L'héritage de Kolmogorov en mathématiques

Couverture
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Les auteurs
Introduction Éric Charpentier, Annick Lesne et Nikolaï Nikolski
Chapitre 1 LA JEUNESSE D'ANDREI NIKOLAEVICH ET LES SÉRIES DE FOURIER. Jean-Pierre Kahane
1 Convergence et divergence des séries de Fourier
2 Fonctions harmoniques conjuguées et séries de Fourier
3 Séries de Fourier, intégration et probabilités
3.1 Intégration de la conjuguée d'une fonction sommable
3.2 Séries de variables aléatoires indépendantes et séries de Fourier lacunaires
4 Postérité des articles de jeunesse de Kolmogorov
Appendice Deux autres aspects des résultats de Kolmogorov sur la conjuguée harmonique
Nikolaï Nikolski Bibliographie
Chapitre 2 LA CONTRIBUTION DE KOLMOGOROV EN LOGIQUE INTUITIONNISTE. Thierry Coquand
1 Le premier article (1925). Formalisation de la logique intuitionniste
1.1 Le contexte historique
1.2 Kolmogorov et sa formalisation de la logique intuitionniste
1.3 L'interprétation négative
1.4 Le calcul des prédicats
1.5 Références à l'article de 1925
2 Mathématiques classiques et intuitionnistes
2.1 Le problème
2.2 Intuitionnisme prédicatif
2.3 Intuitionnisme imprédicatif
2.4 Le problème avec l'axiome du choix
3 Raffinement du résultat de Kolmogorov
4 Un calcul des problèmes
5 Quelques développements récents
6 Un calcul des problèmes pour la logique classique ?
Bibliographie
Chapitre 3 QUELQUES ASPECTS DE L'OEUVRE PROBABILISTE. Loïc Chaumont, Laurent Mazliak et Marc Yor
1 Introduction
2 L'axiomatisation du calcul des probabilités
2 .1 Un cadre abstrait
2.2 Construction de la loi conditionnelle
2.3 La loi du 0-1 (ou loi du tout ou rien)
3 Théorèmes limites et series
4 Processus en temps continu
4.1 L'équation de Chapman-Kolmogorov
4.2 Processus à accroissements indépendants et stationnaires
4.3 Critères de continuité et de compacité relative
Bibliographie
Chapitre 4 ÉQUATIONS DE KOLMOGOROV EN DIMENSION INFINIE. Giuseppe Da Prato
1 Introduction et position du problème
1.1 L'équation de Kolmogorov
1.2 Equations de Kolmogorov en dimension infinie
1.3 Solutions « mild »
1.4 Semi-groupe de transition et propriété de Feller forte
1.5 Mesures invariantes et semi-groupes irréductibles
1.6 Cas où le problème n'est pas nécessairement bien posé
1.7 Sommaire
2 Le semi-groupe de Ornstein-Uhlenbeck
2.1 Définition et hypothèses
2.2 Ellipticité, hypoellipticité, effet régularisant
2.3 Mesure invariante, ergodicité, mélange
2.4 Effet régularisant dans L2(H,Jl)
2.5 Perturbations de l'opérateur de Ornstein-Uhlenbeck
3 Non-linéarités régulières
3.1 Introduction
3.2 Mesures invariantes
4 Quelques équations de Kolmogorov intervenant dans les applications
4.1 Equations de réaction-diffusion
4.2 Equation de Burgers
4.3 L'équation de Navier-Stokes 2D
Bibliographie
Chapitre 5 KOLMOGOROV ET LA THÉORIE DES NOMBRES. Kevin Ford
1 Introduction
2 Nouvelles estimations pour les statistiques d'ordre uniformes
3 Applications en théorie des nombres
Bibliographie
Chapitre 6 PROBLÈME DE L'ESTIMATION ET E-ENTROPIE DE KOLMOGOROV. Mikhail Nikouline et Valentin Solev
1 Position du problème : statistiques paramétriques et non paramétriques
2 Notations et définitions
2.1 Lois cachées et estimateurs
2.2 E-entropie, E-capacité
3 Distance de Kullback-Leibler et estimateur du maximum de vraisemblance
4 Entropie d'une partition et inégalité de Fano
4.1 Entropie d'une partition
4.2 Entropie conditionnelle
4.3 Entropie d'une variable aléatoire
4.4 Quantité d'information
4.5 Lien entre la quantité d'information et la distance de Kullback-Leibler
4.6 L'inégalité de Fano
5 La borne inférieure du risque minimax
5.1 Cas d'un ensemble fini de densités
5.2 Cas général
5.3 Une minoration du risque
5.4 Quantité de points E-distinguables dans un ensemble discret
5.5 Borne inférieure du risque
6 Cohérence de l'estimation
6.1 Cohérence avec une certaine vitesse de convergence
6.2 Cohérence forte et entropie
7 L'estimateur de distance minimale
7.1 Construction de la métrique
7.2 Choix de l'estimateur et vitesse de convergence
8 Utilisation de l'entropie pour l'estimation d'une densité
Bibliographie
Chapitre 7 KOLMOGOROV ET LA TOPOLOGIE. Victor M. Buchstaber
1 Prélude
2 Les principaux résultats topologiques de A. N. Kolmogorov
2.1 Topologie algébrique
2.2 Topologie générale
3 Sur une idée topologique de Kolmogorov
Bibliographie
Chapitre 8 GÉOMÉTRIE ET THÉORIE DE L'APPROXIMATION. Vladimir M. Tikhomirov
1 Les motifs géométriques dans l'oeuvre de A. N. Kolmogorov
1.1 Introduction
1.2 Deux travaux géométriques de Kolmogorov
1.3 Définition de la mesure sur des classes d'ensembles et norme dans les espaces vectoriels topologiques
1.4 Largeur des ellipsoïdes et des octaèdres
1.5 Supplément sur les motifs géométriques et visuels dans les travaux de Kolmogorov
1.6 Le treizième problème de Hilbert
1.7 Cours de géométrie pour le lycée selon Kolmogorov
2 Les travaux de Kolmogorov en théorie de l'approximation
2.1 Introduction
2.2 Largeurs des classes fonctionnelles et des ensembles dans les espaces de dimension finie
2.3 L'estimation de l'exactitude de la méthode de Fourier sur une classe de fonctions
2.4 L'inégalité de Kolmogorov pour la dérivée intermédiaire
2.5 Critère et unicité des éléments de la meilleure approximation
2.6 E-entropie
Bibliographie
Chapitre 9 KOLMOGOROV ET LA DYNAMIQUE DES POPULATIONS. Karl Sigmund
1 Introduction
2 Des équations de Volterra aux équations de Gause
3 Les équations de Kolmogorov
4 Points techniques
5 L'impact
Bibliographie
Chapitre 10 LE THÉORÈME KAM. John H. Hubbard
Partie 1 : Deux exemples 1 Le système solaire
1.1 Le cas des masses planétaires nulles
1.2 Nombres et vecteurs irrationnels
1.3 Enroulements linéaires sur un tore
2 Le pendule forcé
Partie II : Énoncé précis et esquisse de la démonstration 3 Abrégé de mécanique hamiltonienne
4 Un énoncé précis du théorème de Kolmogorov
5 Stratégie de la démonstration
5.1 Les équations aux dérivées partielles diophantiennes
5.2 La construction essentielle de la démonstration
Bibliographie
Chapitre 11 DE L'ENTROPIE A L'HYPERBOLICITÉ. Denis V. Kosygin et Yakov G. Sinai
1 Systèmes dynamiques généraux
2 L'article de Kolmogorov sur l'entropie
3 La notion d'hyperbolicité
4 Le système de Lorenz
5 Hyperbolicité dans les systèmes de dimension 1
6 Systèmes bidimensionnels
7 Systèmes conservatifs
8 Conclusion
Bibliographie
Chapitre 12 ASPECTS CONSTRUCTIFS DU THÉORÈME DE SUPERPOSITION. Vasco Brattka
1 Le 13-ième problème de Hilbert
2 Le théorème de superposition de Kolmogorov
3 Calculabilité de la fonction de Sprecher
4 Une version calculable du théorème de superposition de Kolmogorov
5 Aspects liés à la dimension
6 Aspects liés à la constructivité
7 Applications aux réseaux de neurones non récurrents
8 Conclusion
9 Remerciements
Bibliographie
Chapitre 13 COMPLEXITÉ DE KOLMOGOROV. Bruno Durand et Alexander Zvonkin
1 Algorithmes
1.1 Modèles de calcul
1.2 Tous les modèles de calcul sont équivalents
1.3 Machines de Kolmogorov-Uspensky
1.4 Universalité
1.5 Fonctions non calculables
1.6 Retour sur les algorithmes
2 Descriptions et tailles
3 Théorème de Gödel
3.1 Il est prouvé qu'on ne peut pas tout prouver
3.2 Systèmes formels
3.3 Paradoxe de Berry
3.4 Propositions gödéliennes : exemples « concrets »
4 Définition du hasard
4.1 Questions, questions, questions
4.2 Suites aléatoires
4.3 Suites de faible complexité
4.4 Retour sur la définition de « suite aléatoire »
Bibliographie
Chapitre 14 LE CHAOS ALGORITHMIQUE ET LA MÉTHODE D'INCOMPRESSIBILITÉ. Paul Vitanyi
1 Introduction
2 La complexité de Kolmogorov
2.1 La méthode d'incompressibilité
2.2 Les suites aléatoires
3 La théorie algorithmique du chaos
3.1 La multiplication par 2 modulo 1
3.2 Le chaos avec une entrée de précision finie
Bibliographie