Traité de mathématiques spéciales

Le Traité de mathématiques spéciales de Cagnac, Ramis et Commeau était destiné aux élèves des deux années de classes préparatoires ainsi qu’aux élèves du premier cycle des Facultés. Son contenu est conforme aux programmes du 21 janvier 1963 et du 25 mars 1964 pour les classes préparatoires et du 30 juin 1966 pour le premier cycle des Facultés. Le tome I (Algèbre) comprend essentiellement l’étude des structures algébriques, du corps des rationnels et du corps des complexes, des polynômes, fractions rationnelles et équations algébriques, enfin de l’algèbre linéaire. La fin du cours d’Algèbre (formes quadratiques, hermitiennes,…) a été reportée au début du tome III. Le tome II (Analyse) contient d’une part l’étude des fonctions réelles ou complexes d’une ou de plusieurs variables réelles, d’autre part celle de la partie théorique du programme de calcul différentiel et intégral. Un premier chapitre est consacré à une introduction du corps des réels; un dernier chapitre rassemble ce que les élèves ont à savoir sur les calculs numériques en vue des travaux pratiques. Deux appendices, conformes au programme MP des Facultés, contiennent l’un, des notions de Topologie, l’autre une initiation aux fonctions holomorphes. Le tome III (Géométrie) comprend deux parties. L’une est consacrée à des compléments d’Algèbre qui forment une suite naturelle du tome I, et à une introduction axiomatique de la Géométrie; l’autre, plus pratique, étudie les diverses générations et les représentations analytiques usuelles des courbes et des surfaces élémentaires. Le tome IV (Applications de l’Analyse à la Géométrie) contient la géométrie différentielle, les intégrales multiples, les calculs de longueurs, aires, volumes, etc., l’analyse vectorielle et les applications géométriques des équations différentielles. Table des matières du tome II : Chapitre I. — Les nombres réels        I. Coupures dans l’ensemble Q des nombres rationnels       II. Le corps R des nombres réels      III. Propriétés générales des ensembles de nombres réels       IV. Puissances et racines. Exposants généralisés Chapitre II. — Suites numériques        I. Convergence d’une suite       II. Opérations sur les suites et sur les limites      III. Suites remarquables       IV. Suites adjacentes. Le nombre e        V. Suites récurrentes       VI. Interprétation géométrique des nombres réels Chapitre III. — Fonctions réelles d’une variable réelle. A) Limites        I. Généralités       II. Notion de limite      III. Opérations sur les limites       IV. Infiniment petits, infiniment grands        V. Premières notions sur les formes indéterminées Chapitre IV. — Fonctions réelles d’une variable réelle. B) Continuité. Croissance        I. Fonctions continues       II. Fonctions composées      III. Fonctions monotones       IV. Fonctions réciproques (ou inverses)        V. La fonction puissance m, m rationnel       VI. Fonctions circulaires réciproques Chapitre V. — Fonctions réelles d’une variable réelle. C) Dérivées        I. Notion de dérivée       II. Calcul des dérivées      III. Dérivées successives       IV. Théorème de Rolle        V. Formule de Taylor       VI. Application du calcul des dérivées à l’étude de la variation des fonctions Chapitre VI. — L’intégrale simple        I. Définition de l’intégrale simple       II. Premières propriétés de l’intégrale simple      III. Intégrale fonction d’une extrémité du segment d’intégration Chapitre VII. — Fonctions logarithme et exponentielle        I. La fonction logarithme népérien       II. La fonction exponentielle de base e      III. Les fonctions logarithme et exponentielle de base quelconque       IV. Fonction puissance       VI. Croissance comparée des fonctions logarithme, exponentielle, puissance Chapitre VIII. — Fonctions hyperboliques        I. Fonctions hyperboliques directes       II. Fonctions hyperboliques réciproques Chapitre IX. — Développements limités et applications Chapitre X. — Pratique de l’étude d’une fonction        I. Étude locale d’une fonction       II. Fonctions convexes, concaves      III. Séparation des zéros. Signe d’une fonction       IV. Pratique de l’étude d’une fonction Chapitre XI. — Fonctions réelles de plusieurs variables réelles        I. Étude de l’ensemble R^p       II. Fonction de plusieurs variables      III. Dérivées partielles       IV. Formule des accroissements finis. Formule de Taylor        V. Fonctions homogènes       VI. Fonctions implicites      VII. Extremum Chapitre XII. — Fonctions complexes Chapitre XIII. — Différentielles        I. Différentielles des fonctions numériques      *II. Applications différentiables de R^p dans R^q      III. Applications des différentielles Chapitre XIV. — Recherche des fonctions primitives Chapitre XV. — Calcul pratique des intégrales simples        I. Méthodes de calcul       II. Extensions de la notion d’intégrale simple Chapitre XVI. — Séries numériques        I. Généralités sur les séries       II. Séries à termes positifs : généralités      III. Séries à termes positifs : étude pratique       IV. Séries absolument convergentes        V. Séries à termes réels non absolument convergentes       VI. Étude pratique d’une série. Exemples et compléments Chapitre XVII. — Suites et séries de fonctions. Séries entières        I. Suites et séries de fonctions       II. Séries entières. Convergence      III. Application de l’étude des séries de fonctions aux séries entières       IV. Développement d’une fonction en série entière        V. Sommation de certaines séries entières       VI. Fonctions élémentaires d’une variable complexe      VII. Séries trigonométriques Chapitre XVIII. — Équations différentielles du premier ordre        I. Généralités sur les équations différentielles       II. Généralités sur les équations différentielles du premier ordre      III. Équations à variables séparables       IV. Équations différentielles homogènes        V. Équations différentielles linéaires       VI. Équations à isoclines rectilignes      VII. Étude de quelques problèmes généraux liés à une équation différentielle du premier ordre Chapitre XIX. — Équations différentielles du second ordre        I. Équations du second ordre se ramenant au premier ordre       II. Équations différentielles linéaires du second ordre      III. Étude de quelques problèmes généraux liés à une équation différentielle Chapitre XX. — Calcul numérique        I. Erreurs       II. Usage des tables de valeurs numériques      III. Calcul approché des zéros d’une fonction       IV. Calcul de la somme d’une série convergente avec une approximation donnée        V. Calcul approché d’une intégrale simple       VI. Notions sur les abaques Chapitre XXI. — Introduction axiomatique des fonctions circulaires Appendice I. — Éléments de topologie d’un espace métrique Appendice II. — Fonctions complexes d’une variable complexe