Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques

    Ce texte est une introduction à l’étude des groupes de Lie, destinée à des étudiants de maîtrise et de l’agrégation. C’est un bon ouvrage de référence pour les propriétés les plus fondamentales concernant les groupes classiques, qui n’existait pas jusqu’à présent.     Les auteurs y introduisent toutes les notions de base de la théorie des groupes de Lie et donnent de nombreux exemples permettant de comprendre ces notions. Ce livre est une aide précieuse pour tout mathématicien désirant aborder les recherches les plus récentes sur les groupes de Lie. Table des matières : 1. Les premières propriétés des groupes GL(n, K) (K = ℝ ou ℂ)     1.1. Introduction     1.2. Normes sur M_n(K)     1.3. La topologie de GL(n, K)     1.4. Densité de GL(n, K). Applications     1.5. Connexité     1.6. La décomposition polaire de GL(n, ℝ)     1.7. La décomposition polaire de GL(n, ℂ)     Exercices 2. Groupes topologiques opérant sur un ensemble. Application à l’étude de la topologie de GL(n, K)     2.1. Introduction     2.2. Groupes opérant sur un ensemble ; aspect algébrique     2.3. Groupes opérant sur un ensemble ; aspect topologique     2.4. Propriétés des groupes topologiques     2.5. Démonstration du théorème 2.3.2     2.6. Applications     2.7. Étude d’ensembles de matrices définis par des conditions sur le polynôme minimal     2.8. Décompositions     Exercices 3. La fonction exponentielle. Applications     3.1. Introduction     3.2. Définition et premières propriétés     3.3. Inversion de l’exponentielle     3.4. Étude des sous-groupes fermés de GL(n, K)     3.5. Groupes pseudo-algébriques     3.6. Théorème de point fixe de Kakutani. Mesure de Haar sur un groupe compact     3.7. Groupes algébriques     3.8. Différentielle de l’exponentielle. Applications     3.9. Étoile d’un groupe linéaire réel relative à un plongement     3.10. Sous-algèbres de Cartan     Exercices 4. Étude des groupes orthogonaux     4.1. Introduction     4.2. Réduction de l’étude de O(p, q) à celle de O(n)     4.3. Composante neutre du groupe O(p, q). Le groupe orthochrone SO₀ (p,q)     4.4. Rappels : homotopie et groupe fondamental     4.5. Le revêtement SU(2) → SO(3)     4.6. Groupe fondamental de SO(n)     4.7. Algèbres de Clifford ; groupe des spineurs     4.8. Groupe fondamental de O(p, q)     4.9. Topologie et structure du groupe SO(4)     4.10. Structure différentiable de l’espace homogène G/H     Appendice 4.A. : Fibrations     Appendice 4.B. : Sous-groupes de Lie, sous-algèbres de Lie     Appendice 4.C. : La formule de Campbell-Hausdorff     Exercices 5. Étude des groupes unitaires. Géométries réelle et symplectique associées     5.1. Introduction     5.2. Étude de U(n)     5.3. Étude de U(p, q)     5.4. Un théorème de H. Weyl sur les fonctions analytiques sur GL(n, ℂ)     5.5. Espaces vectoriels réels et complexes     5.6. Produits scalaire et symplectique associés à un produit hermitien     5.7. L’ensemble H des structures hermitiennes associées à un espace symplectique     5.8. L’espace affine L_F     5.9. Structure de l’espace £(V) des lagrangiens de V     Appendice 5.A. : L’ensemble des structures hermitiennes associées à un espace euclidien de dimension 2n     Appendice 5.B. : Formes quadratiques sur un espace vectoriel complexe     Exercices 6. Étude des groupes symplectiques     6.1. Introduction     6.2. Étude du groupe Sp(n, ℝ)     6.3. L’ensemble H des structures hermitiennes complexes (cf. 5.7.) : une autre approche     6.4. Étude de L_F     6.5. Étude de Sp(n, ℂ)     6.6. L’espace des lagrangiens d’un espace symplectique complexe de dimension 2n     6.7. Les groupes de petite dimension     6.8. Centralisateurs et connexité     Appendice 6.A. : Espaces symétriques     Exercices 7. Intégration sur les variétés. Polynômes harmoniques     7.1. Introduction     7.2. Orientations et intégrations sur un espace vectoriel V de dimension finie     7.3. Variétés orientables : définitions et exemples     7.4. Formule de changement de variables ; commentaires et applications     7.5. Intégration sur les variétés riemaniennes     7.6. Variétés à bord. Formule de Stokes     7.7. L’espace L²(Sⁿ⁻¹) et les polynômes harmoniques     Exercices Problèmes