Analysis fur technische Oberschulen: Ein Lehr- und Arbeitsbuch

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Analysis für technische Oberschulen, 8. Auflage......Page 3
Vorwort......Page 5
Inhaltsverzeichnis......Page 6
Mathematische Zeichen und Begriffe......Page 9
Teil A: Analysis......Page 13
Die natürlichen Zahlen......Page 14
Ganze Zahlen......Page 15
Rationale Zahlen......Page 16
Der Kehrwert......Page 17
Irrationale Zahlen......Page 18
Reelle Zahlen......Page 20
1.1.2 Lagebeziehungen reeller Zahlen......Page 23
Intervalle......Page 24
Absoluter Betrag......Page 25
1.2.1 Der binomische Satz......Page 27
Grundlagenwiederholung......Page 31
Lineare Gleichungssysteme......Page 35
LGS mit 2 Variablen......Page 37
LGS mit 3 Variablen......Page 38
3-reihige Determinanten......Page 39
Lineare Ungleichungen......Page 41
Quadratische Gleichungen......Page 43
Linearfaktorenzerlegung......Page 45
Exponentialgleichungen......Page 47
2.1.1 Paarmengen......Page 51
Graphische Darstellung von Paarmengen......Page 52
Die R2-Ebene......Page 53
Funktionen als Spezialfall von Relationen......Page 54
Definitions- und Wertemenge......Page 55
Reelle Funktionen......Page 56
Die Gerade als Graph linearer Funktionen......Page 59
Anwendung linearer Funktionen......Page 64
Nullstellen linearer Funktionen......Page 66
Schnittpunkt zweier Geraden......Page 68
Schnittwinkel zweier Geraden – Orthogonalität......Page 70
Erstellung linearer Funktionen......Page 75
* Länge einer Strecke......Page 80
* Abstand Punkt - Gerade......Page 81
*Dreiecksfläche......Page 82
Die Normalparabel......Page 86
Allgemeine Form der Scheitelgleichung......Page 89
Nullstellen quadratischer Funktionen......Page 92
Schnittpunkte Gerade – Parabel......Page 95
Schnittpunkte Parabel – Parabel......Page 99
Erstellung quadratischer Funktionen......Page 100
*Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen......Page 103
*Parabelsegmentfläche......Page 105
*2.2.3 Lineare und quadratische Betragsfunktionen......Page 106
2.3.1 Reine Potenzfunktionen......Page 107
2.3.2 Ganzrationale Funktionen als verknüpfte Potenzfunktionen......Page 108
2.3.3 Nullstellen ganzrationaler Funktionen......Page 110
Funktionstermumformung durch Ausklammern......Page 111
Biquadratische Funktionsterme......Page 113
Funktionstermumformung mittels Polynomdivision......Page 114
2.3.4 Kurvenverlauf und Symmetrie......Page 121
2.4.1 Umkehrfunktionen (Umkehrrelationen)......Page 125
2.4.2 Wurzelfunktionen im engeren Sinn......Page 130
Das Bogenmaß eines Winkels......Page 132
Die Sinus- und Kosinusfunktion......Page 133
Additionstheoreme des Sinus und Kosinus......Page 136
Die Tangens- und Kotangensfunktion......Page 138
2.5.2 Die allgemeine Sinusfunktion......Page 141
3.1.1 Folge als Funktion......Page 145
2. Die beschreibende Form......Page 147
3. Die rekursive Form......Page 148
Monotone Folgen......Page 149
* Beschränkte Folgen......Page 150
3.1.4 Reihen......Page 151
Das Bildungsgesetz......Page 153
*Arithmetische Folgen als lineare Funktionen......Page 154
Die Summenformel der arithmetischen Reihe......Page 156
* Vollständige Induktion......Page 157
Das Bildungsgesetz......Page 160
Die Summenformel der geometrischen Reihe......Page 146
Grenzwertverhalten der GF für |q| < 1......Page 167
Grenzwertverhalten der GR für |q| < 1......Page 169
Uneigentliches Grenzwertverhalten für |q| > 1......Page 171
Das Grenzwertverhalten harmonischer Folgen......Page 174
Definition des Grenzwertes und 1. Konvergenzkriterium......Page 176
4.1.1 Erfordernis diverser Grenzwertbetrachtungen......Page 177
Grenzwertbetrachtungen zu f(x) =1/x
......Page 179
Grenzwerte für x
± ∞......Page 181
Grenzwerte für x →x0 mittels Testfolge
......Page 183
*4.1.3 Anwendung auf Kurvenuntersuchungen einfacher gebrochen-rationalerFunktionen......Page 188
4.2.1 Begriff der Stetigkeit......Page 195
4.2.2 Globale Stetigkeit......Page 198
5.1.1 Die Differenzenquotientenfunktion......Page 199
Das Tangentensteigungsverhalten der Normalparabel......Page 200
5.1.2 Allgemeine Definition des Differentialquotienten......Page 203
Potenzregel......Page 204
Faktoren- und Konstantenregel......Page 206
Summenregel......Page 207
Bild 5.8......Page 208
*5.1.4 Differenzierbarkeit und Stetigkeit......Page 210
*5.1.5 Anwendung in der Physik......Page 211
Momentangeschwindigkeit und -beschleunigung......Page 212
5.1.6 Newton’sches Näherungsverfahren......Page 214
5.2 Anwendung auf Kurvenuntersuchungen......Page 215
5.2.1 Extremstellen von Funktionen – Krümmungsverhalten......Page 216
Linkskurve: Tiefpunkt......Page 218
Rechtskurve: Hochpunkt......Page 219
5.2.2 Wendepunkte......Page 220
Verlaufsschema für Kurvendiskussionen ganzrationaler Funktionen......Page 225
5.2.4 Funktionssynthese......Page 230
5.3 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen......Page 233
Vorbemerkungen......Page 240
Flächeninhaltsfunktion......Page 241
Verallgemeinerung......Page 245
Das bestimmte Integral als Operator......Page 246
Hauptsatz der Infinitesimalrechnung......Page 247
Potenzregel......Page 248
Das bestimmte Integral für f(x) < 0......Page 249
Integrierbarkeit......Page 250
Integrationsregeln......Page 251
Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse......Page 253
Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen......Page 256
Rotationsvolumen......Page 260
*6.2 Die Integration als Umkehrung der Differentiation......Page 262
6.2.1 Stammfunktion und unbestimmtes Integral......Page 263
Integrationsregeln......Page 264
6.2.2 Die Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen......Page 266
7.1.1 Produktregel......Page 267
7.1.2 Quotientenregel......Page 268
7.1.3 Kettenregel......Page 269
7.2 Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen......Page 273
Schiefe Asymptoten......Page 277
Integration gebrochen-rationaler Funktionen......Page 282
7.3.1 Die Differentiation der trigonometrischen Grundfunktionen......Page 285
Die Ableitungen des Sinus und Kosinus......Page 287
Die Ableitungen des Tangens und Kotangens......Page 288
7.3.2 Zusammengesetzte trigonometrische Funktionen......Page 290
7.4.1 Allgemeine Exponentialfunktionen......Page 293
Diskretes exponentielles Wachstum: Zinseszinsrechnung......Page 295
Kontinuierliches exponentielles Wachstum: Unterjährige Verzinsung......Page 297
Die e-Funktion......Page 299
Die Zerfallsformel......Page 301
7.4.4 Kurvendiskussion verknüpfter e-Funktionen......Page 305
Integration verknüpfter e-Funktionen......Page 306
*7.5 Krümmung und Krümmungsradius einer Kurve......Page 308
Teil B: Analytische Geometrie......Page 313
8.1.2 Der Vektorbegriff......Page 314
Vektor und Gegenvektor......Page 316
Kollinearität......Page 317
Freie, linientreue, gebundene Vektoren......Page 318
8.1.4 Vektoren im Anschauungsraum......Page 319
Ortsvektor......Page 320
Ortsvektoren......Page 322
Betrag des Vektors......Page 323
Vektoraddition......Page 325
Vektorsubtraktion......Page 327
Vektoraddition und -subtraktion im Anschauungsraum......Page 331
8.2.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (S-Multiplikation)......Page 335
S-Multiplikation im Anschauungsraum......Page 336
Komponentendarstellung von Vektoren......Page 338
* S-Multiplikation in der Geometrie (Teilungsverhältnisse)......Page 343
8.3.1 Das Skalarprodukt......Page 345
Skalarprodukt für Vektoren des Anschauungsraumes......Page 348
Winkel zwischen zwei Vektoren......Page 349
Flächenberechnung eines Parallelogramms......Page 350
Flächenberechnung eines Dreiecks im R2......Page 351
* Anwendung des Skalarproduktes in der Geometrie......Page 355
8.3.2 Das Vektorprodukt......Page 356
Vektorprodukt für Vektoren des Anschauungsraumes......Page 358
Geometrische Veranschaulichung des Vektorproduktes......Page 359
8.3.3 Das Spatprodukt......Page 361
Spatprodukt für Vektoren des Anschauungsraumes......Page 362
Punkt-Richtungsform......Page 364
Geraden im Anschauungsraum......Page 365
Inzidenznachweis......Page 367
Schnittpunkt Gerade – Koordinatenachsen-Ebenen im R3......Page 368
Schnittpunkt zweier Geraden im R2......Page 370
Schnittpunkt zweier Geraden im R3......Page 371
9.1.4 Abstand Punkt – Gerade......Page 373
Alternativlösung ohne Kenntnis von Skalarprodukt und Orthogonalitätsbedingung......Page 374
9.1.5 Abstand windschiefer Geraden......Page 376
Dreipunkte-Form......Page 378
Die Ebene im Anschauungsraum......Page 379
9.2.2 Koordinatenform der Ebenengleichung......Page 380
9.2.3 Schnittpunkt Gerade – Ebene......Page 382
9.2.4 Abstand Punkt – Ebene......Page 384
10.1.1 Zahlenbereichserweiterung von R auf C......Page 386
Gleichheit......Page 387
10.2.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen......Page 388
10.2.2 Multiplikation komplexer Zahlen......Page 389
10.2.3 Division komplexer Zahlen......Page 390
Ausblick......Page 391
Sachwortverzeichnis......Page 394