Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Предисловие к изданию на русском языке......Page 10
К русскому читателю......Page 14
Предисловие......Page 16
Как пользоваться книгой......Page 19
Что такое математика?......Page 20
Введение......Page 25
Законы арифметики.......Page 26
Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация).......Page 28
Арифметические действия в недесятичных системах счисления.......Page 31
Принцип математической индукции.......Page 34
Арифметическая прогрессия.......Page 37
Геометрическая прогрессия.......Page 38
Сумма n первых квадратов.......Page 39
Одно важное неравенство.......Page 40
Биномиальная теорема.......Page 41
Алгебра множеств......Page 43
Введение......Page 45
Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода......Page 1
Рациональные числа как средство измерения.......Page 77
Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения.......Page 79
Геометрическое представление рациональных чисел.......Page 81
Введение.......Page 83
Десятичные дроби: конечные и бесконечные.......Page 86
Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии.......Page 89
Рациональные числа и периодические десятичные дроби.......Page 92
Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков.......Page 93
Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения.......Page 97
Основной принцип.......Page 98
Уравнения прямых и кривых линий.......Page 99
Основные понятия.......Page 104
Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума.......Page 106
«Кардинальные числа» Кантора.......Page 110
Косвенный метод доказательства.......Page 113
Парадоксы бесконечного.......Page 114
Основания математики.......Page 115
Возникновение комплексных чисел.......Page 117
Геометрическое представление комплексных чисел.......Page 120
Формула Муавра и корни из единицы.......Page 125
Основная теорема алгебры.......Page 127
Определение и вопросы существования.......Page 129
Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.......Page 131
Общая теория.......Page 134
Применение к математической логике.......Page 139
Одно из применений к теории вероятностей.......Page 140
Доказательства невозможности и алгебра......Page 143
Построение полей и извлечение квадратных корней.......Page 146
Правильные многоугольники.......Page 149
Проблема Аполлония.......Page 151
Общая теория.......Page 153
Все числа, допускающие построение ---алгебраические.......Page 160
Удвоение куба.......Page 161
Одна теорема о кубических уравнениях.......Page 162
Трисекция угла.......Page 164
Правильный семиугольник.......Page 165
Различные методы выполнения построений......Page 166
Общие замечания.......Page 167
Свойства инверсии.......Page 169
Геометрическое построение обратных точек.......Page 171
Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля.......Page 172
Классическая конструкция, служащая для удвоения куба.......Page 173
Построения с помощью одного циркуля.......Page 175
Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды.......Page 179
Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.......Page 182
Инвариантность углов. Семейства окружностей.......Page 185
Применение к проблеме Аполлония.......Page 187
Повторные отражения.......Page 189
Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях.......Page 191
Проективные преобразования.......Page 193
Группа проективных преобразований.......Page 194
Теорема Дезарга.......Page 196
Определение и доказательство инвариантности.......Page 198
Применение к полному четырехстороннику.......Page 205
«Идеальные» бесконечно удаленные точки.......Page 206
Идеальные элементы и проектирование.......Page 209
Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами.......Page 211
Предварительные замечания.......Page 212
Двумерное доказательство теоремы Дезарга.......Page 213
Теорема Паскаля .......Page 215
Замечание по поводу двойственности.......Page 216
Вводные замечания.......Page 217
Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности.......Page 219
Задачи на построение с помощью одной линейки-1......Page 223
Элементарная метрическая геометрия конических сечений.......Page 224
Проективные свойства конических сечений.......Page 227
Конические сечения как «линейчатые кривые».......Page 231
Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений.......Page 234
Гиперболоид.......Page 238
Аксиоматический метод.......Page 240
Гиперболическая неевклидова геометрия.......Page 244
Геометрия и реальность.......Page 249
Модель Пуанкаре.......Page 250
Эллиптическая, или риманова, геометрия.......Page 251
Геометрия в пространствах более чем трех измерений......Page 253
Аналитический подход.......Page 254
Геометрический, или комбинаторный, подход.......Page 256
Введение......Page 261
Формула Эйлера для многогранников......Page 262
Топологические свойства.......Page 267
Свойства связности.......Page 269
Теорема Жордана о замкнутой кривой.......Page 270
Проблема четырех красок.......Page 271
Понятие размерности.......Page 273
Теорема о неподвижной точке.......Page 277
Узлы.......Page 281
Род поверхности.......Page 282
Эйлерова характеристика поверхности.......Page 283
Односторонние поверхности.......Page 285
Проблема пяти красок.......Page 290
Теорема Жордана для случая многоугольников.......Page 292
Основная теорема алгебры.......Page 295
Введение......Page 299
Определения и примеры.......Page 300
Радианная мера углов.......Page 305
График функции. Обратные функции.......Page 306
Сложные функции.......Page 309
Непрерывность.......Page 310
Функции нескольких переменных.......Page 313
Функции и преобразования.......Page 316
Предел последовательности an.......Page 317
Монотонные последовательности.......Page 322
Число Эйлера e.......Page 325
Число .......Page 327
Непрерывные дроби.......Page 329
Введение. Общие определения.......Page 330
Замечания по поводу понятия предела.......Page 332
Предел (sin x)/x.......Page 334
Пределы при x .......Page 337
Точное определение непрерывности......Page 338
Теорема Больцано.......Page 340
Доказательство теоремы Больцано.......Page 341
Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях.......Page 342
Теорема о последовательностях. Компактные множества.......Page 344
Геометрические применения.......Page 345
Применение к одной механической проблеме.......Page 348
Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность......Page 349
Введение......Page 357
Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей.......Page 358
Применения к задачам о треугольниках.......Page 360
Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства.......Page 361
Экстремальные расстояния точки от данной кривой.......Page 364
Принцип.......Page 366
Примеры.......Page 368
Экстремальные и стационарные точки.......Page 369
Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки.......Page 371
Точки минимакса и топология.......Page 373
Расстояние точки от поверхности.......Page 374
Доказательство, предложенное Шварцем.......Page 375
Другое доказательство.......Page 377
Тупоугольные треугольники.......Page 379
Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.......Page 380
Проблема и ее решение.......Page 382
Анализ возникающих возможностей.......Page 384
Дополнительная проблема.......Page 386
Обобщение: проблема уличной сети.......Page 387
Экстремумы и неравенства......Page 388
Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных величин.......Page 389
Обобщение на случай n переменных.......Page 390
Метод наименьших квадратов.......Page 392
Общие замечания.......Page 394
Примеры.......Page 396
Экстремальные проблемы элементарного содержания.......Page 398
Трудности, возникающие в более сложных случаях.......Page 399
Изопериметрическая проблема......Page 401
Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой......Page 404
Введение.......Page 407
Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике.......Page 408
Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли.......Page 410
Геодезические линии на сфере. Минимаксы.......Page 412
Введение.......Page 413
Опыты с мыльными пленками.......Page 414
Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато.......Page 415
Экспериментальные решения других математических проблем.......Page 419
Введение......Page 427
Площадь как предел.......Page 428
Интеграл.......Page 429
Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение.......Page 433
Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr.......Page 435
Правила «интегрального исчисления».......Page 440
Производная как наклон.......Page 444
Производная как предел.......Page 445
Примеры.......Page 448
Производные от тригонометрических функций.......Page 450
Производная и скорость. Вторая производная и ускорение.......Page 452
Геометрический смысл второй производной.......Page 455
Техника дифференцирования......Page 456
Обозначения Лейбница и «бесконечно малые»......Page 463
Основная теорема.......Page 466
Первые применения. Интегрирование функций xr, №osx, sinx. Функция ar№tgx.......Page 469
Формула Лейбница для .......Page 471
Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e.......Page 473
Показательная (экспоненциальная) функция.......Page 476
Формулы дифференцирования функций ex, ax, xs.......Page 478
Явные выражения числа e и функций ex и lnx в виде пределов.......Page 479
Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.......Page 481
Определения.......Page 484
Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты.......Page 485
Другие примеры. Простые колебания.......Page 489
Закон движения Ньютона.......Page 490
Дополнение к главе 7......Page 493
Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке......Page 517
Аналитическая геометрия......Page 519
Проективная и неевклидова геометрия......Page 525
Топология......Page 527
Максимумы и минимумы......Page 530
Дифференциальное и интегральное исчисления......Page 533
Техника интегрирования......Page 535
О создании книги «Что такое математика?»......Page 543
Рекомендуемая литература......Page 550
Предметный указатель......Page 556