Книга посвящена актуальной проблеме описания граничных задач для общих дифференциальных операторов, безотносительно к их типу в классическом смысле. Под граничной задачей понимается система условий, определяющих сужение так называемого максимального дифференциального оператора, порождаемого общей дифференциальной операцией в конечной области евклидова пространства. Это сужение должно одновременно быть расширением минимального оператора и обеспечивать однозначную разрешимость соответствующего дифференциального уравнения при любой правой части из гильбертова пространства функций с суммируемым квадратом. Описанная задача связана с рядом специальных вопросов спектральной теории операторов, изложению которых отводится значительное место.
Библ.— 41 назв.
Author(s): Дезин А.А.
Publisher: Наука
Year: 1980
Language: Russian
Pages: 208
Tags: Математика;Дифференциальные уравнения;
[Титульный лист]......Page 1
[Оглавление]......Page 3
Предисловие......Page 6
Памятка читателю......Page 10
§ 0. Вводные замечания......Page 11
1.1. Основная структура......Page 12
1.2. Специальные подмножества......Page 14
1.3. Операторы......Page 17
1.4. Функционалы......Page 21
2.0. Предварительные замечания......Page 23
2.1. Основные определения......Page 24
2.2. Функции от оператора......Page 26
2.3. Связь спектров данного и обратного операторов......Page 29
3.1. BH-операторы. Определения и основные свойства......Page 30
3.2. BH-операторы. Теория Фредгольма — Рисса......Page 32
3.3. Самосопряженные ВН-операторы......Page 35
3.4. Самосопряженные, нормальные и унитарные операторы......Page 38
3.5. Некоторые дополнительные соглашения......Page 40
§ 0. Вводные замечания......Page 42
§ 1. Пространство H(V)......Page 43
§ 2. Дифференциальные операции и максимальный оператор......Page 46
3.1. Минимальный оператор......Page 49
3.2. Транспонированные операции и сопряженные операторы......Page 50
3.3. Существование правильных операторов......Page 51
4.0. Предварительные замечания......Page 55
4.1. Основные определения......Page 56
5.1. Осреднения на прямой......Page 59
5.2. Осреднения в многомерной области......Page 63
5.3. Осреднения и операции дифференцирования......Page 65
5.4. Лемма Фридрихса......Page 67
6.1. Случай постоянных, в главном, коэффициентов......Page 68
6.2. Случай переменных коэффициентов......Page 70
6.3. Некоторые примеры......Page 72
6.4. Эквивалентность слабых и сильных расширений как следствие однозначной разрешимости задач......Page 74
6.5. Случай обыкновенной дифференциальной операции......Page 76
7.1. Слабые и сильные обобщенные производные......Page 77
7.2. Пространства W^m W'^m и теоремы вложения......Page 78
§ 0. Вводные замечания......Page 82
1.1. Операторы, порождаемые условиями Коши......Page 83
1.2. Описание правильных операторов......Page 87
§ 2. Обыкновенная дифференциальная операция первого порядка......Page 89
§ 3. Теория Биркгофа......Page 93
4.1. Замечания общего характера......Page 96
4.2. Дополнительные замечания, относящиеся к обыкновенным дифференциальным операциям......Page 97
1.1. Тензорные произведения гильбертовых пространств......Page 100
1.2. Модельные операторы......Page 102
2.1. Определение Π-операторов и их основные свойства......Page 103
2.2. Некоторые дополнительные свойства Π-операторов......Page 109
2.3. Π-операторы, порождаемые некоторыми классическими дифференциальными операциями......Page 113
§ 0. Вводные замечания......Page 115
§ 1. Оператор Dt − А; спектр......Page 116
§ 2. Оператор Dt − А; специальные граничные условия......Page 123
§ 3. Оператор Dt − А; классификация......Page 127
§ 4. Операторы, неразрешенные относительно Dt......Page 132
§ 5. Дифференциальные свойства решений операторного уравнения и примыкающие вопросы......Page 135
§ 6. Некоторые операторы с переменными коэффициентами в главной части......Page 139
§ 7. Заключительные замечания......Page 142
§ 0. Вводные замечания......Page 144
1.1. Элементарные формулы......Page 145
1.2. Общая схема......Page 146
1.3. Задача Коши......Page 147
1.4. Существование правильных операторов......Page 149
1.5. Задача Дирихле......Page 151
1.6. Использование стандартных условий......Page 154
2.0. Предварительные замечания......Page 155
2.1. Двучленные уравнения......Page 156
2.2. Общее операторное уравнение......Page 159
§ 1. Лемма о сужении области......Page 162
§ 2. Теорема существования правильного оператора......Page 164
3.1. Описание правильного оператора за счет подбора базиса......Page 169
3.2. Существование правильно подобранного базиса......Page 173
3.3. Окончательный результат......Page 174
§ 0. Вводные замечания......Page 176
§ 1. Построение операционного исчисления......Page 177
§ 2. Некоторые примеры......Page 184
§ 3. Необходимость ограничений на резольвенту......Page 188
Заключительные замечания......Page 192
Дополнение. О некоторых системах уравнений, содержащих малый параметр......Page 195
Литература......Page 205
[Обложка]......Page 209
