Das vorliegende Lehrbuch richtet sich an Studentinnen und Studenten der
Mathematik und Physik in mittleren Studiensemestern und will ihnen eine
Einf¨uhrung in ein wichtiges Gebiet der reinen Mathematik anbieten, das
gleichzeitig vielf¨altige Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Physik
besitzt und auch f¨ur viele Problemstellungen in den Ingenieurwissenschaften,
in der Architektur und nicht zuletzt in der Geod¨asie n¨utzlich ist. In
mathematischer Hinsicht wollen wir durch diesen Text die geometrische Vorstellungskraft
der Studierenden schulen, sie auf anschauliche Weise zu den
wesentlichen Begriffsbildungen der modernen Geometrie hinf¨uhren und ihnen
auch die in der mathematischen Forschung so wichtige Verbindung von
geometrischer Anschauung und analytischen Methoden darstellen.
Author(s): Jost-Hinrich Eschenburg, Jürgen Jost
Series: Springer-Lehrbuch
Edition: 2. Auflage
Publisher: Springer
Year: 2007
Language: German
Pages: 273
Cover
Differentialgeometrie und Minimalflchen, Zweite Auflage
ISBN 9783540222279
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1. Der begriffliche Rahmen
1.1 Geometrie
1.2 Anschauliche und Analytische Geometrie
1.3 Glattheit
1.4 Messungen
1.5 bungsaufgaben
2. Kurven
2.1 Bogenlnge
2.2 Die Variation der Bogenlnge
2.3 Krmmung
2.4 Totalkrmmung geschlossener ebener Kurven
2.5 Totalkrmmung von Raumkurven
2.6 Torsion
2.7 bungsaufgaben
3. Die erste Fundamentalform
3.1 Lnge und Winkel
3.2 Skalarprodukte
3.3 Flcheninhalt
3.4 Zueinander isometrische Immersionen
3.5 bungsaufgaben
4. Die zweite Fundamentalform
4.1 Die Lagenderung des Tangentialraums
4.2 Die Gauabbildung einer Hyperfche
4.3 Weingarten-Abbildung
4.4 Abstandsfunktion und Parallelhyperfchen
4.5 Die lokale Gestalt einer Hyperfche
4.6 Der Normalanteil des Krmmungsvektors
4.7 Normalenschnitte
4.8 bungsaufgaben
5. Geodten und Krzeste
5.1 Die Variation der Bogenlnge auf Immersionen
5.2 Die Differentialgleichung der Geodten
5.3 Die geodtische Exponentialabbildung
5.4 Krzeste Kurven
5.5 bungsaufgaben
6. Die tangentiale Ableitung
6.1 Die Christoffelsymbole
6.2 Die Levi-Civita-Ableitung
6.3 Vektorfelder lngs Kurven, Parallelitt
6.4 Gradient und Hesseform
6.5 bungsaufgaben
7. Nabelpunkte und konforme Abbildungen
7.1 Nabelpunkthyperfchen
7.2 Orthogonale Hyperfchensysteme
7.3 Konforme Abbildungen
7.4 Mbius-Transformationen
7.5 Die Stereographische Projektion
7.6 bungsaufgaben
8. Minimalfchen
8.1 Variation des Flcheninhalts
8.2 Minimaler Flcheninhalt
8.3 Seifenhute und mittlere Krmmung
8.4 Konforme Parameter und komplexe Zahlen
8.5 Die Weierstra-Darstellung
8.6 Konstruktion konformer Parameter
8.7 Minimale Graphen und Satz von Bernstein
8.8 bungsaufgaben
9. Das Plateau-Problem
9.1 Einfhrung
9.2 Flcheninhalt und Energie
9.3 Das Dirichletsche Prinzip
9.4 Bestimmung der Randparameter
9.5 Schwache Konformitt
9.6 Ausschluss von Verzweigungspunkten
9.7 Harmonische Funktionen
9.8 Holomorphe Funktionen
9.9 bungsaufgaben
10. Minimalfchen und Maximumprinzip
10.1 Das Maximumprinzip fr minimale Hyperfchen
10.2 Hindernisse fr Minimalfchen
10.3 bungsaufgaben
11. Innere und uere Geometrie
11.1 Von der inneren zur Riemannschen Geometrie
11.2 Die Levi-Civita-Ableitung
11.3 Der Riemannsche Krmmungstensor
11.4 Lokal euklidische Metriken
11.5 Gau-Gleichung und Theorema Egregium
11.6 bungsaufgaben
12. Krmmung und Gestalt
12.1 Geodtische Koordinaten
12.2 Die Jacobigleichung
12.3 Die hyperbolische Ebene
12.4 Geodtische Krmmung auf Flchen
12.5 Der Satz von Gau-Bonnet
12.6 Zusammenhangsform und Krmmung
12.7 Der Satz von Gau-Bonnet im Groen
12.8 bungsaufgaben
A. Integration
B. Gewhnliche Differentialgleichungen
Literatur
Sachverzeichnis
