Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce second volume, inédit, du Livre consacré aux Théories spectrales a pour thème les propriétés spectrales des applications linéaires. Le chapitre 3 étudie les applications linéaires compactes entre espaces vectoriels topologiques et la théorie de la perturbation par addition d'une application linéaire compacte, en particulier la théorie de Fredholm. Il se poursuit par la description du spectre d'un endomorphisme compact d'un espace de Banach, notamment les notions de spectre sensible et de spectre essentiel. On y démontre le théorème de Krein--Rutman. Le chapitre 4 contient les résultats fondamentaux de la théorie spectrale hilbertienne : opérateurs compacts et nucléaires, endomorphismes normaux, opérateurs partiels normaux. On y trouve également un exposé concis des distributions et distributions tempérées. Enfin, le chapitre 5 aborde l'étude des représentations unitaires des groupes topologiques (constructions élémentaires, lemme de Schur, représentations de carré intégrable modulo le centre, classes de représentations irréductibles). On y développe aussi la théorie des fonctions de type positif et on y démontre le théorème fondamental de Peter--Weyl. Le texte est complété par de nombreux exercices et par une note historique portant sur le contenu des chapitres 1 à 5.
Author(s): N. Bourbaki
Publisher: Springer Nature
Year: 2023
Language: French
Pages: 579
THÉORIES SPECTRALES
MODE D’EMPLOI
INTRODUCTION
chapitre III. Applications linéaires compactes et perturbations
§ 1. APPLICATIONS LINÉAIRES COMPACTES
1. Applications linéaires compactes
2. Applications linéaires compactes et topologies faibles
3. Transposition
4. Le théorème de Leray–Schauder
5. Sous-espaces invariants par un opérateur compact
6. Espaces d’approximation
7. Exemples d’espaces d’approximation
§ 2. EXEMPLES D’APPLICATIONS LINÉAIRES COMPACTES
1. Endomorphismes de trace finie, de Hilbert–Schmidt et de puissance pe nucléaire
2. Opérateurs diagonaux dans des espaces de suites
3. Applications linéaires à valeurs dans un espace de fonctions continues définies par un noyau
4. Applications linéaires entre espaces de Lebesgue définies par un noyau
5. Restriction d’applications différentiables
6. Restriction de sections différentiables d’un fibré vectoriel
7. Restriction de sections analytiques d’un fibré vectoriel
§ 3. ENDOMORPHISMES DE FREDHOLM ET ENDOMORPHISMES DE RIESZ
1. Morphismes stricts et applications linéaires de rang fini
2. Applications de Fredholm
3. Indice d’une application de Fredholm
4. Endomorphismes de Riesz
5. Applications de Fredholm et applications de Riesz entre espaces de Fréchet
6. Caractérisation spectrale des endomorphismes de Riesz
§ 4. PERTURBATIONS DANS LES ESPACES DE BANACH
1. Morphismes directs
2. Perturbation des applications de Fredholm
3. Perturbation des endomorphismes de Riesz
4. Conorme d’une application linéaire continue
5. Sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un espace normé
6. Perturbations des applications linéaires continues injectives ou surjectives
§ 5. PERTURBATION PAR UNE APPLICATION LINÉAIRE COMPACTE
1. Morphismes stricts et propreté
2. Perturbation des applications linéaires injectives ou surjectives
3. Perturbation des applications de Fredholm
4. Perturbation des endomorphismes de Riesz
5. La théorie de Frédéric Riesz
6. Alternative de Fredholm
§ 6. PROPRIÉTÉS SPECTRALES DES ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
1. Points isolés et points sensibles du spectre
2. Une partition du spectre
3. Spectre du transposé d’un endomorphisme
4. Perturbation par un opérateur compact
5. Spectre d’un opérateur compact
6. Cas des espaces hilbertiens
7. Le théorème de Krein–Rutman
Exercices
Exercices du § 1
Exercices du § 2
Exercices du § 3
Exercices du § 4
Exercices du § 5
Exercices du § 6
chapitre IV. Théorie spectrale hilbertienne
§ 1. OPÉRATEURS COMPACTS SUR UN ESPACE HILBERTIEN
1. Endomorphismes diagonaux
2. Diagonalisation des endomorphismes compacts
3. Suite décroissante des valeurs propres
4. Caractérisations variationnelles des valeurs propres
5. Applications de la caractérisation variationnelle des valeurs propres
6. Inégalités de Weyl
7. Endomorphismes de trace finie
8. Applications nucléaires
9. Opérateurs intégraux de Hilbert–Schmidt
10. Trace des opérateurs intégraux à noyau continu
§ 2. ENDOMORPHISMES NORMAUX
1. Compléments sur les espaces Lp(X, μ)
2. Image essentielle d’une fonction mesurable
3. Fonctions universellement mesurables
4. L’algèbre stellaire L∞(X, μ)
5. Endomorphismes de multiplication
6. Mesures spectrales
7. Algèbres stellaires commutatives d’endomorphismes d’un espace hilbertien
8. Continuité du calcul fonctionnel
§ 3. DISTRIBUTIONS ET DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
1. Dérivation sous le signe somme
2. Critères d’intégrabilité dans Rn et Zn
3. Fonctions test
4. Distributions
5. Interprétation de fonctions comme distributions
6. Dérivation des distributions
7. Fonctions de Schwartz
8. Inclusions d’espaces fonctionnels dans l’espace des fonctions de Schwartz
9. Fonctions à croissance polynomiale
10. Distributions tempérées
11. Interprétation de fonctions comme distributions tempérées
12. Transformation de Fourier des distributions tempérées
13. Distributions et distributions tempérées sur un espace vectoriel
14. Espaces de Sobolev
§ 4. OPÉRATEURS PARTIELS
1. Opérateurs partiels
2. Opérateurs fermés, fermables et à domaine dense
3. Exemples d’opérateurs partiels
4. Adjoint
5. Critères élémentaires pour les opérateurs auto-adjoints
6. Opérateurs différentiels
7. Spectre et résolvante
8. Pseudo-spectre
9. Opérateurs de multiplication
10. Extensions auto-adjointes d’un opérateur symétrique
§ 5. OPÉRATEURS PARTIELS NORMAUX ET THÉORÈME SPECTRAL
1. Bornification
2. Opérateurs partiels normaux et théorème spectral
3. Calcul fonctionnel universellement mesurable
4. Projecteurs spectraux
5. La formule de Helffer–Sjöstrand
6. Topologies résolvantes et continuité du calcul fonctionnel
7. Décomposition polaire
8. Opérateurs auto-adjoints définis par une forme hermitienne partielle positive
9. Principes variationnels pour le spectre des opérateurs positifs
10. Perturbation compacte et spectre essentiel
11. Perturbation
12. Opérateurs à résolvante compacte
Exercices
Exercices du § 1
Exercices du § 2
Exercices du § 3
Exercices du § 4
Exercices du § 5
chapitre V. Représentations unitaires
§ 1. REPRÉSENTATIONS UNITAIRES
1. Rappels concernant les représentations linéaires continues
2. Un critère de continuité
3. Représentations continues de dimension finie
4. Représentations irréductibles
5. Représentations unitaires
6. Somme directe hilbertienne et produit tensoriel de représentations unitaires
7. Coefficients matriciels
8. Le lemme de Schur
9. Semi-simplicité
10. Classes de représentations unitaires
11. Composantes isotypiques
§ 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES LOCALEMENT COMPACTS
1. Continuité de certaines représentations
2. Extension de représentations à des espaces de mesures
3. Critère de semi-simplicité
4. Représentations régulières
5. Fonctions équivariantes
6. Représentations induites
7. Cas d’un sous-groupe fermé central
8. Représentations de carré intégrable
9. Sous-représentations de la représentation régulière d’un groupe commutatif
10. Représentations unitaires du groupe R
§ 3. FONCTIONS DE TYPE POSITIF
1. Noyaux universellement positifs
2. Complément sur le calcul fonctionnel holomorphe
3. Formes linéaires positives
4. Représentations des algèbres stellaires
5. Fonctions de type positif sur un groupe topologique
6. Dual unitaire d’un groupe localement compact
7. Existence de représentations irréductibles
8. Fonctions de type positif sur un groupe localement compact commutatif
§ 4. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES COMPACTS
1. Semi-simplicité des représentations de dimension finie
2. Représentations irréductibles
3. Le théorème de Peter–Weyl
4. Coefficients matriciels et fonctions G-finies
5. Représentations dans un espace séparé quasi-complet
6. Caractères et classes de conjugaison
7. La cotransformation de Fourier
8. La transformation de Fourier
9. Indicateur de Frobenius–Schur et alternative de Larsen
Exercices
Exercices du § 1
Exercices du § 2
Exercices du § 3
Exercices du § 4
NOTE HISTORIQUE
1. Découverte du spectre continu
2. Opérateurs compacts
3. Indice de Fredholm et perturbations
4. Opérateurs partiels et théorème spectral
5. Jonction entre analyse harmonique et théorie des groupes
6. Groupes localement compacts commutatifs
7. Algèbres d’opérateurs
8. Représentations des groupes localement compacts
BIBLIOGRAPHIE
INDEX DES NOTATIONS
INDEX TERMINOLOGIQUE
CRITÈRES D’AUTO-ADJONCTION
TABLE DES MATIÈRES
