Книга охватывает очень широкий материал. Первые четыре главы содержат прекрасное изложение основ симплектической геометрии, что позволяет читателю без предварительных специальных знаний начать изучение предлагаемой области математики. В дальнейших главах подробно обсуждаются симплектические многообразия, симплектоморфизмы, симплектические инварианты. Помимо необходимых базовых сведений, которые приводятся с подробными доказательствами, изложение в этих главах доходит до совсем недавних результатов и конструкций в симплектической топологии, таких как теоремы Громова о несжимаемости и о существовании симплектических структур на открытых многообразиях, доказательство гипотезы Арнольда для лагранжевых пересечений в кокасательных расслоениях, теория псевдоголоморфных кривых и гомологии Флоера, приложения теории Зайберга-Виттена к симплектической геометрии.
Author(s): Макдафф Д., Саламон Д (Dusa McDuff, Dietmar Salamon)
Publisher: РХД, ИКИ
Year: 2012
Language: Russian
Pages: 568
City: Москва, Ижевск
Tags: Математика;Топология;Дифференциальная геометрия и топология;Дифференциальная топология;
ПЕРЕПЛЁТ ......Page 1
Оглавление ......Page 5
Предисловие ......Page 9
Предисловие ко второму изданию ......Page 11
Введение ......Page 13
Часть I. Основы ......Page 21
Глава 1. От классики к современности ......Page 23
1.1. Гамильтонова механика ......Page 24
1.2. Симплектическая топология евклидова пространства ......Page 42
Глава 2. Линейная симплектическая геометрия ......Page 52
2.1. Симплектические векторные пространства ......Page 53
2.2. Линейная симплектическая группа ......Page 60
2.3. Лагранжевы подпространства ......Page 67
2.4. Аффинная теорема о несжимаемости ......Page 72
2.5. Комплексные структуры ......Page 80
2.6. Симплектические векторные расслоения ......Page 89
3.1. Основные понятия ......Page 104
3.2. Изотопии и теорема Дарбу ......Page 118
3.3. Подмногообразия симплектических многообразий ......Page 125
3.4. Контактные структуры ......Page 132
Глава 4. Почти комплексные структуры ......Page 147
4.1. Почти комплексные структуры ......Page 148
4.2. Интегрируемость ......Page 154
4.3. Кэлеровы многообразия ......Page 162
4.4. J-голоморфные кривые ......Page 175
Часть II. Симплектические многообразия ......Page 185
Глава 5. Симплектическое действие групп ......Page 187
5.1. Действие окружности ......Page 188
5.2. Отображение момента ......Page 199
5.3. Примеры ......Page 203
5.4. Симплектические фактор-многообразия ......Page 213
5.5. Выпуклость ......Page 221
5.6. Локализация ......Page 234
6.1. Симплектические расслоения ......Page 241
6.2. Симплектические расслоения 2-сфер ......Page 247
6.3. Симплектические связности ......Page 252
6.4. Гамильтонова голономия и связывающая форма ......Page 263
6.5. Гамильтоновы расслоения ......Page 276
7.1. Раздутия и сжатия ......Page 283
7.2. Связные суммы ......Page 305
7.3. Телескопическая конструкция ......Page 312
Часть III. Симплектоморфизмы ......Page 319
Глава 8. Сохраняющие площадь диффеоморфизмы ......Page 321
8.1. Периодические орбиты ......Page 322
8.2. Теорема Пуанкаре – Биркгофа ......Page 325
8.3. Задача о биллиарде ......Page 332
Глава 9. Производящие функции ......Page 339
9.1. Производящие функции типа S ......Page 340
9.2. Дискретная гамильтонова механика ......Page 348
9.3. Гамильтоновы симплектоморфизмы ......Page 354
9.4. Лагранжевы подмногообразия ......Page 365
10.1. Основные свойства ......Page 374
10.2. Гомоморфизм потока ......Page 379
10.3. Гомоморфизм Калаби ......Page 394
10.4. Топология групп симплектоморфизмов ......Page 400
Часть IV. Симплектические инварианты ......Page 405
Глава 11. Гипотеза Арнольда ......Page 407
11.1. Симплектические неподвижные точки ......Page 408
11.2. Теория Морса и индекс Конли ......Page 416
11.3. Лагранжевы пересечения ......Page 427
11.4. Гомологии Флоера ......Page 438
Глава 12. Симплектические ёмкости ......Page 444
12.1. Несжимаемость и ёмкости ......Page 445
12.2. Жесткость ......Page 451
12.3. Метрика Хофера ......Page 454
12.4. Ёмкость Хофера – Цендера ......Page 471
12.5. Вариационные методы ......Page 480
Глава 13. Новые направления ......Page 497
13.1. Примеры ......Page 499
13.2. Симплектические структуры на замкнутых многообразиях ......Page 517
13.3. Симплектические 4-многообразия ......Page 523
13.4. Симплектические подмногообразия ......Page 537
Литература ......Page 546
Предметный указатель ......Page 563
