Учебное пособие. — Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. — 365 с.В учебном пособии на примерах исследования физико-механических свойств кристаллических материалов (образцы с ОЦК-, ГЦК-, ГПУ-решетками, графит, графен) продемонстрированы возможности и обоснованы границы применимости как физического дискретного подхода, так и математического дискретного подхода. Достоинства и недостатки первого иллюстрируются на примере атомистических методов исследования термомеханических свойств кристаллических твердых тел и на примере метода клеточных автоматов. Особенности второго подхода демонстрируются на примерах численных методов решения уравнений механики сплошных сред – методе конечных элементов, методах решения обратных и некорректных задач.Введение.
Основные сведения из тензорного анализа и механики сплошной среды.
Основы векторной и тензорной алгебры.
Основные сведения из механики.
Балансовые уравнения и законы механики сплошных сред.
Основные соотношения кинематики сплошной среды.
Основные соотношения динамики сплошной среды.
Практическое введение в пакет «Mathematica».
Математическое моделирование поведения деформируемых твердых тел на атомарном уровне. Дискретный подход.
История дискретного подхода.
Метод молекулярной динамики. Сравнение различных потенциалов. Численные методы.
Метод атомарной статики. Определение упругих модулей материалов с различной кристаллической решеткой.
Учет температуры. Зависимость механических свойств конденсированных сред от температуры.
Метод клеточных автоматов.
Моделирование с использованием имитационного подхода.
Метод клеточных автоматов. Основные определения.
Применение клеточных автоматов к описанию формирования дислокационной микроструктуры в металле.
Метод конечных элементов.
Проекционный и вариационный подходы к построению разрешающих соотношений МКЭ.
Проекционные методы. Основные понятия.
Вариационные принципы.
Виды конечных элементов и их классификация.
Одномерные пробные функции.
Двумерные базисные функции высших степеней.
Трехмерные базисные функции.
Разбиение области на элементы. Требования к конечным элементам.
Отображение и численное интегрирование.
Параметрическое отображение.
Субпараметрические, изопараметрические и суперпараметрические элементы.
Численное интегрирование.
Разрешающие соотношения МКЭ для квазистатических задач теории упругости.
Постановка нестационарных и динамических задач.
Разрешающие соотношения МКЭ для пространственной конечно-элементной дискретизации.
Разрешающие соотношения МКЭ для пространственной и временной конечно-элементной аппроксимации.
Физически нелинейные задачи. Пластичность, ползучесть.
Метод переменных параметров упругости.
Методы начальных (дополнительных) напряжений.
Методы начальных (дополнительных) деформаций.
Метод Ньютона для решения нелинейной системы уравнений, полученной для физически нелинейной задачи.
Геометрически нелинейные задачи.
Общие положения.
Общий случай больших деформаций и напряжений.
Обратные и некорректные задачи.
Основные понятия и примеры.
Обратные и некорректные задачи.
Понятие условно корректной задачи.
Способы преодоления некорректности. Методы регуляризации.
Метод квазирешений.
Метод регуляризации Тихонова.
Метод регуляризации на компактных множествах.
Итерационные методы решения некорректных задач.
Метод усеченных сингулярных разложений.
Проекционный метод.
Некоторые примеры решения обратных задач.
Обратные ретроспективные задачи.
Коэффициентные обратные задачи в механике деформируемого твердого тела.
