage par des abscisses     4. Changements de coordonnées     5. Exercices Chapitre III. Complétion projective des espaces affines euclidiens     1. Éléments métriques vectoriels complexes     2. Éléments métriques dans le complexifié du plan affine euclidien     3. Exercices Chapitre IV. L’espace des formes quadratiques sur E     1. Définitions     2. Orthogonalité     3. La réduction des formes quadratiques Chapitre V. Propriétés projectives des coniques     1. Les coniques du plan projectif     2. Propriétés projectives des coniques propres     3. L’aspect tangentiel des coniques     4. Génération des coniques par homographies     5. Exercices Chapitre VI. Classification affine des coniques réelles     1. Introduction     2. Classification affine des coniques réelles     3. Propriétés affines des coniques à centre     4. Tangentes et asymptotes à une conique à centre     5. Propriétés affines de la parabole     6. Exercices Chapitre VII. La classification métrique des coniques     1. Préliminaire     2. Propriétés focales communes aux coniques propres     3. Étude métrique de la parabole     4. Propriétés bifocales des coniques à centre     5. Étude des propriétés métriques de l’ellipse     6. Propriétés métriques de l’hyperbole     7. Exercices Chapitre VIII. Diverses applications de la théorie projective     1. Coniques tangentielles et homographies     2. Les faisceaux de coniques     3. Les homographies sur les coniques     4. Exercices Chapitre IX. Quelques constructions     1. Construction de la polaire d’un point     2. Construction de l’intersection d’une droite et d’une conique     3. Et pour quelques dollars de plus Chapitre X. Les sections coniques     1. Les cônes de révolution     2. Cônes et coniques     3. L’aspect métrique     4. La réciproque     5. Exercices Chapitre XI. Et l’espace alors ?     1. Introduction     2. Généralités     3. Étude des quadriques propres     4. La classification projective des quadriques complexes     5. La classification projective des quadriques réelles     6. La classification affine des quadriques réelles     7. Aperçu sur les faisceaux de quadriques Annexe A. Espaces affines et notions associées     1. Espaces affines     2. Espace vectoriel adjoint d’un espace affine     3. Exercices Annexe B. Complexifié d’un espace vectoriel ou affine réel     1. Le complexifié d’un espace vectoriel     2. Le complexifié d’un espace affine réel     3. Exercices Annexe C. Formes bilinéaires     1. L’espace des formes bilinéaires sur E     2. Orthogonalité relativement à une forme bilinéaire Annexe D. Espaces euclidiens     1. Les espaces vectoriels euclidiens     2. Le groupe orthogonal     3. La notion d’angle orienté     4. Exercices Annexe E. Le plan affine euclidien     1. L’alignement     2. Les angles     3. Les isométries     4. Les similitudes     5. Complément sur les cercles     6. Cercles orthogonaux Annexe F. À propos d’un théorème Annexe G. Indications et solutions     1. Chapitre I     2. Chapitre II     3. Chapitre III     4. Chapitre V     5. Chapitre VI     6. Chapitre VII     7. Chapitre VIII Annexe H. Problème de concours général     1. Problème de concours général 1961 Annexe I. Concours d’entrée 2006 à l’École Centrale