Dieses zweibändige Lehrbuch stellt das Gesamtgebiet der partiellen Differentialgleichungen - vom elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Typ - in zwei und mehreren Veränderlichen vor. Im vorliegenden ersten Band werden folgende Themen behandelt: Integration auf Mannigfaltigkeiten, funktionalanalytische Grundlagen, Brouwerscher Abbildungsgrad, verallgemeinerte analytische Funktionen, Potentialtheorie und Kugelfunktionen, lineare partielle Differentialgleichungen. Während in diesem Band die partiellen Differentialgleichungen mit Integraldarstellungen gelöst werden, sollen im nächsten Band funktionalanalytische Lösungsmethoden vorgestellt werden. Dieses Lehrbuch kann daher für einen mehrsemestrigen Kurs verwendet werden. Fortgeschrittene Leser können jedes Kapitel auch unabhängig voneinander studieren.
Author(s): Friedrich Sauvigny
Series: Springer-Lehrbuch Masterclass
Edition: 1
Publisher: Springer
Year: 2004
Language: German
Pages: 427
Inhaltsverzeichnis von Band 1 - Grundlagen und Integraldarstellungen......Page 9
I Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten......Page 13
§1 Der Weierstraßsche Approximationssatz......Page 14
§2 Parameterinvariante Integrale und Differentialformen......Page 24
§3 Die äußere Ableitung von Differentialformen......Page 34
§4 Der Stokessche Integralsatz für Mannigfaltigkeiten......Page 41
§5 Der Gaußsche und der Stokessche Integralsatz......Page 50
§6 Kurvenintegrale......Page 66
§7 Das Poincarésche Lemma......Page 78
§8 Die Coableitung und der Laplace-Beltrami-Operator......Page 82
§1 Das Daniellsche Integral mit Beispielen......Page 100
§2 Fortsetzung des Daniell-Integrals zum Lebesgue-Integral......Page 105
§3 Meßbare Mengen......Page 117
§4 Meßbare Funktionen......Page 129
§5 Das Riemannsche und Lebesguesche Integral auf Quadern......Page 142
§6 Banach- und Hilberträume......Page 147
§7 Die Lebesgueschen Räume L[sup(p)](X)......Page 159
§8 Beschränkte lineare Funktionale auf L[sup(p)](X) und schwache Konvergenz......Page 168
§1 Die Umlaufszahl......Page 180
§2 Der Abbildungsgrad im R[sup(n)]......Page 188
§3 Geometrische Existenzsätze......Page 197
§4 Der Index einer Abbildung......Page 198
§5 Der Produktsatz......Page 206
§6 Die Sätze von Jordan-Brouwer......Page 212
§1 Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung......Page 216
§2 Holomorphe Funktionen im C[sup(n)]......Page 220
§3 Geometrisches Verhalten von holomorphen Funktionen in C......Page 233
§4 Isolierte Singularitäten und der allgemeine Residuensatz......Page 241
§5 Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung......Page 253
§6 Pseudoholomorphe Funktionen......Page 264
§7 Konforme Abbildungen......Page 268
§8 Randverhalten konformer Abbildungen......Page 283
§1 Die Poissonsche Differentialgleichung im R[sup(n)]......Page 293
§2 Die Poissonsche Integralformel mit ihren Folgerungen......Page 304
§3 Das Dirichletproblem für die Laplacegleichung im R[sup(n)]......Page 316
§4 Die Theorie der Kugelfunktionen: Fourierreihen......Page 328
§5 Die Theorie der Kugelfunktionen in n Variablen......Page 333
§1 Das Maximumprinzip für elliptische Differentialgleichungen......Page 348
§2 Quasilineare elliptische Differentialgleichungen......Page 358
§3 Die Wärmeleitungsgleichung......Page 363
§4 Charakteristische Flächen......Page 376
§5 Die Wellengleichung im R[sup(n)] für n = 1, 3, 2......Page 386
§6 Die Wellengleichung im R[sup(n)] für n ≥ 2......Page 394
§7 Die inhomogene Wellengleichung und ein Anfangsrandwertproblem......Page 405
§8 Klassifikation, Transformation und Reduktion partieller Differentialgleichungen......Page 410
Literaturverzeichnis......Page 420
D......Page 422
G......Page 423
M......Page 424
S......Page 425
Z......Page 426
