Mathematik für Chemiker

Inhaltsverzeichnis
Vorwort XI
Definitionen und Aussagen XV
1 Mathematische Grundlagen 1
1.1 Die Sprache der Mathematik 1
1.2 Mengenlehre 3
1.3 Zahlen 6
1.4 Einige Rechenregeln 12
1.5 Kombinatorik 24
2 Lineare Algebra 23
2.1 Matrizen 23
2.2 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus 30
2.3 Determinanten 36
2.3.1 Definition 36
2.3.2 Rechenregeln 40
2.3.3 Berechnung von Determinanten 42
2.4 Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix 45
2.4.1 Lineare Unabhängigkeit 45
2.4.2 Rang einer Matrix 46
2.5 Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme 48
2.5.1 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme 48
2.5.2 Berechnung der Inversen einer Matrix 52
3 Unendliche Zahlenfolgen und Reihen 57
3.1 Unendliche Zahlenfolgen 57
3.1.1 Definitionen und Beispiele 57
3.1.2 Konvergenz einer Zahlenfolge 59
3.1.3 Das Rechnen mit Grenzwerten 61
3.2 Unendliche Reihen 65
3.2.1 Definitionen und Beispiele 65
3.2.2 Konvergenzkriterien 68
3.2.3 Das Rechnen mit unendlichen Reihen 70
3.2.4 Potenzreihen 72
4 Funktionen 75
4.1 Erläuterung des Funktionsbegriffes 75
4.2 Funktionen einer Variablen 76
4.2.1 Darstellung 76
4.2.2 Interpolation und Extrapolation 78
4.2.3 Umkehrung und implizite Darstellung einer Funktion 79
4.2.4 Wichtige Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen 80
4.2.5 Einige spezielle Funktionen 82
4.2.6 Stetigkeit 93
4-2.7 Funktionenfolgen 95
4.3 Funktionen mehrerer Variablen 98
4.3.1 Darstellung 98
4.3.2 Definitionsbereiche 103
4.3.3 Stetigkeit 104
5 Vektoralgebra 107
5.1 Rechnen mit Vektoren 107
5.1.1 Definition eines Vektors 107
5.1.2 Rechenregeln für Vektoren 109
5.1.3 Skalarprodukt 113
5.1.4 Vektorprodukt 114
5.1.5 Spatprodukt 117
5.2 Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basen 120
5.2.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren 120
5.2.2 Basis im R3 und Basiswechsel 123
5.2.3 Orthonormalbasis 127
6 Analytische Geometrie 131
6.1 Analytische Darstellung von Kurven und Flächen 131
6.1.1 Darstellung durch Gleichungen in x, y und z 132
6.1.2 Parameterdarstellung 340
6.2 Lineare Abbildungen 143
6.2.1 Definitionen 143
6.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 145
6.2.3 Drehungen und Spiegelungen 148
6.3 Koordinatentransformationen 155
6.3.1 Lineare Transformationen 155
6.3.2 Transformation auf krummlinige Koordinaten 161
7 Differentiation und Integration einer Funktion einer Variablen 167
71 Differentiation 167
7.1.1 Die erste Ableitung einer Funktion 167
7.1.2 Rechenregeln für das Differenzieren 171
7.1.3 Differentiation einiger Funktionen 175
7.1.4 Differentiation komplexwertiger Funktionen 178
7.1.5 Höhere Ableitungen 182
7.1.6 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 183
7.1.7 Anwendungen 184
7.2 Integration von Funktionen 188
7.2.1 Das bestimmte Integral 188
7.2.2 Das unbestimmte Integral 194
7.2.3 Integrationsmethoden 197
72.4 Uneigentliche Integrale 205
7.2.5 Anwendungen 208
7.3 Differentiation und Integration von Funktionenfolgen 213
7.4 Die Taylor-Formel 216
7.5 Unbestimmte Ausdrücke: Regel von de 1' Hospital 223
7.6 Kurvendiskussion 228
7.6.1 Definitionen 228
7.6.2 Bestimmung von Nullstellen 230
7.6.3 Bestimmung von Extrema 232
7.6.4 Bestimmung von Wendepunkten und Sattelpunkten 235
7.6.5 Durchführung der Kurvendiskussion 235
8 Differentiation und Integration von Funktionen mehrerer Variablen 239
8.1 Differentiation 239
8.1.1 Die partielle Ableitung 239
8.1.2 Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz 243
8.1.3 Existenz einer Tangentialebene 245
8.1.4 Das totale Differential 246
8.1.5 Die Kettenregel 248
8.1.6 Differentiation impliziter Funktionen 251
8.1.7 Partielle Ableitungen in der Thermodynamik 254
8.2 Einfache Integrale 257
8.3 Bereichsintegrale 260
8.3.1 Definition des zweidimensionalen Bereichsintegrals 260
8.3.2 Berechnung des zweidimensionalen Bereichsintegrals 262
8.3.3 Allgemeine Bereichsintegrale 265
8.3.4 Transformationsformel 267
8.3.5 Berechnung von Volumina und Oberflächen 272
8.4 Kurvenintegrale 280
8.4.1 Definition und Berechnung 280
8.4.2 Wegunabhängigkeit des allgemeinen Kurvenintegrals 284
8.4.3 Vollständiges und unvollständiges Differential 287
8.4.4 Satz von Gauß im R2 289
8.5 Oberflächenintegrale 292
8.6 Die Taylor-Formel 295
8.7 Extremwerte 298
8.7.1 Definitionen 298
8.7.2 Bestimmung von Extremwerten und Sattelpunkten 299
8.7.3 Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen 302
9 Vektoranalysis und Tensorrechnung 309
9.1 Vektoranalysis 309
9.1.1 Vektor- und Skalarfelder 309
9.1.2 Der Gradient 311
9.1.3 Konservative Vektorfelder 314
9.1.4 Die Divergenz und der Satz von Gauß im R3 316
9.1.5 Die Rotation und der Satz von Stokes 319
9.1.6 Rechenregeln 322
9.1.7 Krummlinige Koordinaten 324
9.2 Tensorrechnung 329
9.2.1 Tensoren zweiter Stufe 329
9.2.2 Tensorellipsoide 333
9.2.3 Tensoren höherer Stufe 335
10 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation 337
10.1 Fourier-Reihen 337
10.1.1 Reelle Fourier-Reihen 337
10.1.2 Komplexe Fourier-Reihen 343
10.1.3 Fourier-Reihe einer Funktion in mehreren Variablen 345
10.2 Fourier-Transformation 347
10.2.1 Definitionen 347
10.2.2 Beispiele 351
10.2.3 Eigenschaften 355
10.2.4 Anwendungen in der Chemie 365
10.3 Orthonormalsysteme 375
11 Gewöhnliche Differentialgleichungen 381
11.1 Beispiele und Definitionen 381
11.2 Differentialgleichungen erster Ordnung 388
11.2.1 Richtungsfeld, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 388
11.2.2 Trennung der Variablen 391
11.2.3 Lineare Differentialgleichungen 392
11.2.4 Systeme homogener linearer Differentialgleichungen 396
11.2.5 Systeme inhomogener linearer Differentialgleichungen 406
11.2.6 Exakte Differentialgleichungen 409
11.3 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 414
11.3.1 Allgemeines über die Existenz von Lösungen 414
11.3.2 Die ungedämpfte freie Schwingung 417
11.3.3 Die gedämpfte freie Schwingung 423
11.3.4 Die erzwungene Schwingung 426
11.3.5 Systeme von Differentialgleichungen zweiter Ordnung 429
11.4 Spezielle lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 434
11.4.1 Potenzreihenansatz 434
11.4.2 Die Legendre-Differentialgleichung 437
11.4.3 Die Laguerre-Differentialgleichung 443
11.4.4 Die Bessel-Differentialgleichung 446
12 Partielle Differentialgleichungen 451
12.1 Definition und Beispiele 451
12.2 Die Potentialgleichung 454
12.2.1 Lösung durch Fourier-Transformation 454
12.2.2 Lösung durch Fourier-Reihenansatz 456
12.2.3 Lösung in Polarkoordinaten 459
12.3 Die Wärmeleitungsgleichung 461
12.3.1 Lösung durch Fourier-Transformation 461
12.3.2 Lösung durch Separationsansatz 462
12.4 Die Wellengleichung 465
12.4.1 Lösung durch Separationsansatz 465
12.4.2 Allgemeine Lösungsformel 468
12.4.3 Die schwingende Membran 470
12.5 Die Schrödinger-Gleichung 475
12.5.1 Die stationäre Gleichung 475
12.5.2 Der harmonische Oszillator 476
12.5.3 Das Wasserstoffatom 480
13 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik 489
13.1 Einführung 489
13.1.1 Quantenmechanische Begriffe 489
13.1.2 Axiomatik der Quantenmechanik 493
13.2 Hilberträume 496
13.2.1 Sobolevräume 496
13.2.2 Vollständige Orthonormalsysteme 500
13.2.3 Lineare Operatoren 503
13.2.4 Dualräume und Dirac-Notation 505
13.3 Beschränkte lineare Operatoren 509
13.3.1 Definition und Beispiele 509
13.3.2 Projektoren 511
13.3.3 Symmetrische Operatoren 524
13.4 Unbeschränkte lineare Operatoren 521
13.4.1 Selbstadjungierte Operatoren 521
13.4.2 Die Heisenbergsche Unschärferelation 526
13.4.3 Spektraldarstellung selbstadjungierter Operatoren 527
13.5 Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme 535
14 Wahrscheinlichkeitsrechnung 539
14.1 Einleitung 539
14.1.1 Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung 539
14.1.2 Der Ereignisraum 540
14.1.3 Zufallsgrößen 542
14.2 Diskrete Zufallsgrößen 543
14.2.1 Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit 543
14.2.2 Summe von Ereignissen 545
14.2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 547
14.2.4 Produkt von Ereignissen 550
14.2.5 Totale Wahrscheinlichkeit 550
14.3 Kontinuierliche Zufallsgrößen 553
14.3.1 Wahrscheinlichkeitsdichte 553
14.3.2 Verteilungsfunktion 554
14.4 Kette von unabhängigen Versuchen 560
14.4.1 Herleitung der exakten Gleichungen 560
14.4.2 Diskussion der Funktion P n (m) 562
14.4.3 Näherungsgesetze für große n 563
14.4.4 Markowsche Ketten 568
14.5 Stochastische Prozesse 574
14.5.1 Definitionen 574
14.5.2 Der Poisson-Prozeß 575
15 Fehler- und Ausgleichsrechnung 579
15.1 Zufällige und systematische Fehler 579
15.2 Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen 580
15.2.1 Verteilung der Meßwerte und Mittelwert 580
15.2.2 Mittlerer Fehler der Einzelmessungen 582
15.2.3 Wahrscheinlicher Fehler der Einzelmessung 583
15.2.4 Praktische Durchführung der Rechnungen 584
15.3 Fehlerfortpflanzung 586
15.3.1 Maximaler Fehler 586
15.3.2 Fortpflanzung des mittleren Fehlers 587
15.3.3 Mittlerer Fehler des Mittelwertes 590
15.4 Ausgleichsrechnung 591
Antworten und Lösungen 595
Literaturverzeichnis 627
Stichwortverzeichnis 631