Учебное пособие. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2012. — 204 с.
В книге дано современное построение теории комплексного числа как элемента поля, составленного из пар действительных чисел. Среди отображений комплексной плоскости выделяются как объект глубокого изучения голоморфные отображения, имеющие многочисленные применения в математике и составляющие важную часть аналитического аппарата во многих областях науки благодаря, в частности, интегральным теоремам. Изложены методы вычисления интегралов, основанные на этих теоремах. Доказаны основные теоремы о разложениях целых и мероморфных функций, о свойствах гамма-функции Эйлера. Исследуются многозначные функции как однозначные на римановых поверхностях.
Для студентов университетов, а также для специалистов в разных областях науки, желающих ознакомиться с основными положениями вводной части комплексного анализа.Предисловие.
Множество комплексных чисел.
Поле. Поле действительных чисел.
Поле комплексных чисел.
Комплексная плоскость С.
Расширенная комплексная плоскость С.
Пространства над полем С и над С.
Задачи.
Комплексная функция действительного и комплексного переменного.
Комплексная функция действительного переменного.
Комплексная функция комплексного переменного.
Интеграл.
Задачи.
Простейшие функции.
Степень и корень.
Многочлен и рациональная функция.
Показательная функция и логарифм.
Общая степенная функция.
Гиперболические и обратные гиперболические функции.
Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Задачи.
Интегральные теоремы.
Интегральная теорема Коши.
Распространение интегральной теоремы Коши на многосвязные области.
Пример применения интегральной теоремы Коши к вычислению интегралов.
Интегральная формула Коши.
Первообразная для голоморфной функции.
Разложение голоморфной функции в степенной ряд.
Разложение голоморфной функции в ряд Лорана.
Точки нарушения голоморфности функции.
Теорема Коши о вычетах.
Задачи.
Целые и мероморфные функции.
Разложение целой функции на первичные множители.
Разложение мероморфной функции на простейшие дроби.
Примеры применения теоремы Миттаг-Леффлера.
Гамма-функция Эйлера.
Задачи.
Литература.
