Eléments de la théorie des systèmes différentiels géométriques : Cours du CIMPA, Ecole d'été de Séville 1996

Résumé : La théorie des systèmes différentiels géométriques est l'étude des Modules cohérents sur l'Anneau des opérateurs différentiels sur une variété analytique ou algébrique. Elle intervient dans de nombreuses branches des mathématiques: géométrie algébrique, arithmétique, groupes et algèbres de Lie, topologie algébrique des singularités... Ce livre est le résultat de la rédaction de plusieurs cours donnés lors d'une école du C.I.M.P.A. en septembre 1996. Il veut offrir au lecteur, par la prise en compte des éléments les plus récents de la théorie, une synthèse des nombreux articles de recherche sur ce sujet. Ainsi, la plupart des cours ont été écrits pour être lus par des étudiants commençant la recherche mathématique. Mots clefs : $\mathcal {D}$-module, bases de Gröbner, complexe de de Rham, connexions méromorphes régulières, cycle caractéristique, cycles évanescents, dualité, dualité de Grothendieck-Verdier, filtration, V-filtration, foncteur image inverse, indice, irrégularité, faisceau d'irrégularité, modules holonomes, modules spécialisables, monodromie, opérateur différentiel d'ordre infini, pentes, positivité, régularité, critère fondamental de la régularité, réseau canonique, théorème de comparaison, théorème de division Abstract: Elements of the theory of geometric differential systems The theory of geometric differential systems consists in the study of coherent Modules on the Ring of differential operators on a complex analytic or algebraic manifold. It is used in various branches of mathematics: algebraic geometry, arithmetics, Lie groups and Lie algebras, algebraic topology of singularities... This book contains the texts of lectures given at a C.I.M.P.A. summer school in september 1996. It offers a complete survey of the theory, taking into account the most recent advances. Most of the lectures are aimed at young researchers. Key words: $\mathcal {D}$-module, canonical lattice, characteristic cycle, comparison theorem, de Rham complex, division theorem, duality, filtration, V-filtration, Gröbner basis, Grothendieck-Verdier duality, holonomic modules, index, infinite order differential operator, inverse image functor, irregularity, irregularity sheaf, monodromy, positivity, regularity, fundamental criterion of regularity, regular meromorphic connections, slopes, specializable modules, vanishing cycles Class. math. : 12, 13N10, 13P10, 14B, 16S32, 32C38, 32S40, 32S60, 35A27, 35N10 Table of Contents * Ph. Maisonobe and T. Torrelli -- Image inverse en théorie des D-modules * L. N. Macarro -- The local duality theorem in D-module theory * F. J. Castro-Jiménez and M. Granger -- Explicit calculations in rings of differential operators * L. N. Macarro and A. R. León -- Continuous division of linear differential operators and faithful flatness of DX∞over DX * J. Briançon -- Extensions de Deligne pour les croisements normaux * Z. Mebkhout -- Le théorème de positivité, le théorème de comparaison et le théorème d'existence de Riemann * Ph. Maisonobe and Z. Mebkhout -- Le théorème de comparaison pour les cycles évanescents * B. Malgrange -- On irregular holonomic D-modules * Y. Laurent -- Geometric irregularity and D-modules