Компьютерная алгебра

От редактора перевода и переводчика ......Page 5
Предисловие авторов к русскому изданию ......Page 9
Предисловие ......Page 10
1.1. Введение ......Page 20
1.2. Общие сведения о системах компьютерной алгебры ......Page 21
1.3. Синтаксис ассоциированных языков ......Page 22
1.4. Области, охватываемые существующими системами ......Page 23
1.5.1. Простые операции с числами ......Page 24
1.5.2. Полиномы и рациональные функции ......Page 30
1.5.3. Матричные вычисления ......Page 38
1.5.4. Дифференцирование - ряды Тейлора ......Page 47
1.5.5. Упрощение формул ......Page 53
1.5.6. Интегрирование ......Page 61
1.7. Другие системы ......Page 69
2.1. Представление целых чисел ......Page 79
2.2. Представление дробей ......Page 83
2.3. Представление полиномов ......Page 84
2.3.1 Канонические и нормальные представления ......Page 85
2.3.2 Плотные и разреженные представления ......Page 87
2.3.3 НОД ......Page 92
2.4. Полиномы от нескольких переменных ......Page 95
2.5. Представления рациональных функций ......Page 98
2.6.1. Простые радикалы ......Page 101
2.6.2. Вложенные радикалы ......Page 103
2.6.3. Алгебраические функции общего вида ......Page 104
2.6.4. Примитивные элементы ......Page 107
2.7. Представление трансцендентных функций ......Page 108
2.8. Представления матриц ......Page 112
2.8.1. Плотные матрицы ......Page 113
2.8.2. Алгоритм Барейса ......Page 115
2.8.3. Разреженные матрицы ......Page 117
2.9.1. Ряды Тейлора: простой метод ......Page 119
2.9.2. Ряды Тейлора: метод Нормана ......Page 122
2.9.3. Другие ряды ......Page 124
3.1. Упрощение полиномиальных уравнений ......Page 126
3.1.1. Редукция полиномов ......Page 127
3.1.2. Стандартные базисы (Гребнера) ......Page 129
3.1.3. Решение системы полиномов ......Page 130
3.1.4. Алгоритм Бухбергера ......Page 133
3.1.5. Сравнения с другими методами ......Page 137
3.2. Упрощение систем вещественных полиномов ......Page 139
3.2.1. Случай R1 ......Page 140
3.2.1.1. Изоляция корней ......Page 142
3.2.1.2. Вещественные алгебраические числа ......Page 147
3.2.2. Общий случай (некоторые определения) ......Page 148
3.2.2.1. Разбиение пространства IRn ......Page 149
3.2.3. Цилиндрические разбиения ......Page 150
3.2.3.1. Случай пространства IR2 ......Page 153
3.2.3.2. Общий случай ......Page 155
3.2.4.1. Элиминация кванторов ......Page 156
3.2.4.2. Робототехника ......Page 159
4.1.1. НОД при одной переменной ......Page 162
4.1.1.1. Соответствие модулярное - целое ......Page 165
4.1.1.2. Вычисление НОД ......Page 167
4.1.1.3. Стоимость алгоритма ......Page 171
4.1.2. НОД при нескольких переменных ......Page 174
4.1.2.1. Плохая редукция ......Page 178
4.1.2.2. Алгоритм ......Page 179
4.1.2.3. Стоимость приведенного алгоритма ......Page 181
4.1.3.2. Вычисление определителей ......Page 183
4.1.3.3. Обращение матрицы ......Page 184
4.2.1. Разложение полиномов от одной переменной ......Page 187
4.2.1.1. Алгоритм Берлекэмпа ......Page 188
4.2.1.2. Соотношение модулярное - целое ......Page 191
4.2.2. Лемма Гензеля - линейный вариант ......Page 195
4.2.2.1. Лемма Гензеля - квадратичный вариант ......Page 198
4.2.2.2. Лемма Гензеля - уточнение алгоритма ......Page 200
4.2.2.3. Алгоритм разложения на множители ......Page 202
4.2.2.4. Старший коэффициент ......Page 205
4.2.3. Разложение для нескольких переменных ......Page 206
4.2.3.1. Алгоритм ......Page 207
4.2.3.2. Старший коэффициент ......Page 210
4.2.4.1. НОД с помощью р-адического алгоритма ......Page 212
5.1.1. Введение ......Page 215
5.1.2. Интегрирование рациональных функций ......Page 217
5.1.2.1. Наивный метод ......Page 218
5.1.2.2. Метод Эрмита ......Page 220
5.1.2.3. Метод Горовица ......Page 221
5.1.2.4. Логарифмическая часть ......Page 222
5.1.3. Интегрирование более сложных функций ......Page 224
5.1.4. Интегрирование логарифмических функций ......Page 226
5.1.4.1. Лемма о разложении ......Page 227
5.1.4.2. Полиномиальная часть ......Page 228
5.1.4.3. Рациональная и логарифмическая части ......Page 230
5.1.5. Интегрирование экспоненциальных функций ......Page 231
5.1.5.1. Лемма о разложении ......Page 232
5.1.5.2. Обобщенная полиномиальная часть ......Page 234
5.1.5.3. Рациональная и логарифмическая части ......Page 235
5.1.6. Интегрирование смешанных функций ......Page 236
5.1.7. Интегрирование алгебраических функций ......Page 239
5.1.8. Интегрирование неэлементарных функций ......Page 240
5.2.1.1. Проблема Риша ......Page 242
5.2.1.2. Теорема Дэвенпорта ......Page 245
5.2.2. Уравнения второго порядка ......Page 246
5.2.3.2. Неоднородные уравнения ......Page 249
5.3.1. Мотивация и история ......Page 251
5.3.2. Классификация особенностей ......Page 252
5.3.3. Программа для решения О.Д.У. в регулярной особенности ......Page 256
5.3.4. Общая структура программы ......Page 258
5.3.5.1. Примеры с уравнением Бесселя ......Page 261
5.3.5.2. Другой пример ......Page 265
А.1. Разложение на свободные от квадратов множители ......Page 269
А.2. Расширенный алгоритм Евклида ......Page 271
А.З. Простейшие дроби ......Page 273
А.4. Результант ......Page 274
А.5.1. Случай целых чисел ......Page 278
А.5.2. Случай полиномов ......Page 280
R.I. Введение ......Page 282
R.l.l. Примеры интерактивного использования ......Page 283
Числа ......Page 285
R.2.2.I. Различные типы выражений ......Page 286
R.2.2.2. Упрощение выражений ......Page 287
R.2.2.3. Списочные выражения ......Page 290
R.2.3.I. Простые переменные ......Page 291
R.2.3.2, Асимптотические объявления ......Page 292
R.2.3.4. Объявления операторов ......Page 293
R.2.4. Команды ......Page 295
R.2.4.3. Условные операторы ......Page 296
R.2.4.5. Блоки ......Page 297
R.3.I.2. Математические операторы ......Page 298
R.3.I.4. Интегрирование ......Page 299
R.3.1.7. Решение систем уравнений ......Page 300
R.3.2.I. Вывод выражений ......Page 301
R.3.2.2. Части выражений ......Page 304
R.3.3. Подстановки ......Page 305
R.3.3.2. Глобальные подстановки ......Page 306
R.4. Матричная алгебра ......Page 309
R.5. Заключение ......Page 310
Литература ......Page 311
Предметный указатель ......Page 336