図式と操作的確率論による量子論

図式と操作的確率論による量子論
図式と操作的確率論による量子論・本文
まえがき
目次
表記
第1章　はじめに
1.1 図式と操作的確率論
1.1.1 図式を用いると何がうれしいか？
1.1.2 操作的確率論に基づくと何がうれしいか？
1.1.3 図式と操作的確率論の例
1.1.4 図式と操作的確率論の歴史的経緯
1.1.5 異なる表現を用いることの利点
1.2 本書の構成
ベクトル解析と行列での微分～図式を用いて楽に計算する～　2022.11.18
1. 線形代数の図式の基礎
2. ベクトル解析
3. 微分
第2章　線形代数
2.1 線形代数の図式
2.1.1 基本的な用語
2.1.2 行列
2.1.3 行列の積
2.1.4 共役転置・複素共役・転置
2.1.5 正規行列とスベクトル分解
2.1.6 行列のテンソル積
2.2 凸錐
2.2.1 凸錐の定義
2.2.2 凸錐による大小関係
2.2.3 双対錐と自己双対錐
2.3 表現と同型
2.3.1 表現と同型の定義
2.3.2 凸錐の例
第3章　操作論と図式の基礎
3.1 古典論と量子論におけるプロセスの例
3.1.1 古典論の場合
3.1.2 量子論の場合
3.2 操作論の規則
3.2.1 プロセス・状態・エフェクト
3.2.2 プロセスの直列接続と並列接続
3.2.3 恒等プロセス
3.2.4 交換プロセス
3.2.5 まとめ：操作論の規則
3.3 操作論の性質
3.3.1 特定のプロセスを含むダイアグラム
3.3.2 プロセスのスカラー倍とスカラーの積
第4章　エルミート行列・半正定値行列が作る操作論
4.1 cup列ベクトルとcap行ベクトル
4.1.1 定義と基本的な性質
4.1.2 トレース・部分トレース・部分転置の図式
4.1.3 テンソル積空間におけるcup列ベクトル
4.2 格上げと格下げ
4.2.1 行列の列ベクトルによる表現
4.2.2 シュミット分解
4.2.3 内積の図式
4.3 複素行列全体からなる空間
4.3.1 複素行列全体からなる複素ヒルベルト空間
4.3.2 複素行列に対する線形写像
4.3.3 格上げ・格下げに関する雑多な話題
4.4 エルミート行列全体からなる空間
4.4.1 エルミート行列全体からなる実ヒルベルト空間
4.4.2 エルミート保存な写像
4.4.3 正値写像とCP写像
4.4.4 エルミート行列が作る操作論
4.4.5 半正定値行列が作る操作論
4.5 格下げと2重化による表現
4.5.1 エルミート行列の表現
4.S.2 エルミート保存な写像の表現
4.5.3 エルミート行列全体からなる空間に関する高度な話題
コラム　実エルミート行列全体からなる空間
第5章　量子論の数学的構造
5.0 操作的確率論および量子論の入門 (2022.12.17)
表記
第1章 操作的確率論の基礎の基礎
1.1 はじめに
1.1.1 操作論の簡単な復習
1.1.2 物理操作のモデル化
1.1.3 プロセスの捉え方
1.1.4 主要な概念
1.2 スカラー
1.2.1 スカラーと確率との対応
1.2.2 プロセスを接続して得られるスカラーの解釈
1.3 状態
1.3.1 正規状態
1.3.2 一般的な状態
1.4 エフェクトと測定
1.4.1 エフェクトの等価性
1.4.2 確定的なエフェクト
1.4.3 測定
1.5 プロセスとテスト
1.5.1 確定的なプロセス
1.5.2 テスト
1.5.3 テストと状態
1.6 プロセスの等価性と和
1.6.1 プロセスの等価性
1.6.2 プロセスの和
1.7 参考：直観的なイメージ
1.8 確定的なプロセスやテストに関する性質
1.8.1 テストであるための必要十分条件
1.8.2 確定的なプロセスの確率的混合
1.8.3 テストの接続
1.8.4 確定的なプロセスとテストの関係
1.8.5 テストの接続の例
1.9 操作的確率論の線形代数による表現
1.9.1 プロセス空間はある実ベクトル空間の部分集合
1.9.2 操作的確率論が満たすべき線形代数としての性質
第2章 量子論の基礎
2.1 状態空間の具体例
2.1.1 スピンの測定
2.1.2 実験事実
2.1.3 実験事実からわかること
2.1.4 ブロッホ球による表現
2.1.5 密度行列による表現
2.1.6 一般の状態
2.1.7 ほかの系の状態空間
2.2 CP写像の復習
2.3 量子論の定義
2.3.1 操作的確率論に基づく定義
2.3.2 参考：操作論に基づく定義
2.4 状態
2.4.1 一般的な状態
2.4.2 純粋状態と混合状態
2.4.3 純粋状態の別表現
2.5 エフェクトと測定
2.5.1 エフェクトを表すCP写像
2.5.2 エフェクト
2.5.3 測定
2.6 プロセスとテスト
2.6.1 CP写像の表現
2.6.2 確定的なプロセス
2.6.3 プロセス
2.6.4 テスト
2.7 量子論であるための必要十分条件
2.7.1 状態空間を特定したときの操作的確率論
2.7.2 ユニタリプロセスとPVM測定による表現
2.7.3 量子論の数学的構造はどこが特徴的なのか？
2.8 さらなる情報
索引
5.1 確率の概念を備える操作論
5.1.1 古典論・量子論に関する表記法
5.1.2 確率の概念を備える操作論における要請
5.1.3 測定
5.1.4 テスト
5.1.5 実現可能なプロセスのみからなる理論
5.2 古典論
5.2.1 古典論の定義
5.2.2 古典論の確率的な解釈
5.2.3 古典操作論の別の定義
5.2.4 ベクトル表現と行列表現
コラム　列ベクトルが作る操作論
5.3 量子論
5.3.1 量子論の定義
5.3.2 量子論の定義や捉え方に関する本書の立場
5.3.3 量子論の確率的な解釈
5.3.4 標準的な量子論の用語との対応関係
コラム　実半正定値対称行列ではダメなのか？
第6章　操作的確率論の基礎
6.1 テストと因果関係
6.1.1 テスト
6.1.2 実現可能なプロセス
6.1.3 プロセス間の因果関係
6.2 ブロセスと確率の関係
6.2.1 プロセスを施す確率
6.2.2 放棄エフェクト
6.2.3 実現不可能なプロセス
6.2.4 テストと確率
6.2.5 測定
6.2.6 観測者に依存する確率
6.3 プロセスの等価性と局所等価性
6.3.1 プロセスの等価性
6.3.2 状態の等価性
6.3.3 エフェクトの等価性
6.3.4 プロセスの局所等価性
6.3.5 可逆プロセス
6.4 プロセスの和
6.4.1 プロセスの和の定義
6.4.2 ブロセスのスカラー倍や和に関する性質
6.5 プロセスの拡張
6.5.1 プロセス空間が張る実ベクトル空間
6.5.2 拡張プロセス
コラム　なぜ標準的な量子論では状態を実列ベクトルで表現しないのか？
6.6 まとめ：操作的確率論における要請
第7章　操作的確率論の性質
7.1 プロセス空間と凸錐
7.1.1 プロセス空間は突凸錐
7.1.2 プロセス空間の性質
7.1.3 正規状態・正規純粋状態全体からなる空間
7.2 完全識別可能な状態の組
7.2.1 エフェクトの反応
7.2.2 PDSとMPDS
7.2.3 系のランク
7.2.4 MPDSと極大測定の例
7.2.5 古典系および量子系の状態空間
7.3 確定的なプロセスと実現可能なプロセスの性質
7.3.1 テストと確定的なプロセス
7.3.2 実現可能なプロセス
7.3.3 ゲージ関数とノルム
7.3.4 テストを表すプロセス
7.4 雑多な話題
7.4.1 複数の観測者がいる場合のダイアグラム
7.4.2 確率の解釈について
7.4.3 複素ヒルベルト空間の背後に隠れた量子論の本質的な構造や性質 とは何か？
7.4.4 量子論および広義量子論の特徴
第8章　量子論の性質
8.1 プロセスのChoi状態による表現
8.1.1 cup状態とcapエフェクト
8.1.2 Choi状態
8.1.3 プロセスとChoi状態との関係
8.2 ブロセスの基礎
8.2.1 プロセスの随伴・複素共役・転置
8.2.2 プロセスのシュタインスブリング表現
8.2.3 プロセスの例
8.2.4 量子テレポーテーション
8.3 もつれと相関
8.3.1 もつれ状態
8.3.2 ベル非局所相関と操縦可能性
8.3.3 ウィットネス
8.4 ロバストネスとその応用
8.4.1 ロバストネス
8.4.2 プロセス識別問題
8.4.3 状態識別問題
付録A. 線形代数の基礎
A.1 ベクトル空間
A.2 ヒルベルト空間
A.3 正規行列とスベクトル分解
A.4 エルミート行列・半正定値行列・ユニタリ行列
A.5 凸集合・ノルム・ゲージ関数・内積
A.6 テンソル積
付録B. 図式での表記
付録C. 操作的確率論と量子論の対応関係
参考文献
索引
奥付
補足スライド1. 書籍の紹介
補足スライド2. 図式で学ぶ線形代数(2022.12)
1. 図式の基礎と線形代数の基礎
2. スベクトル分解と特異値分解
3. テンソル積およびトレース・転置・内積
4. 行列が作るヒルベルト空間
補足スライド3. 図式で学ぶ量子論(2022.12)
1. 操作論と量子論
2. CP写像
3. 確率論としての古典論・量子論
4. プロセスの表現
図式と操作的確率論による量子論（Web 補遺）2022.12.18
表記
第1章 広義量子論の基礎
1.1 直和
1.1.1 直和空間
1.1.2 直和空間の表現
1.1.3 線形写像の直和
1.1.4 直和の性質
1.2 エルミート行列全体から成る空間の直和
1.2.1 直和空間とデコヒーレンス写像
1.2.2 直和空間から直和空間への線形写像
1.2.3 エルミート行列が作る操作論
1.3 広義量子論
1.3.1 広義量子論の定義
1.3.2 量子論ではなく広義量子論が必要な理由
1.3.3 古典系でも量子系でもない系の例
1.3.4 広義量子論における本質的な構造
第2章 広義量子論の性質
2.1 古典系を入出力に含むプロセス
2.1.1 cup状態とcapエフェクト
2.1.2 純粋・等長・ユニタリ
2.1.3 セクターによる分解
2.1.4 分離可能なプロセス
2.1.5 制御付きプロセス
2.1.6 情報を漏らすプロセス
2.2 ダイアグラム
2.2.1 n-プロセス
2.2.2 n-プロセスのChoi状態
2.2.3 マルチショットのプロセス識別問題
2.2.4 プロセスのコピー不可能性
2.2.5 因果律を満たさないかのような n-プロセス
第3章 広義量子論の導出
3.1 導出の大まかな流れ
3.1.1 4個の要請
3.1.2 導出の流れ
3.2 PDSに関する基本的な性質
3.2.1 正規純粋状態と極大エフェクトの双対性
3.2.2 凸錐の面
3.2.3 対称シャープから導かれる性質
3.2.4 対称シャープと完全混合性から導かれる性質
3.3 状態空間の対称性
3.3.1 対称錐の定義
3.3.2 射影プロセス
3.3.3 スペクトル分解可能性
3.3.4 自己双対性
3.3.5 等質性と対称性
3.3.6 エフェクト空間は状態空間の双対錐
3.3.7 広義量子論の任意のプロセス空間は対称錐
3.4 ユークリッドジョルダン代数（EJA）
3.4.1 EJAの定義
3.4.2 EJAの基本的な性質
3.4.3 EJAの直和分解と単純分解
3.4.4 状態空間のEJAの正錐としての性質
3.5 広義量子論
3.5.1 局所等価性から導かれる性質
3.5.2 合成系の基本的な性質
3.5.3 合成系の状態空間の単純分解
3.5.4 状態空間 StA は PosA に同型
3.5.5 プロセス空間 ProcAB はPosAB に同型
3.5.6 古典論および量子論
3.5.7 広義量子系であるための条件
参考文献
[23]
索引
正誤表
BackCover
Boosting vector calculus with the graphical notation(2019), Joon-Hwi Kim, Maverick S. H. Oh, and Keun-Young Kim.
Boosting Vector Differential Calculus with the Graphical Notation
Abstract
I Introduction
II Graphical Vector Algebra
A Motivation and Basic Rules
B Meet the Kronecker Delta
C Meet the Cross Product Machine
D Triple Products
III Graphical Vector Calculus
A The Basics
B First Derivative Identities
1 div (A cross B)
2 curl (A cross B)
3 grad (A dot B)
C Second and Higher-order Derivative Identities
IV Practical Examples
A The Economy of the Graphical Notation: The Same Diagram, Different Readings
B Cross Your Fingers
C Identities Involving r
D A First Look on Tensors
V Conclusions
VI Acknowledgement
References