Что такое математика. Элементарный очерк идей и методов

Обложка ......Page 1
Титульная страница ......Page 2
Авторское право ......Page 3
Оглавление ......Page 4
Предисловие к третьему изданию на русском языке ......Page 11
Предисловие ко второму изданию на русском языке ......Page 13
К русскому читателю ......Page 15
Посвящение ......Page 16
Предисловие к первому изданию ......Page 17
Предисловие ко второму, третьему и четвертому изданиям ......Page 19
Как пользоваться книгой ......Page 20
Что такое математика ......Page 21
Введение ......Page 26
1. Законы арифметики ......Page 27
2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация) ......Page 29
3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления ......Page 32
1. Принцип математической индукции ......Page 35
2. Арифметическая прогрессия ......Page 38
3. Геометрическая прогрессия ......Page 39
4. Сумма n первых квадратов ......Page 40
*6. Биномиальная теорема ......Page 41
7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции ......Page 44
1. Основные факты ......Page 46
2. Распределение простых чисел ......Page 50
а. Формулы, дающие простые числа ......Page 51
б. Простые числа в арифметuческих прогрессиях ......Page 52
в. Теорема о распределении простых чисел ......Page 53
г. Две еще не решенные задачи о простых числах ......Page 56
1. Общие понятия ......Page 58
2. Теорема Ферма ......Page 62
3. Квадратические вычеты ......Page 64
§ 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма ......Page 66
1. Общая теория ......Page 68
2. Применение к основной теореме арифметики ......Page 72
3. Функция Эйлера phi(n). Еще раз о теореме Ферма ......Page 73
4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения ......Page 75
1. Рациональные числа как средство измерения ......Page 78
2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения ......Page 80
3. Геометрическое представление рациональных чисел ......Page 83
1. Введение ......Page 84
2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные ......Page 87
3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии ......Page 90
4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби ......Page 93
5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков ......Page 95
*6. Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения ......Page 98
1. Основной принцип ......Page 100
2. Уравнения прямых и кривых линий ......Page 101
1. Основные понятия ......Page 105
2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума ......Page 107
3. «Кардинальные числа» Кантора ......Page 111
4. Косвенный метод доказательства ......Page 114
5. Парадоксы бесконечного ......Page 115
6. Основания математики ......Page 116
1. Возникновение комплексных чисел ......Page 117
2. Геометрическое представление комплексных чисел ......Page 121
3. Формула Муавра и корни из единицы ......Page 126
*4. Основная теорема алгебры ......Page 128
1. Определение и вопросы существования ......Page 131
**2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел ......Page 132
1. Общая теория ......Page 135
2. Применение к математической логике ......Page 140
3. Одно из применений к теории вероятностей ......Page 142
Введение ......Page 144
1. Построение полей и извлечение квадратных корней ......Page 147
2. Правильные многоугольники ......Page 150
3. Проблема Аполлония ......Page 152
1. Общая теория ......Page 154
2. Все числа, допускающие построение - алгебраические ......Page 161
1. Удвоение куба ......Page 162
2. Одна теорема о кубических уравнениях ......Page 163
3. Трисекция угла ......Page 165
4. Правильный семиугольник ......Page 166
1. Общие замечания ......Page 168
2. Свойства инверсии ......Page 170
3. Геометрическое построение обратных точек ......Page 172
4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля ......Page 173
* 1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба ......Page 174
2. Построения с помощью одного циркуля ......Page 175
3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды ......Page 180
*4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гapтa ......Page 183
1. Инвариантность углов. Семейства окружностей ......Page 186
2. Применение к проблеме Аполлония ......Page 188
3. Повторные отражения ......Page 190
1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при прео6разованиях ......Page 192
2. Проективные преобразования ......Page 194
1. Группа проективных преобразований ......Page 195
2. Теорема Дезарга ......Page 197
1. Определение и доказательство инвариантности ......Page 199
2. Применение к полному четырехстороннику ......Page 206
1. «Идеальные» бесконечно удаленные точки ......Page 207
2. Идеальные элементы и проектирование ......Page 210
3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами ......Page 212
1. Предварительные замечания ......Page 213
2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга ......Page 214
3. Теорема Паскаля ......Page 216
5. Замечание по поводу двойственности ......Page 217
1. Вводные замечания ......Page 218
*2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности ......Page 220
§ 7. Задачи на построение с помощью одной линейки ......Page 224
1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений ......Page 225
2. Проективные свойства конических сечений ......Page 228
3. Конические сечения как «линейчатые кривые» ......Page 232
4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений ......Page 237
5. Гиперболоид ......Page 239
1. Аксиоматический метод ......Page 241
2. Гиперболическая неевклидова геометрия ......Page 245
3. Геометрия и реальность ......Page 250
4. Модель Пуанкаре ......Page 251
5. Эллиптическая, или риманова, геометрия ......Page 252
1. Введение ......Page 254
2. Аналитический подход ......Page 255
*3. Геометрический, или комбинаторный, подход ......Page 257
Введение ......Page 262
§ 1. Формула Эйлера для многогранников ......Page 263
1. Топологические свойства ......Page 268
2. Свойства связности ......Page 270
1. Теорема Жордана о замкнутой кривой ......Page 271
2. Проблема четырех красок ......Page 272
*3. Понятие размерности ......Page 274
4. Теорема о неподвижной точке ......Page 278
5. Узлы ......Page 282
1. Род поверхности ......Page 283
*2. Эйлерова характеристика поверхности ......Page 284
3. Односторонние поверхности ......Page 286
*1. Проблема пяти красок ......Page 291
2. Теорема Жордана для случая многоугольников ......Page 293
*3. Основная теорема алгебры ......Page 296
Введение ......Page 300
1. Определения и примеры ......Page 301
2. Радианная мера углов ......Page 305
3. График функции. Обратные функции ......Page 306
4. Сложные функции ......Page 310
5. Непрерывность ......Page 311
*6. Функции нескольких переменных ......Page 314
*7. Функции и преобразования ......Page 316
1. Предел последовательности a_n ......Page 318
2. Монотонные последовательности ......Page 323
3. Число Эйлера e ......Page 326
4. Число pi ......Page 328
*5. Непрерывные дроби ......Page 329
1. Введение. Общие определения ......Page 331
2. 3амечания по поводу понятия предела ......Page 333
3. Предел sin(x)/x ......Page 335
4. Пределы при x -> inf ......Page 337
§ 4. Точное определение непрерывности ......Page 338
1. Теорема Больцано ......Page 340
*2. Доказательство теоремы Больцано ......Page 341
3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях ......Page 342
*4. Теорема о последовательностях. Компактные множества ......Page 343
1. Геометрические применения ......Page 345
*2. Применение к одной механической проблеме ......Page 348
1. Общие замечания ......Page 350
2. Предел q^n ......Page 351
3. Предел p^(1/n) ......Page 352
4. Разрывные функции как предел непрерывных ......Page 353
*5. Пределы при итерации ......Page 354
§ 2. Пример, относящийся к непрерывности ......Page 356
Введение ......Page 358
2. Теорема Гepoнa. Экстремальное свойство световых лучей ......Page 359
3. Применения к задачам о треугольниках ......Page 361
4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства ......Page 362
*5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой ......Page 365
1. Принцип ......Page 367
2. Примеры ......Page 369
1. Экстремальные и стационарные точки ......Page 370
2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки ......Page 372
3. Точки минимакса и топология ......Page 374
4. Расстояние точки от поверхности ......Page 375
1. Доказательство, предложенное Шварцем ......Page 376
2. Другое доказательство ......Page 378
3. Тупоугольные треугольники ......Page 380
*5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение ......Page 381
1. Проблема и ее решение ......Page 383
2. Анализ возникающих возможностей ......Page 384
4. Замечания и упражнения ......Page 387
5. Обобщение: проблема уличной сети ......Page 388
1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных величин ......Page 390
2. Обобщение на случай n переменных ......Page 391
3. Метод наименьших квадратов ......Page 393
1. Общие замечания ......Page 395
2. Примеры ......Page 397
3. Экстремальные проблемы элементарного содержания ......Page 399
4. Трудности, возникающие в более сложных случаях ......Page 400
§ 8. Изопериметрическая проблема ......Page 402
*§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой ......Page 405
1. Введение ......Page 408
2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике ......Page 409
3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли ......Page 412
4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы ......Page 413
1. Введение ......Page 414
2. Опыты с мыльными пленками ......Page 415
3. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато ......Page 416
4. Экспериментальные решения других математических проблем ......Page 420
Введение ......Page 426
1. Площадь как предел ......Page 427
2. Интеграл ......Page 428
3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение ......Page 432
4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции x^r ......Page 434
5. Правила «интегрального исчисления» ......Page 439
1. Производная как наклон ......Page 443
2. Производная как предел ......Page 444
3. Примеры ......Page 447
4. Производные от тригонометрических функций ......Page 450
6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение ......Page 451
7. Геометрический смысл второй производной ......Page 454
8. Максимумы и минимумы ......Page 455
§ 3. Техника дифференцирования ......Page 456
§ 4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые» ......Page 462
1. Основная теорема ......Page 464
2. Первые применения. Интегрирование функций x^r, cos(x), sin(x). Функция arctg(x) ......Page 468
3. Формула Лейбница для pi ......Page 470
1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e ......Page 472
2. Показательная (экспоненциальная) функция ......Page 475
3. Формулы дифференцирования функций e^x, a^x, x^s ......Page 477
4. Явные выражения числа e и функций e^x и ln(x) в виде пределов ......Page 478
5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов ......Page 481
1. Определения ......Page 483
2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты ......Page 484
3. Другие примеры. Простые колебания ......Page 488
4. Закон движения Ньютона ......Page 489
1. Дифференцируемость ......Page 492
2. Интеграл ......Page 494
3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой ......Page 495
1. Показательная функция и степени переменного x ......Page 499
2. Порядок возрастания функции ln(n!) ......Page 501
1. Бесконечные ряды функций ......Page 502
2. Формула Эйлера cos(x) + i*sin(x) = e^(i*x) ......Page 507
3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin(x) в виде бесконечного произведения ......Page 509
*§ 4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода ......Page 512
Арифметика и алгебра ......Page 518
Аналитическая геометрия ......Page 520
Проективная и неевклидова геометрия ......Page 526
Топология ......Page 528
Функции, пределы, непрерывность ......Page 531
Максимумы и минимумы ......Page 532
Дифференциальное и интегральное исчисления ......Page 534
Техника интегрирования ......Page 536
Добавление 1. Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке ......Page 542
Добавление 2. О создании книги «Что такое математика?» ......Page 545
Общие вопросы математики ......Page 552
Принцип математической индукции, теория множеств, математическая логика ......Page 553
Алгебра и теория чисел ......Page 554
Геометрия ......Page 555
Математический анализ ......Page 556
Теория вероятностей ......Page 557
А, Б, В, Г ......Page 558
Д, Е, Ж ......Page 559
З, И, К ......Page 560
Л, М, Н, О ......Page 561
П ......Page 562
Р, С, Т ......Page 563
У, Ф, Ц, Ч, Ш, Э ......Page 564
Библиографическое описание ......Page 566
Книги по математике для школьников и учителей издательства МЦНМО ......Page 567
Задняя обложка ......Page 570