Géométrie projective

    Issue des réflexions des peintres de la Renaissance sur la perspective, la géométrie projective s’est avérée, au début du XIXᵉ siècle, être un outil unificateur de résultats géométriques disparates et un puissant moyen pour aller plus loin. À partir du milieu du XIXᵉ siècle, la géométrie projective a été le fondement sur lequel s’est développée la géométrie algébrique. Dans le grand développement de celle-ci, jusqu’à l’époque contemporaine, les notions projectives y ont gardé une place de choix, notamment par le biais des systèmes linéaires.     Partant d’un prérequis assez élémentaire d’algèbre, ce livre expose les fondements — tant algébriques qu’axiomatiques — de la géométrie algébrique et donne une grande place à leurs applications aux cercles, coniques et quadriques.     À la portée des étudiants du premier cycle et des élèves des classes préparatoires, il est destiné à tous les amateurs de géométrie. Pierre Samuel, spécialiste d’algèbre et de géométrie algébrique, est professeur à l’Université de Paris-Sud (Orsay). ===== Table des matières Introduction Chapitre Premier / Espaces projectifs     § A / Définition, repères projectifs         Coordonnées homogènes         Dénombrements sur un corps fini     § B / Applications projectives, homographies, groupe projectif     § C / Espaces projectifs et espaces affines         Rappel sur les espaces affines         Exemple d’espace affine : le complémentaire d’un hyperplan d’un espace projectif         Plongements d’un espace affine dans un espace projectif         Coordonnées affines et coordonnées homogènes         Intersections avec une droite, points simples et points multiples des hypersurfaces         Trois théorèmes importants     § D / Présentation axiomatique des plans projectif et affine         Axiomes d’incidence ; cas projectif         Axiomes d’incidence ; cas affine         Le théorème fondamental         L’équipollence des couples de points         Vecteurs et translations         Le corps des homothéties         Commentaires sur l’axiome de Desargues     § E / Espaces projectifs d’hyperplans, dualité         Systèmes linéaires d’hyperplans         Dualité     § F / L’espace projectif des cercles         Coordonnées affines et homogènes         Inversions         Orthogonalité         Faisceaux et réseaux de cercles     § G / L’espace projectif des coniques         Irréductibilité         Intersection de deux coniques         Systèmes linéaires de coniques     § H / Espaces projectifs de diviseurs en géométrie algébrique Chapitre II / Géométrie projective de dimension 1     § A / Abscisse projective, birapport, applications rationnelles         Abscisse projective         Birapport de quatre points         Applications rationnelles     § B / Birapports et permutations     § C / Division harmonique         Construction du quatrième harmonique     § D / Homographies et involutions sur une droite projective         Détermination, points doubles, formes réduites         Involutions et diviseurs de degré 2         Homographies et involutions sur un faisceau linéaire de droites     § E / Structure de droite projective sur une conique         Représentations paramétriques d’une conique         Homographies et involutions : Frégier, Pascal     § F / Courbes unicursales         Exemples         Représentations propres, th. de Lüroth         Caractérisation des cubiques unicursales         Un peu de géométrie sur une cubique unicursale     § G / Droite projective complexe. Groupe circulaire         Projection stéréographique         Exemples d’homographies et d’anti-homographies         Théorème fondamental, quadrangles harmoniques         Décomposition en inversions-symétries     § H / Topologie des espaces projectifs         Exemple des espaces projectifs réels         Exemple des espaces projectifs complexes Chapitre III / Classification des coniques et quadriques     § A / Qu’est-ce qu’une quadrique ?     § B / Classification affine et euclidienne des quadriques         Généralités         Classification sur un corps algébriquement clos         Classification affine sur ℝ         Classification affine des coniques de ℝ²         Classification euclidienne des coniques de ℝ²         Classification affine des quadriques de ℝ³, droites sur les quadriques     § C / Classification projective des quadriques réelles         Généralités         Variétés de Segre     § D / Classification des coniques et quadriques sur un corps fini         Classification des coniques         Classification des quadriques d’un espace de dimension 3 Chapitre IV / Dualité par rapport à une quadrique     § A / Conjugaison, hyperplans polaires et pôles     § B / Polaires et pôles par rapport aux coniques         Cas des coniques décomposées         Polaires d’un point par rapport aux coniques d’un faisceau         Pôles d’une droite par rapport aux coniques propres d’un faisceau         Conique harmoniquement circonscrite à une autre     § C / Transformations par polaires réciproques. Équations tangentielles         Forme inverse et équation tangentielle d’une quadrique         Équation tangentielle d’une courbe plane         Transformation par polaires réciproques     § D / Applications aux coniques         Quelques traductions, Brianchon         Correspondance entre les décompositions ponctuelles et tangentielles         Faisceaux linéaires tangentiels         Foyers         Podaire d’un point par rapport à une conique Appendice / Correspondances (2, 2)     Faits admis     Correspondances entre deux droites projectives     Correspondances (2, 2) et biquadratiques ; cas de décomposition     Correspondances symétriques et symétrisables     Points critiques     Interprétation géométrique des correspondances (2, 2) symétriques (Théorème de Poncelet)     Notions sur les courbes tracées sur une quadrique S     Notions sur la composition des correspondances Bibliographie succincte Index