Eléments de Topologie Algébrique

Ce livre, qui a son origine dans un cours fait à Strasbourg en 1968, est une introduction à la topologie algébrique. Il s'adresse à des étudiants de seconde année de maîtrise de mathématique ou de première année de troisième cycle. Pour ses deux premières parties, consacrées au groupe fondamental et aux revêtements, on ne suppose connus que des éléments de topologie générale et de théorie des groupes. On a d'ailleurs donné dans les chapitres I et II des compléments de topologie (connexité, espaces quotients, actions de groupes) d'un usage fréquent dans la suite, ainsi qu'une série d'exemples fondamentaux en géométrie (groupes classiques, espaces projectifs, surfaces). Les résultats non élémentaires de théorie des groupes sont placés en appendice. La troisième partie est consacrée à la cohomologie de de Rham. Elle requiert la connaissance d'une théorie élémentaire des variétés différen- tiables et de leur calcul différentiel, telle par exemple qu'elle est exposée dans les premiers chapitres de Géométrie différentielle [1]. Enfin on a inséré dans le texte de nombreux exercices qui l'illustrent et le complètent (on trouvera par exemple trois démonstrations topologiques différentes du théorème de d'Alembert). Table des matières Introduction 11 PREMIÈRE PARTIE GROUPE FONDAMENTAL I. CONNEXITÉ. ESPACES QUOTIENTS 1. Connexité 17 2. Connexité par arcs 20 3. Connexité dans les variétés 22 4. Topologie quotient . . 23 5. Identifications et recollements 26 6. Opérations de groupes topologiques . 27 II. EXEMPLES D'ESPACES TOPOLOGIQUES 1. Boules, sphères et tores 31 2. Groupes classiques 35 3. Espaces projectifs réels 38 4. Espaces projectifs complexes 41 5. Surfaces 43 III. COMPLEXES CELLULAIRES 1. Complexes cellulaires : 47 2. Complexes cellulaires localement finis 50 3. Graphes 52 IV. HOMOTOPIE 1. Homotopie. Type d'homotopie 55 2. Homotopie relative. Rétractes par déformation 58 3. Homotopie dans les complexes cellulaires 60 4. Homotopie dans les variétés différentiables 63 5. Espaces d'applications continues 67 V. GROUPE FONDAMENTAL 1. Homotopie des chemins 71 2. Groupe fondamental 75 3. Groupe fondamental et applications continues 76 4. Espaces simplement connexes 78 5. Groupe fondamental des groupes topologiques 81 6. Espaces de chemins et de lacets 83 VI. CALCUL DU GROUPE FONDAMENTAL 1. Produits et rétractes 85 2. Groupe fondamental du cercle 86 3. Application : théorie de l'index 89 4. Théorème de Van Kampen 91 5. Groupe fondamental des complexes cellulaires 96 6. Groupe fondamental des groupes classiques 100 DEUXIÈME PARTIE REVÊTEMENTS VIL REVÊTEMENTS 1. Homéomorphismes locaux 105 2. Revêtements 106 3. Groupes discrets opérant proprement et librement 110 4. Homomorphismes de revêtements 111 5. Construction des revêtements par recollements . 114 6. Relèvements des applications 115 VIII. REVÊTEMENTS GALOISIENS 1. Revêtements galoisiens . . 119 2. Revêtements associés à un revêtement galoisien . 121 3. Classification des revêtements associés à un revêtement galoisien . 123 4. Homomorphismes d'espaces homogènes 125 5. Revêtements universels 127 IX. REVÊTEMENTS ET GROUPE FONDAMENTAL 1. Lemmes fondamentaux 129 2. Groupe fondamental d'un revêtement 130 3. Relèvements des applications 132 4. Automorphismes de revêtements 134 5. Revêtements simplement connexes 137 6. Classification des revêtements 139 X. APPLICATIONS DES REVETEMENTS 1. Théorème de Van Kampen : démonstration 143 2. Groupes fondamentaux des variétés 145 3. Revêtements des variétés 147 4. Revêtements et orientation des variétés 151 5. Revêtements des complexes cellulaires 153 6. Revêtements des groupes topologiques 155 TROISIÈME PARTIE GOHOMOLOGIES DES FORMES DIFFÉRENTIELLES XI. COHOMOLOGIES DES VARIETES DIFFÉRENTIABLES 1. Algèbre de cohomologie de de Rham . 161 2. Applications et homotopies différentiables 163 3. Applications continues 165 4. Algèbre de cohomologie à supports compacts 167 5. Applications et homotopies propres 168 6. Cohomologie à supports compacts des ouverts 170 XII. COHOMOLOGIES RELATIVES 1. Algèbres de cohomologies relatives 172 2. Applications et homotopies différentiables 173 3. Cohomologie relative à supports compacts 175 4. Homomorphisme cobord 176 5. Suites exactes de cohomologies 178 6. Cohomologie des sphères. Applications 180 A. Suites exactes d'espaces vectoriels 183 XIII. COHOMOLOGIE ET THÉORIE DE MORSE 1. Éléments de théorie de Morse 185 2. Cohomologie des variétés compactes 188 3. Inégalités de Morse 191 4. Théorème de Kunneth 195 5. Théorème de Kunneth : démonstration 197 6. Application à la cohomologie des groupes de Lie 201 XIV. CALCULS D'ESPACES DE COHOMOLOGIES 1. Cohomologie en dimension 1 et groupe fondamental 205 2. Revêtement associé à une forme de PfafF fermée 209 3. Cohomologie à supports compacts en dimension maximum : cas orientable 211 4. Applications 214 5. Cohomologie à supports compacts en dimension maximum : cas non orientable 215 6. Cohomologie à supports fermés en dimension maximum 216 7. Application : cohomologie des espaces projectifs t 216 8. Application : degré des applications 218 9. Application : invariant de Hopf. 221 XV. DUALITÉ DE POINCARÉ 1. Homomorphisme * dans les espaces euclidiens 227 2. Homomorphisme * dans les variétés riemafrmiennes 229 3. Formes harmoniques 231 4. Dualité de Poincaré 233 5. Classe et nombre de Lefschetz 235 APPENDICE COMPLÉMENTS DE THÉORIE DES GROUPES 1. Groupes commutatifs 239 2. Groupe des commutateurs 241 3. Groupes libres ^ 242 4. Produits libres 243 Bibliographie . 245 Index ,. . 247